资源简介 人教A版(2019)必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》2022年单元测试卷一 、单选题(本大题共8小题,共40分)1.(5分)下列结论正确的是A. 若 ,则B. 若 ,则C. 若 ,则D. 若 ,则2.(5分)关于的不等式的解集中恰有个正整数,则实数的取值范围是A. B.C. D.3.(5分)若,则下列不等式不能成立的是 A. B. C. D.4.(5分)已知,,,则的最小值为A. B. C. D.5.(5分)(教材改编题)已知集合0},B={-4,1,3,5},则A∩B=( )A. {-4,1} B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3}6.(5分)若关于的不等式有且只有一个整数解,则实数的取值范围是A. 或 B.C. 或 D. 或7.(5分)某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买只玫瑰与只康乃馨所需费用之和大于元,而购买只玫瑰与只康乃馨所需费用之和小于元.设购买只玫瑰花所需费用为元,购买只康乃馨所需费用为元,则,的大小关系是A. B.C. D. ,的大小关系不确定8.(5分)已知,均为正数,则,的大小关系为A. B. C. D. 不确定二 、多选题(本大题共4小题,共16分)9.(4分)若非零实数,满足,则下列不等式不一定成立的是A. B. C. D.10.(4分)若关于的一元二次方程有实数根,,且,则下列结论中正确的说法是A. 当时,, B.C. 当时, D. 当时,11.(4分)已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数,则的值可以是A. B. C. D.12.(4分)已知实数,,且,则下列选项正确的是A. B. C. D.三 、填空题(本大题共4小题,共20分)13.(5分)不等式对任意实数都成立,则实数的取值范围是______.14.(5分)已知,则下列不等式:①② ③ ④⑤中,你认为正确的有______填序号.15.(5分)已知,,则的取值范围是______.16.(5分)已知正数,满足,则的最小值为______.四 、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(12分)已知,,且. Ⅰ求的取值范围; Ⅱ求的最小值,并求取得最小值时,的值.18.(12分)已知 为正数, 求 的最小值;求证: .19.(12分)解不等式:.20.(12分)考虑到高速公路行车安全需要,一般要求高速公路的车速公里小时控制在范围内.已知汽车以公里小时的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗所需要的汽油量为升,其中为常数,不同型号汽车值不同,且满足 若某型号汽车以公里小时的速度行驶时,每小时的油耗为升,欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过升,求车速的取值范围; 求不同型号汽车行驶千米的油耗的最小值.21.(12分)设函数. Ⅰ若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围; Ⅱ在的条件下,当取最大值时,设,且,求的最小值.22.(12分)已知二次函数过点,且当时,函数取得最小值 求函数的解析式; 若,函数的图象恒在直线的上方,求实数的取值范围.答案和解析1.【答案】D;【解析】该题考查不等式的性质:不等式的两边同乘以一个负数不等号要改变,不等式的两边同加上一个数不等号不变。解:当时,由,得,故A不正确.B.若,则,或,故B不正确. C.若,,则,故C不正确.D.,故D正确.故选D.2.【答案】B;【解析】解:原不等式可化为, 若,则不等式的解是, 不等式的解集中不可能有个正整数, 所以,不等式的解是; 所以不等式的解集中个正整数分别是,,,; 令,解得; 所以的取值范围是. 故选:. 不等式化为,讨论和时,求出不等式的解集,从而求得的取值范围. 该题考查了一元二次不等式解法与应用问题,是中档题.3.【答案】C;【解析】 此题主要考查了不等式的基本性质,属于基础题.逐项判断即可. 解:对,,,正确; 对,, , , ,正确; 对,若,则需,不一定成立,错误; 对,,,正确. 故选4.【答案】B;【解析】解:由,,,, 当且仅当即,时取等号, 故则的最小值为, 故选:. 