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圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
考点一　最值问题
【经典再现】
[例1] (课标全国Ⅱ，21，12分)已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
(i)证明：△PQG是直角三角形；
(ii)求△PQG面积的最大值.
总结提升
最值问题的2种基本解法
几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法 建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)
【对点训练】
1.(洛阳统考)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，O为坐标原点，F(-，0)为椭圆C的左焦点，离心率为，直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M(1，1)是弦AB的中点，P是椭圆C上一点，求△PAB面积的最大值.
考点二　范围问题
【经典再现】
[例2] (课标全国Ⅱ文，20，12分)已知F1,F2是椭圆C：+ =1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
总结提升
范围问题的解题策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
(5)利用函数值域的求法，确定所求范围；
(6)利用已知，将条件转化为几个不等关系，从而求出参数的范围.
【对点训练】
2. (济南学习质量评估)已知椭圆C：+ =1(a>b>0)过点M，左焦点为F(-1,0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点P，Q，点N(0，-2)，记直线NP，NQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的取值范围.
考点三　证明问题
【经典再现】
[例3] (课标全国Ⅰ，19，12分)设椭圆C：+=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
总结提升
几何证明问题的解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
【对点训练】
3.(合肥第一次质检)设椭圆E：+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于C，D两点，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.
参考答案
考点一　最值问题
【经典再现】
[例1] 解析：(1)由题设得·=，化简得+=1(|x|≠2)，
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.
(2)(i)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=kx(k>0).
由得x=±.
记u=，则P(u，uk)，Q(-u，-uk)，E(u，0).
于是直线QG的斜率为，方程为y= (x-u).
由得(2+)-2ux+-8=0.①
设G(xG，yG)，则-u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=.
从而直线PG的斜率为=.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
(ii)由(i)得|PQ|=2u，|PG|=，
所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.
设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号.
因为S=在[2，+∞)上单调递减，
所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为.
因此，△PQG面积的最大值为.
【对点训练】
1. 解析：(1)∵F(-，0)为椭圆C的左焦点，
∴c=，
又离心率为，∴a=2，b=，
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵M(1，1)是弦AB的中点，∴直线l的斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y-1=k(x-1)，即y=kx+1-k.
由整理得(1+2)+4k(1-k)x+2-4=0，
∵直线与椭圆相交，∴Δ>0成立.
∴x1+x2=，x1x2=，
又x1+x2==2，
∴k=-，
∴直线l的方程为x+2y-3=0，x1+x2=2，x1x2=，
∴|AB|=|x1-x2|==×=.
|AB|是定值，要使△PAB的面积最大，需P点到AB的距离最大.
设与直线l平行的直线方程为x+2y+m=0(m≠-3)，
由得6+4my+-4=0，
令Δ1=16-24(-4)=0，得m=±2.
∵P是椭圆C上一点，
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2=0到直线l的距离d.
而d==，
此时S△PAB=d|AB|=××=.
因此，△PAB面积的最大值为.
考点二　范围问题
【经典再现】
[例2] 解析：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，
|PF2|=c，|PF1|=c，于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c，故C的离心率e==-1.
(2)法一：由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，
当且仅当|y|·2c=16，·=-1， + =1，
即c|y|=16，①
+=，②
+ =1.③
由②③及=+得=，
又由①知= ，故b=4.
由②③得= (-)，所以≥，
从而=+≥2=32，故a≥4.
当b=4，a≥4时，存在满足条件的点P.
∴b=4，a的取值范围为[4，+∞).
法二：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
由椭圆的定义可得r1+r2=2a，
=r1r2=16，∴r1r2=32.
又PF1⊥PF2，∴+ =4，
=+ +2r1r2=4+64=4，
∴4-4=64，∴b=4，
又+ ≥2r1r2，∴4≥2×32，∴c≥4，
∴=+=16+≥32，
∴b的值为4，a的取值范围为[4，+∞).
【对点训练】
2. 解析：(1)因为椭圆C的左焦点为F(-1，0)，所以c=1.
因为椭圆C过点M，所以+=1，又=+，
所以=4，=3，所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得得(3+4)+16kx+4=0.
由Δ=-4×4(3+4)>0 ∈.
x1+x2=，x1·x2=，
y1+y2=k(x1+x2)+4=，
y1y2=x1x2+2k(x1+x2)+4=，
所以k1·k2=·==+12，
因为∈，
所以+12∈，
所以k1·k2的取值范围是.
考点三　证明问题
【经典再现】
[例3] 解析：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x=1，
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为y=-x+或y=x-.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+，
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得kMA+kMB=.
将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0，
所以，x1+x2=，x1x2=.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0，
从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，
所以∠OMA=∠OMB.综上，∠OMA=∠OMB.
【对点训练】
3. 解析：(1)由题意知，4a=4，a=.
又e=，∴c=，b=，
∴椭圆E的方程为+ =1.
(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上,则O，M，N三点共线；
当直线AB,CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则两式相减，得+ - =0，
∴=-=-，
∴·=·=，即k·kOM=，
∴kOM=.
同理可得kON=，∴kOM=kON，∴O，M，N三点共线.

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