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人教A版（2019）必修第二册《第10章 概率》2022年单元测试卷（2）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）给出如下三对事件：
①某人射击次，“射中环”与“射中环”；
②甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；
③从装有个红球和和黑球的口袋内任取个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．
其中属于互斥事件的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为，乙同学每次投篮命中的概率为，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行次投篮，则他们命中的次数之和不少于的概率为
A. B. C. D.
3.（5分）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是
A. 朝上点数是的概率为 B. 朝上点数是的频率为
C. 抛掷第次，朝上点数一定不会是 D. 抛掷第次，朝上点数一定是
4.（5分）甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是
A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于则甲胜，否则乙胜
C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D. 甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
5.（5分）将个不加区分的红球和个不加区分的黄球随机排一行，则个黄球不相邻的概率为
A. B. C. D.
6.（5分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为
A. B. C. D.
7.（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为
A. B. C. D.
8.（5分）如图，在中，，为线段上两点，现从，，，，这五个点中任取三个点，则这三个点能构成一个三角形的概率为
A. B. C. D.
9.（5分）从装有个红球和个蓝球的袋中均不小于，每次不放回地随机摸出一球记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是
A. B.
C. D.
10.（5分）在平面直角坐标系中，点，点，点在线段为坐标原点上移动，则线段的长度大于的概率为
A. B. C. D.
11.（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为，则
A. B. C. D.
12.（5分）把黑、红、白张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是
A. 对立事件 B. 必然事件
C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的辆汽车中，时速在区间内的汽车有______辆．
14.（5分）设随机变量服从二项分布，若，，则实数的值为 ______.
15.（5分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”如，等在所有的“三位递增数”中，百位数字是的“三位递增数”有__________个；若在所有的“三位递增数”中，随机抽取一个数，则三个数字之积能被整除，但不能被整除的概率为__________.

16.（5分）不透明的布袋中有个白球，个黑球，个红球共个球除颜色外完全相同，从中随机摸出个球，则两个不同色的概率为______________．
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，现采用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取人进行采访．
求应从各年级分别抽取的人数．
若从抽取的人中再随机抽取人做进一步了解注：高一学生记为，高二学生记为，高三学生记为
，，，，．
列出所有可能的抽取结果；
求抽取的人均为高三年级学生的概率．
18.（12分）为制定某校七年级、八年级、九年级学生校服的生产计划，有关部门抽取了本校名初中男生的身高单位：，获得如表数据：
类别 七年级 八年级 九年级 全校频数
合计
已知该校七年级、八年级、九年级的人数分别为，，人，请估计该校身高在的人数；
从七年级的个样本中，按身高进行分层抽样，抽取人，再从其中身高在的人中任意抽取人，求这人中至少有人身高不低于的概率．
19.（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表假设该区域空气质量指数不会超过：
空气质量指数
空气质量等级 级优 级良 级轻度污染 级中度污染 级重度污染 级严重污染
该社团将该校区在年月中天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．
以这天的空气质量指数监测数据作为估计年月的空气质量情况，则年月中有多少天的空气质量达到优良？
已知空气质量等级为级时不需要净化空气，空气质量等级为级时每天需净化空气的费用为元，空气质量等量等级为级时每天需净化空气的费用为元．若从这天样本中空气质量为级、级、级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为元的概率．
20.（12分）为了解宝鸡市的交通状况，现对其条道路进行评估，得分分别为：，，，，，规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表：
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；
用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率．
21.（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：
求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；
若该单位有职工人，试估计职工一天行走步数不大于的人数；
在的条件下，该单位从行走步数大于的组职工中用分层抽样的方法选取人参加远足拉练活动，再从人中选取人担任领队，求这两人均来自区间的概率．
22.（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为
求频率分布直方图中的值；
估计该企业的职工对该部门评分不低于的概率；
从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：在①中，某人射击次，“射中环”与“射中环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；
在②中，甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；
