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圆的方程
新课程标准 考向预测
　　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 命题角度 1.圆的方程 2.与圆有关的轨迹问题 3.与圆有关的最值问题
核心素养 数学素养、直观想象
【基础梳理】
基础点一　圆的定义及方程
[提醒]　当D2＋E2－4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形．
基础小测
1．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2．已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为(　　)
A．－1 B．1
C．±1 D．0
基础点二 点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
基础小测
1．点A(1，2)与圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1的位置关系是(　　)
A．点A在圆C内 B．点A在圆C外
C．点A在圆C上 D．不能确定
2．若过点(1，2)总可以作两条直线和圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－，－3)∪(2，)
B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C．(－3，2)
D．[－，－3)∪(2，]
【考点突破】
[例1]已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________．
[例2] 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是____________________．
[例3] 经过三点(2，－1)，(5，0)，(6，1)的圆的一般方程为__________________________．
解题技法
1．求圆的方程常见的三种类型
(1)已知不共线的三点．
(2)已知两点及圆心所在的直线．
(3)已知直线与圆的位置关系．
2．求圆的方程的两种方法
几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定系数法 ①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点微练
1．圆x2＋y2－4x＋3＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－)2＝1
2．已知圆C经过点A(1，3)，B(4，2)，与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为____________________．
考点二　与圆有关的最值问题(高考热度：★★★)
[例4] 已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
归纳点拨
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．
考点微练
已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则的最大值为________，|3x＋4y－28|的最小值为________．
考点三　与圆有关的轨迹问题(高考热度：★★)
[例5] 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作□MONP，求点P的轨迹．
方法总结
求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
考点微练
1．(2020届广东珠海高三9月月考)已知点M(－1，0)，N(1，0)．若直线l：x＋y＝m上存在点P使得PM⊥PN，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B．(－1，1)
C．[－，] D．(－，)
2．如图，已知点A(3，0)，点P是圆x2＋y2＝1(x≠1)上的一点，∠AOP的平分线交AP于Q，求点Q的轨迹方程．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　圆的定义及方程
基础小测
1．解析：线段AB的中垂线方程为y＝x，所以由得圆心(1，1)，半径为2.因此，圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.
2．解析：化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1，则圆心坐标为(－k2，－1)，∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，∴直线y＝x经过圆心，∴－k2＝－1，得k＝±1.当k＝1时，k4－4k＋1＝－2＜0，不合题意，∴k＝－1.故选A.
基础点二 点与圆的位置关系
基础小测
1．解析：因为(1＋1)2＋(2－2)2＝4＞1，所以点A在圆C外．故选B.
2．解析：把圆的方程化为标准方程可得＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2＞0，解得－＜k＜.又点(1，2)应在已知圆的外部，把点的坐标代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15＞0，解得k＞2或k＜－3，则实数k的取值范围是∪.故选A.
【考点突破】
考点一　求圆的方程(高考热度：★★)
[例1]解析：设圆心C的坐标为(a，0)，则|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝2，故圆心为(2，0)，半径为，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
[例2] 解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)，所以半径r＝＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
[例3] 解析：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.
考点微练
1．解析：由题意得，x2＋y2－4x＋3＝0即为(x－2)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(2，0)，半径为1.
设圆心(2，0)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，
则解得
∴所求圆的圆心坐标为(1，)，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1.故选D.
2．解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为点B(4，2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4，2)是圆与直线2x＋y－10＝0相切的切点，连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，则kBC＝，则直线BC的方程为y－2＝(x－4)，整理得x－2y＝0.
由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，联立方程解得即圆心为C(2，1)．又由r＝|BC|＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
考点二　与圆有关的最值问题(高考热度：★★★)
[例4] 解：(1) (方法一)x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心为C(2，7)，半径r＝2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程．因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解得16－2≤t≤16＋2，所以m＋2n的最大值为16＋2.
(方法二)由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8.
因为点M(m，n)为圆上任意一点，所以可设即
所以m＋2n＝2＋2cos θ＋2(7＋2sin θ)
＝16＋2cos θ＋4sin θ＝16＋sin(θ＋φ)
＝16＋2sin(θ＋φ) .
故m＋2n的最大值为16＋2.
(2) 记点Q(－2，3)．
因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.因为直线MQ与圆C有公共点，所以≤2.解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
考点微练
解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而表示圆上的点到坐标原点的距离，∴()max＝＋6＝11.由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋4)2＝36可设圆上点的坐标为(θ为参数)，
∴|3x＋4y－28|＝|18cos θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|，∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x＋4y－28|min＝5.
考点三　与圆有关的轨迹问题(高考热度：★★)
[例5] 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为 .
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以所以
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4，所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆．
因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和 .
考点微练
1．解析：设P(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．因为PM⊥PN，所以·＝0，即x2＋y2＝1.因为P在直线l上，所以圆心O(0，0)到直线l的距离d＝≤1，解得－≤m≤.故选C.
2．解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)．
∵OQ是∠AOP的平分线，∴＝.
又|AO|＝3，|OP|＝1，∴＝3，即＝3，
∴(x－3，y)＝3(x′－x，y′－y)，∴
∵P(x′，y′)在圆x2＋y2＝1(x≠1)上，
∴＋＝1，即＋y2＝ .

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