把式子变形,利用基本不等式,求出它的最小值. 这道题主要考查基本不等式的应用,式子的变形是解答该题的关键,属于基础题,5.【答案】D;【解析】略6.【答案】A;【解析】解:①当时,不满足条件, 故,关于的不等式,即, ②当时,不等式即,它的解集为,不满足条件, ③当时,不等式即 由于,当且仅当时取等号,故它的解集为, 即, 或, 则实数的取值范围为 故选: 分类讨论的值,判断且,由此求出不等式组的解集,可得实数的取值范围. 此题主要考查一元二次不等式的解法,分类讨论是关键,属于中档题.7.【答案】A;【解析】解:由题意得,,, 整理得,, , 将乘以与相加,解得, 将代入中,解得, 故A, 故选:. 根据题意列出、所满足的关系式,以及、与、的关系,进而消去、,得到、的关系式,最后利用不等式的性质求解即可. 该题考查利用函数知识解决应用题以及解不等式的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中,如何建模是解决这类问题的关键.8.【答案】B;【解析】解:, , 即,因此,, 故选:. 将、分别平方并展开,然后利用基本不等式可得出和的大小关系,从而可得出与的大小关系. 本题考察利用不等式的基本性质比大小,问题的关键在于基本不等式的灵活应用,属于中等题.9.【答案】ABD;【解析】解:当时,不成立, 当时,不成立, 因为,则一定成立, 因为符号不定,故不一定成立. 故选:. 当时,不成立可判断;当时,不成立可判断;利用作差可判断,. 这道题主要考查了不等式的性质的灵活应用,解答该题的关键是基本知识的熟练掌握.10.【答案】ABD;【解析】解:中,时,方程为,解为:,,所以正确; 中,方程整理可得:,由不同两根的条件为:,可得,所以正确. 当时,即,函数与轴的交点,,如图可得,所以正确,不正确; 故选: 令,画图可得所给的命题的真假. 考查一元二次方程根的分步,属于基础题.11.【答案】BCD;【解析】解:当时一元二次不等式即为,解得,有个整数解,错; 当时一元二次不等式即为解得,有个整数解“,,”,对; 当时一元二次不等式即为,解得,有个整数解“,,”,对; 当时一元二次不等式即为,解得,有个整数解“,,”,对; 故选: 把每个选项中的数代入关于的一元二次不等式验证即可. 此题主要考查一元二次不等式及其应用,考查数学运算能力,属于中档题.12.【答案】ABD;【解析】解:对于,因为,所以,, 又,,所以,,即,, 所以,所以,故正确; 对于,因为,,,所以,所以, 当且仅当,即,时取等号,故正确; 对于,, 所以,当且仅当,时取等号,故错误; 对于,因为,,,所以, 所以,令,, , 当时,,单调递增; 当时,,单调递减. 故,即, 所以,故正确. 故选: 首先求出,的范围,利用作差法判断,利用基本不等式判断、,依题意可得,令,,利用导数说明函数的单调性,即可求出函数的最大值,从而判断 此题主要考查基本不等式及导数求最值,属于中档题.13.【答案】0≤m<4;【解析】解:对任意实数都成立, 当时,对任意实数都成立; 当时,,解得:. 综上所述,. 故答案为:. 对任意实数都成立,分与讨论即可求得答案. 该题考查函数恒成立问题,分与讨论是关键,属于中档题.14.【答案】④;【解析】解:①若,,则有,所以①错误. ②若,,则有,所以②错误. ③若,,则有,所以③错误. ④因为指数函数在定义域上是增函数,所以④正确. ⑤因为,所以,但不一定成立,所以⑤错误. 故答案为:④. 利用不等式的性质分别判断不等关系是否成立. 这道题主要考查了不等关系和不等式的判断,要熟练掌握不等式的性质.15.【答案】;【解析】解:令,, 则,, , 故答案为: 令,,解出,后代入到后变成,再利用,的范围可求得. 该题考查了不等关系与不等式,属基础题.16.【答案】3;【解析】解:正数,满足, ,当且仅当时取““, 故答案为:. 把代入式子中,变形后利用基本不等式求得结果即可. 这道题主要考查式子的变形及基本不等式的应用,属于基础题.17.【答案】解:(I)ab=a+b+3,当且仅当a=b时取等号, 解得≥3或≤-2(舍), 故ab≥9, (II)∵a,b>0,且ab=a+b+3, ∴b=>0, ∴a>1, ∴4a+b=4a+=4a+=1+4a+=5+4(a-1)+=13, 当且仅当4(a-1)=即a=2时取等号,此时4a+b取得最小值9.;【解析】 由已知结合基本不等式即可求解, 由已知可利用表示,代入所求式子后进行分离,然后结合基本不等式可求. 