资源简介

抛物线
新课程标准 考向预测
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用． 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想． 4.了解抛物线的简单应用. 命题角度 1.抛物线的定义及应用 2.抛物线的标准方程与几何性质 3.直线与抛物线的位置关系
核心素养 数学运算、运算推理、直观想象
【基础梳理】
基础点一　抛物线的定义与标准方程
1．抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过定点F)____________的点的轨迹是抛物线．定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)焦参数为p，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是____________________；
(2)焦参数为p，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程是____________________；
(3)焦参数为p，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程是____________________；
(4)焦参数为p，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程是____________________．
焦参数p的几何意义：焦点F到准线l的距离．
必记结论：当抛物线的焦点坐标在坐标轴上确定，而不知道开口方向时，可以设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)(焦点在x轴上)或x2＝ay(a≠0)(焦点在y轴上)．
基础小测
1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A． B．4
C．5 D．
2．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为_____________________．
基础点二　抛物线的简单几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
顶点 (0，0)
焦点 ______ _________
准线 x＝－ _______ _______ y＝
对称 轴 ______ y＝0 x＝0 _________
离心 率 e＝1
基础小测
1．抛物线y＝的焦点坐标为(0，－1)，则实数a＝(　　)
A．4　　 B．－4　　
C．　　 D．－
2．已知点M(3，y0)是抛物线y2＝2px(0A．1　　 B．2　　
C．　　 D．3
【考点突破】
考点一　抛物线的定义的应用(高考热度：★★★)
[例1] 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
技法点拨：注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
同源变式
变式1将本典例条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3，2) ”，则点M的坐标为________，此时的最小值为________．
变式2　将本典例条件变为“在抛物线上有一动点M到y轴的距离为d1，到直线l：x－y＋5＝0的距离为d2”，则d1＋d2的最小值为________．
归纳点拨
利用抛物线的定义可解决的两类问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是不是抛物线．
(2)距离问题：该类问题一般情况下与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．
①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用与直线上所有点的连线中“垂线段最短”原理解决．
考点微练
1．(2020届福建南安侨光中学高三月考)F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A．4 B．
C．3 D．
2．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　 　)
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
3．(2020届山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________．
考点二　抛物线的标准方程与几何性质(高考热度：★★)
[例2]　(全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
[例3] (武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解题技法
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考点微练
1．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
2．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　抛物线的定义与标准方程
基础小测
1．解析：因为抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，所以点A到准线的距离为5.根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5.故选C.
2．解析：由点P在第四象限，则抛物线的开口方向为向右或向下，所以可设该抛物线的方程为y2＝2px或x2＝－2py(p>0)，将点P的坐标分别代入两方程得，所求抛物线的方程为y2＝x或x2＝－8y.
基础点二　抛物线的简单几何性质
基础小测
1．解析：抛物线y＝的标准方程为 x2＝ ay，焦点坐标为 .由题意可知＝－1，解得a＝－4.故选B.
2．解析：|MF|＝x0＋＝3＋，即3＋＝2×，解得p＝2或p＝18(舍)．故选B.
【考点突破】
考点一　抛物线的定义的应用(高考热度：★★★)
[例1] 解析：设M(x0，y0)．由抛物线方程知焦点F(1，0)．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.
同源变式
变式1 解析：如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，
其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．
过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M1的坐标为(1，2)．
变式2　解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．点M到y轴的距离d1＝|MF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|MF|－1.易知d2＋|MF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|MF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.
考点微练
1．解析：∵F是抛物线y2＝2x的焦点，
∴F，准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝8，
∴x1＋x2＝7，∴线段AB的中点的横坐标为，
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
2．解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
3．解析：由抛物线y2＝2px的焦点为F(1，0)，得＝1，∴p＝2.又∵F是抛物线的焦点，根据焦点弦的性质得＋＝＝1.
考点二　抛物线的标准方程与几何性质(高考热度：★★)
[例2]　答案：D
解析：∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
∴由已知得椭圆＋＝1的一个焦点为，
∴3p－p＝，又p>0，∴p＝8.
[例3] 答案：B
解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
考点微练
1．解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8，所以所求抛物线的方程为y2＝±8x.故选B.
2．解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，与y＝x联立，消去y，得x2－ax＝0，xA＋xB＝a＝2×2＝4，故y2＝4x.
3．解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－＝1，解得x＝±.因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.

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