在③中，从装有个红球和和黑球的口袋内任取个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．
故选：．
利用互斥事件的定义直接求解．
该题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的定义的合理运用．
2.【答案】B;
【解析】解：由题可知，他们命中的次数为的概率为，
命中的次数为的概率为
故他们命中的次数之和不少于的概率为
故选：
利用相互独立事件概率乘法公式分别求出他们命中的次数为的概率和命中的次数为的概率，由此能求出他们命中的次数之和不少于的概率．
此题主要考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，是基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则朝上的点数是的频率为，故正确；
频率不同于概率，概率是某事件发生的可能性的大小，是一个定值，而频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，故错误；
抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，所以抛掷第次，朝上点数可能是，也可能不是，故错误．
故选：
根据频率和概率的区别，一一判断即可．
此题主要考查频率与概率的区别，属于基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：抛一枚骰子，向上的点数为奇数的概率为，
向上的点数为偶数的概率为，该游戏公平，则不符题意；
同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于的概率为，
即甲胜的概率与乙胜的概率不等，符合题意；
从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，
是黑色的概率也为，该游戏公平，则不符题意；
甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶的概率为，乙胜的概率也为，
该游戏公平，则不符题意；
故选：．
运用古典概型的概率计算公式，分别计算，，，中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
该题考查概率的求法，注意运用古典概型的概率计算公式，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：将个不加区分的红球和个不加区分的黄球随机排一行，共有种，
其中个黄球不相邻的有种，
所以所求事件的概率为
故选：
根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果．
此题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
6.【答案】C;
【解析】解：列出两辆汽车经过该十字路口全部的行走情况：
直行 左转 右转
直行 直行，直行 直行，左转 直行，右转
左转 左转，直行 左转，左转 左转，右转
右转 右转，直行 右转，左转 右转，右转
所有等可能的情况有种，其中两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的情况有种，
则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为．
故选：．
利用枚举法列出所有等可能事件的种数，找出两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的种数，再由等可能事件的概率求解．
该题考查等可能事件的概率，正确列出所有等可能事件的种数是关键，是基础题．
7.【答案】C;
【解析】解：五个人的编号为，，，，．
由题意，所有事件，共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，，，，，，，，，，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，
没有相邻的两个人站起来的概率为，
故选C．
求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．
该题考查没有相邻的两个人站起来的概率，考查列举法的运用，比较基础．
8.【答案】B;
【解析】解：从，，，，这五个点中任取三个点，
共有，，，，，，，，，，共个基本事件，
其中可构成三角形的有：，，，，，，共个基本事件，
这三个点能构成一个三角形的概率为
故选：
利用古典概型、列举法能求出结果．
此题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查古典概率，条件概率，属于基础题.
利用古典概率，条件概率公式逐一判断即可.
解：，故正确；
B.，故正确；
C.，
，故正确；
D.，故错误.
故选
10.【答案】C;
【解析】解：设，由可得，
所以线段 的长度大于的概率为
故选：
设，由解出的范围，然后可得答案．
此题主要考查几何概型，属于基础题．
11.【答案】B;
【解析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎，的方程，解得即可．
该题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件发生的概率．
解：这一点落在小正方形内的概率为 ，
正方形面积为，
三角形的面积为，
，
即，
即，
，
解得，舍去
故选：．
12.【答案】D;
【解析】解：把黑、红、白张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，
则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”不能同时发生，能同时不发生，
故事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件．
故选：．
事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”不能同时发生，能同时不发生，从而得到事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件．
该题考查两个事件的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．
13.【答案】;
【解析】解：由频率分布直方图得：
时速在区间内的汽车的频率为．
时速在区间内的汽车有辆．
故答案为：．
由频率分布直方图先求出时速在区间内的汽车的频率，由此能求出时速在区间内的汽车数量．
该题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
14.【答案】6;
【解析】解：由题意可得，，解得，
故答案为：
结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
此题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
15.【答案】;;
【解析】
此题主要考查组合的应用，以及古典概型，属于中档题.