这道题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,解答该题的关键是应用条件的配凑.18.【答案】(1)解:因为,当且仅当a=2b时等号成立,故的最小值为9.(2)证明:因为因为 ,得所证成立.;【解析】由基本不等式得最小值.运算作差法证明,即将结论转化成,证明式子大于即可.19.【答案】解:方法一,原不等式化为(x+1)(x-3)>0, 即或, 解得x>3或x<-1, 故原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}; 方法二,作函数y=-2x-3的图象,如图所示, 由图可知,y=-2x-3的图象在x轴上方, (即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x<-1或x>3, 故原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.;【解析】 方法一:对不等式左边进行因式分解,再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解; 方法二:利用二次函数的图象求解. 该题考查了一元二次不等式的解法问题,是基础题.20.【答案】解:(1)由题意可得,当v=120时,(v-k+)=11.5,解得k=100, 由(v-100+)≤9,即-145v+4500≤0,解得45≤v≤100, 又60≤v≤120, 所以60≤v≤100, 故欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升,则车速v的取值范围为[60,100]; (2)设该汽车行驶100千米油耗为y升, 则=,其中60≤v≤120, 令t=,则t∈, 所以y=90000-20kt+20=, 对称轴方程为, 因为60≤k≤120,则∈, ①当≥,即75≤k<120时,则当,即时,; ②当<,即60≤k<75时,则当,即v=120时,. 综上所述,当75≤k<100时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升; 当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.;【解析】 由题意,先求出的值,然后建立不等式,求解即可; 设该汽车行驶千米油耗为升,求出的函数解析式,令,则,得到,分和两种情况,由二次函数的性质求解最小值,即可得到答案. 此题主要考查了函数模型的选择与应用,解答该题的关键是建立符合条件的函数模型,分析清楚问题的逻辑关系是解答该题的关键,此类问题求解的一般步骤是:建立函数模型,进行函数计算,得出结果,再将结果反馈到实际问题中指导解决问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.21.【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=-3x的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线, 故函数f(x)=-3x在[0,1]上单调递减, 当x=1时,函数取最小值-2, 若不等式f(x)≥m对任意x∈[0,1]恒成立, 则m≤-2; (Ⅱ)由(I)得:m=-2, 即2x+4y=2,即x+2y=1 由x>0,y>0 故+=(+)(x+2y)=3++≥3+2=3+2 即+的最小值为3+2.;【解析】 分析函数在上的单调性,进而求出函数的最小值,可得实数的取值范围; Ⅱ由得:,即,利用基本不等式,可得的最小值. 该题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.22.【答案】解:(1)由题意得,, 解得,a=1,b=-4,c=0, 所以f(x)=-4x, (2)若 x∈[1,4],函数f(x)的图象恒在直线y=(m-2)x-的上方, 则需满足, 解得,m>2或m<, 所以m的范围为{m|m>2或m<}.;【解析】 由已知结合二次函数取得最值的条件及,可建立关于,,的方程,可求; 结合已知二次函数与此时函数的性质可建立关于的不等式组,解不等式可求的范围. 此题主要考查了待定系数求解函数解析式,还考查了不等式的恒成立求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于中档题. 展开更多...... 收起↑ 资源预览