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直线的倾斜角、斜率和直线方程
新课程标准 考向预测
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3.确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 命题角度 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线方程的综合问题
核心素养 数学运算
【基础梳理】
基础点一　直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
(2)范围：直线l的倾斜角α的范围是__________．
2．斜率公式
(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是________的直线的斜率不存在．
(2)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝________．
特别提示：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
倾斜角α 锐角 0° 钝角 90°
斜率k k＝tan α>0 k＝0 k＝tan α<0 不存在
基础小测
1．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
2．直线y＝－x＋1的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
基础点二　直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
　 　　
基础小测
1．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0　 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0　 D．4x－3y＋14＝0
2．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【考点突破】
考点一　直线的倾斜角和斜率(高考热度：★)
[例1] 直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________________________．
对点变式
已知点A(2，－3)，B(3，2)，直线ax－y－2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是(　　)
A．－≤a≤ B．a≥或a≤－
C．－≤a≤ D．a≥或a≤－
易错提示：直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
考点微练
1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C．∪ D．∪
考点二　求直线的方程(高考热度：★★)
[例2] 求适合下列条件的直线的方程：
(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；
(2)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
解题技法
1．求解直线方程的2种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法 ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程
2．谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
考点微练
1．已知直线l的倾斜角为θ且过点(，1)，其中sin(θ－)＝，则直线l的方程为(　　)
A．x－y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－6＝0
2．经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为____________________．
3．过A(2，1)，B(m，3)两点的直线l的方程为__________________________．
考点三　直线方程的综合问题(高考热度：★★★)
[例3]　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解题技法
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
考点微练
1．(2019·河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0
C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0
参考答案
【基础梳理】
基础点一　直线的倾斜角和斜率
基础小测
1．解析：由题意知，＝1，解得m＝1.
2．解析：因为直线y＝－x＋1的斜率为k＝tan α＝－，所以α＝120°.故选C.
3．解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，解得x＝－3.
基础点二　直线方程的五种形式
基础小测
1．解析：由点斜式，得y－5＝－(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.
2．解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
【考点突破】
考点一　直线的倾斜角和斜率(高考热度：★)
[例1] 解析：(方法一)如图，设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率kPA＝1，直线PB的斜率kPB＝－.当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围是[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]，故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
(方法二)设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
对点变式
解析：直线ax－y－2＝0经过定点C(0，－2)，斜率为a，当直线ax－y－2＝0经过点A(2，－3)时，则kAC＝＝－；当直线ax－y－2＝0经过点B(3，2)时，则kBC＝＝，所以实数a的取值范围是.故选C.
考点微练
1．解析：依题意知，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选B.
考点二　求直线的方程(高考热度：★★)
[例2] 解：(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝.∴cos α＝±，∴直线的斜率k＝tan α＝±.又直线在y轴上的截距是－5，∴由斜截式得直线方程为y＝±x－5.即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)．
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1.
∵l过点P(3，2)，∴＋＝1.
∴a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(3)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
∴所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
考点微练
1．解析：∵sin＝，∴cos θ＝－，即θ＝，则tan θ＝－.∴所求直线方程为y－1＝－(x－)，即x＋y－4＝0.故选B.
2．解析：当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1.将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，所以所求直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，设所求直线方程为y＝kx(k≠0)，则－5k＝2，解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.综上可得，所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
3．解析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；当m≠2时，直线l的方程为＝，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
考点三　直线方程的综合问题(高考热度：★★★)
[例3]　解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，
当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
考点微练
1．解析：选D　∵B(－1,0)，C(0,2)，∴线段BC中点的坐标为，线段BC所在直线的斜率kBC＝2，则线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－×，即2x＋4y－3＝0.∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.故选D.

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