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直线与圆
考点一　直线的方程
【经典再现】
[例1] 若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
[例2] (豫南豫北精英对抗赛，5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N，则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为(　 　)
A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0
【总结提升】
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(2)要注意直线方程每种形式的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
【对点训练】
1.已知直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|·|MB|的最大值为______________.
考点二　圆的方程及应用
【经典再现】
[例3] (浙江，12，6分)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2，-1)，则m=________，r=__________.
[例4] (课标全国Ⅱ，19，12分)设抛物线C：=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
【总结提升】
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)，求得各
系数，进而求出圆的方程.
【对点训练】
1.(河北石家庄一模，8)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(-1，0)和(2，3)，则圆C的半径为(　 　)
A.8 B.2
C.5 D.
2. (河北五个一名校联盟一诊，7) 已知点P为圆C：=4上一点，A(0，-6)，B(4，0)，则|+|的最大值为(　 　)
A.+2 B.+4
C.2+4 D.2+2
考点三　直线、圆的位置关系
【经典再现】
[例5] (课标全国Ⅲ，6，5分)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆=2上，则△ABP面积的取值范围是(　 　)
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
[例6] (课标全国Ⅲ，20，12分) 已知抛物线C：=2x，过点(2，0)的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，-2)，求直线l与圆M的方程.
【总结提升】
直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
【对点训练】
1.(江西上饶一模)直线ax-by=0与圆-ax+by=0的位置关系是(　 　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
2.(广东天河一模，10)已知圆C的方程为-2x+=0，直线l：kx-y+2-2k=0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k为(　　)
A.1 B.6 C.1或7 D.2或6
3. (湖南五市十校高三联考，6) 两圆+4x-4y=0和+2x-8=0相交于两点M,N，则线段MN的长为(　 　)
A. B.4
C. D.
参考答案
考点一　直线的方程
【经典再现】
[例1] 答案：B
解析：由l1∥l2得(a-2)a=1×3，且a×2a≠3×6，解得a=-1，
∴l1：x-y+6=0，l2：x-y+ =0，
∴l1与l2间的距离d==.
[例2] 答案：B
解析：由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0，
令可得x=-3，y=1，∴N(-3，1).
设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6).
则=，解得c=12或c=-6(舍去).
∴所求直线方程为2x+3y+12=0，故选B.
【对点训练】
1.答案：
解析：由题意可知，直线l1：kx-y+4=0经过定点A(0，4)，
直线l2：x+ky-3=0经过定点B(3，0)，
易知直线l1：kx-y+4=0和直线l2：x+ky-3=0始终垂直，又M是两条直线的交点，
所以MA⊥MB，所以=25.
故|MA|·|MB|≤，当且仅当|MA|=|MB|=时取“=” .
考点二　圆的方程及应用
【经典再现】
[例3] 答案：-2；
解析：设直线2x-y+3=0为l，则AC⊥l，又kl=2，
∴kAC==- ，解得m=-2，∴C(0，-2)，
∴r=|AC|==.
[例4] 解析：(1)由题意得F(1，0)，
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得-(2+4)x+=0.
因Δ=16+16>0，故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8，解得k=-1(舍去)或k=1.
因此，l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则，解得或
因此所求圆的方程为=16或=144.
【对点训练】
1.答案：D
解析：
解法一：设圆的标准方程为+= (r>0).
∵圆C经过点(-1，0)和(2，3)，
∴
∴a+b-2=0，①
又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|=|b|，②
由①②得a=b=1，∴圆C的半径为，故选D.
解法二：∵圆C经过点M(-1，0)和N(2，3)，
∴圆心C在线段MN的垂直平分线y=-x+2上，
又圆C截两坐标轴所得弦长相等，
∴圆心C到两坐标轴的距离相等，
∴圆心C在直线y=±x上，
∵直线y=-x和直线y=-x+2平行，
∴圆心C为直线y=x和直线y=-x+2的交点(1，1)，
∴圆C的半径为.故选D.
2. 答案：C
解析：取AB的中点D(2，-3)，则+ =2，|+ |=|2|，
||的最大值为圆心C(1，2)到D(2，-3)的距离d再加半径r，
又d==，∴d+r=+2，
∴|2|的最大值为2+4.故选C.
考点三　直线、圆的位置关系
【经典再现】
[例5] 答案：A
解析：由圆=2可得圆心坐标为(2，0)，半径r=，
△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S=|AB|·d.
易知|AB|=2，dmax=+=3，dmin=-=，
所以2≤S≤6，故选A.
[例6] 解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my+2.
由可得-2my-4=0，则y1y2=-4.
又x1=，x2=，故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1，
所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m，x1+x2=m(y1+y2)+4=2+4.
故圆心M的坐标为(+2，m)，圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4，-2)，因此 · =0，故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0，
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4，x1x2=4.
所以2-m-1=0，解得m=1或m=-.
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为=10.
当m=-时，直线l的方程为2x+y-4=0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为+=.
【对点训练】
1.答案：B
解析：将圆的方程化为标准方程得+=，
∴圆心坐标为，半径r=.
∵圆心到直线ax-by=0的距离d===r，
∴直线与圆相切.故选B.
2.答案：C
解析：由-2x+=0，得+=1，
则圆的半径r=1，圆心C(1，0)，
直线l：kx-y+2-2k=0与圆C交于A，B两点，
当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，
此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d=，
则有=，解得k=1或k=7.故选C.
3. 答案：D
解析：两圆的方程相减，得直线MN的方程为x-2y+4=0，圆+2x-8=0的标准方程为=9，所以圆+2x-8=0的圆心为(-1，0)，半径为3，圆心(-1，0)到直线MN的距离d=，所以线段MN的长为2×= . 故选D.

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