资源简介

双曲线
新课程标准 考向预测
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 命题角度 1.双曲线的定义及应用 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的几何性质
核心素养 直观想象、数学运算
【基础梳理】
基础点一　双曲线的定义与标准方程
1．双曲线的定义：我们把平面内到两个定点F1，F2的距离的______________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
特别提示：
(1)||PF1|－|PF2||<|F1F2|，点的轨迹为双曲线； 若不加绝对值，表示双曲线的一支；
(2) ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；
(3) ||PF1|－|PF2||>|F1F2|，点的轨迹不存在；
(4) ||PF1|－|PF2||＝0，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2. 双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
知识点睛：
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
基础小测
(2020届上海格致中学高三开学考试)如果双曲线－＝1的焦点在y轴上，焦距为8，那么实数m＝________.
基础点二 双曲线的几何性质
方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 ___________________ ___________________
对称性 关于x轴、y轴及 原点对称 关于x轴、y轴及 原点对称
顶点 ___________________ ___________________
离心率 e＝(e>1)
渐近线 ________________ ________________
基础小测
1．(2020届福建南安侨光中学高三月考)设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
2．(2020届广东广雅中学高三开学考试)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A，B，C，D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为________.
【考点突破】
考点一　双曲线的定义的应用(高考热度：★)
[例1] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
同源变式
变式1 本典例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积为________．
变式2 本典例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________．
解题思想
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
归纳点拨
双曲线定义应用的技巧
(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
考点微练
1．若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是(　　)
A．4 B．12 C．4或12 D．6
2．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________．
考点二　双曲线的标准方程(高考热度：★★★)
[例2] (2020届天津南开中学高考模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M，若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1　　　　
解题技法
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[提醒]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
考点微练
(多选题)(2020届山东模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
考点三　双曲线的几何性质(高考热度：★★★★)
考向1　求双曲线的离心率或离心率的取值范围
[例3] (2019全国卷Ⅱ，11)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A． B． C．2 D．
方法总结
求双曲线离心率的值或取值范围，常见的有两种方法：
(1)求出a，c的值，代入公式e＝.
(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
考向微练
1．(浙江卷，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A． B．1 C． D．2
2．(2020届江西高三开学考试)圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，＋1)
易错警示：求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件．
考向2　双曲线几何性质的应用
[例4] (2019江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
考向微练
1．(2020届安徽合肥一中高考模拟)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
2．(2020届天津新华中学高考模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P.若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
考向3　求参数或变量的取值范围
[例5] (2020届重庆南开中学高三开学考试)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线围成面积为3的正三角形，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．4
考向微练
1．已知双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m＝(　　)
A．2 B． C．3　 D．
2．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)　
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
方法总结
求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：
参考答案
【基础梳理】
基础点一　双曲线的定义与标准方程
基础小测
解析：由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，则－＝1，半焦距为4，则－m－3m＝16，解得m＝－4.
基础点二 双曲线的几何性质
基础小测
1．解析：由题可知e＝＝，c2＝a2＋b2，解得＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，选B.
2．解析：由正六边形的图形特征知，若双曲线的焦点在x轴上，且F2为双曲线的右焦点，以F1F2为直径的圆与渐近线在第一象限的交点为A，则△OAF2为等边三角形，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角为，∴＝tan＝，此时，双曲线的离心率为e＝＝＝2，∴双曲线的离心率为2.
【考点突破】
考点一　双曲线的定义的应用(高考热度：★)
[例1] 解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos ∠F1PF2＝＝＝.
同源变式
变式1 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
变式2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2.
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S＝|PF1|·|PF2|＝2.
考点微练
1．解析：设双曲线的两个焦点分别为A，B.由双曲线的定义知，||PA|－|PB||＝4，|8－|PB||＝4，则|PB|＝4或|PB|＝12.故选C.
2．解析：由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得则|PF1|·|PF2|＝3.
考点二　双曲线的标准方程(高考热度：★★★)
[例2] 解析：由题意可得e＝＝①， 可得＝＝.设F(c，0)，
渐近线方程为y＝x，可得F到渐近线的距离为|MF|＝＝b.
由勾股定理可得|OM|＝＝＝a.
因为△FOM的面积为，所以ab＝②.
又a2＋b2＝c2③，由①②③解得b＝，a＝2，c＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
考点微练
解析：∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，由双曲线过点(3，)得λ＝1.故选项A正确．此时双曲线C的离心率e为，故B选项错误．y＝ex－2－1经过双曲线C的焦点(2，0)，故选项C正确．联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故只有一个公共点，所以D选项错误．
考点三　双曲线的几何性质(高考热度：★★★★)
考向1　求双曲线的离心率或离心率的取值范围
[例3] 解析：如图，设PQ与x轴交于点A.由对称性可知PQ⊥x轴．
又∵|PQ|＝|OF|＝c，∴|PA|＝，
∴PA为以OF为直径的圆的半径，
∴|OA|＝，∴P.又P点在圆x2＋y2＝a2上，∴＋＝a2，即＝a2，∴e2＝＝2.∴e＝.故选A.
考向微练
1．解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以a＝b，则c＝＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
2．解析：双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆C：x2＋y2－10y＋16＝0，圆心为(0，5)，半径为3.因为圆C上有且仅有两点到bx－ay＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到bx－ay＝0的距离d的范围为2＜d＜4，即2＜＜4.又a2＋b2＝c2，所以2＜＜4，即＜e＜.故选C.
考向2　双曲线几何性质的应用
[例4] 解析：由已知得32－＝1，解得b＝或b＝－.
因为b＞0，所以b＝.因为a＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
考向微练
1．解析：设|AB|＝3，|BF1|＝4，|AF1|＝5，|AF2|＝x.由双曲线的定义得，3＋x－4＝5－x，解得x＝3，所以|F1F2|＝＝2，即c＝.因为2a＝5－x＝2，即a＝1，所以b＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x.
2．解析：∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，p＝2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，即c＝1.设P(m，n)，由抛物线定义知：
|PF|＝m＋＝m＋1＝，∴m＝.
∴点P的坐标为.
∴解得
则所求渐近线方程为y＝±x＝±x.
考向3　求参数或变量的取值范围
[例5] 解析：如图．∵直线AB过双曲线C的右焦点，且△OAB是面积为3的等边三角形，即×|OA|2＝3，∴|OA|＝|OB|＝|AB|＝2，∴c＝2×cos 30°＝3.又＝tan 30°＝，且c2＝a2＋b2.
解得a＝，则双曲线C的实轴长为2a＝3.故选B.
考向微练
1．解析：由双曲线的方程－＝1，m>0，知＝，所以m＝2.故选A.
2．解析：不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点．
由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3.∴F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.
又－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1＜0.
∴－＜y0＜.故选A.

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