讨论十位数字的情况，可得第一空答案；
先计算所有的“三位递增数”的个数，再计算满足“三个数字之积能被整除，但不能被整除”要求的“三位递增数”的个数，相除即可.解：若十位数字是，则个数可以是，，，
若十位数字是，个位可以是，，
若十位数字是，个数只能是，
故百位数字是的“三位递增数”有个；
所有的“三位递增数”总共有个，
所有的“三位递增数”中，三个数字之积能被整除，但不能被整除，则个数字只能是，以及，，，中的个，
由于三个选取后顺序既定，故有个，
所以所求概率
故答案是，

16.【答案】;
【解析】

此题主要考查古典概型的概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

解：根据题意可得：袋子中有个白球，个黄球和个红球，共个，
从袋子中随机摸出两个球结果，
两个球不同颜色的等可能结果，
．
故答案为．
17.【答案】解：（1）由题知，高一、高二、高三年级进入高中数学竞赛复赛的学生人数比例为6：12：24=1：2：4，
所以要抽取的7人，应从高一年级抽取的人数为7×=1人，
从高二年级抽取的人数为7×=2人，
从高三年级抽取的人数为7×=4人，
故应从高一、高二、高三年级分别抽取的人数为1人，2人和4人．
（2）①高一学生记为A1，高二学生记为B1，B2，高三学生记为C1，C2，C3，C4，
所有可能的抽取结果为A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A1C3，A1C4，B1B2，B1C1，B1C2，B1C3，B1C4，B2C1，B2C2，B2C3，B2C4，C1C2，C1C3，C1C4，C2C3，C2C4，C3C4，共21种抽取结果．
②抽取的2人均为高三年级学生的有C1C2，C1C3，C1C4，C2C3，C2C4，C3C4，共6种抽取结果，
所以概率p==．;
【解析】
先根据分层抽样的定义建立高一、高二、高三年级进入高中数学竞赛复赛的学生人数的比例关系，再由频数样本容量频率即可得解；
高一学生记为，高二学生记为，，高三学生记为，，，，用列举法任选名学生进行组合即可；
从可知，人均为高三年级学生的有种抽取结果，再由古典概型即可得解．
该题考查分层抽样、古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
18.【答案】解：（Ⅰ）七年级[143，163）人数比例为，
八年级[143，163）人数比例为，
九年级[143，163）人数比例为，
所以该校身高在[143，163）的人数为．
（Ⅱ）因为七年级的60个样本中，身高在[143，153）、[153，163）、[163，173）、[173，183）的人数比例为2：3：4：1，
可知身高在[143，153）的有2人，记为，，
身高在[153，163）的有3人，记为，，，
从这5人中任意抽2人，样本空间有：
（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）10个，
其中符合题意的基本事件有：
（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）9个，
所以这2人至少有1人身高不低于163的概率为．;
【解析】
分别求出七年级人数比例，八年级人数比例，九年级人数比例，由此能求出该校身高在的人数．
因为七年级的个样本中，身高在、、、的人数比例为：：：，可知身高在的有人，记为，，身高在的有人，记为，，，从这人中任意抽人，利用列举法能求出这人至少有人身高不低于的概率．
此题主要考查人数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：
[0，100）的频率为：（0.002+0.004）×50=0.3，
∴以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，
则2018年11月中空气质量达到优良的天数为：30×0.3=9．
（2）从这10天样本中空气质量为1级、2级、3级的天数分别为：
0.002×50×10=1天，
0.004×50×10=2天，
0.006×50×10=3天，
从中任意抽取两天，基本事件总数n==15，
这两天的净化空气总费用为3000元包含的基本事件个数m==6，
∴这两天的净化空气总费用为3000元的概率p==．;
【解析】
由频率分布直方图求出的频率，由此能估计年月中空气质量达到优良的天数．
从这天样本中空气质量为级、级、级的天数分别为天，天，天，从中任意抽取两天，基本事件总数，这两天的净化空气总费用为元包含的基本事件个数，由此能求出这两天的净化空气总费用为元的概率．
该题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）6条道路的平均得分为（5+6+7+8+9+10）=7.5）…（3分）
∴该市的总体交通状况等级为合格．…（5分）
（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：
（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10）
（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8）
（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本事件．
事件A包括（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共7个基本事件，
∴P（A）=
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为．…（12分）;
【解析】
由已知中对其条道路进行评估，得分分别为：，，，，，，计算出得分的平均分，然后将所得答案与表中数据进行比较，即可得到答案．
我们列出从这条道路中抽取条的所有情况，及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超情况，然后代入古典概型公式即可得到答案．
该题考查的知识点是古典概型，平均数，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．
21.【答案】解：（1）由题意，得0.002×20+0.006×20+0.008×20+a×20+0.010×20+0.008×20+0.002×20+0.002×20=1，
解得a=0.012；
设中位数为110+x，则
0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012x=0.5，
解得x=15，
所以中位数是125；
（2）由200×（0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012×20）=112，
所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人；
（3）在区间（150，170]中有200×0.008×20=32人，
在区间（170，190]中有200×0.002×20=8人，
在区间（190，210]中有200×0.002×20=8人，
按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]中抽取1人，（190，210]中抽取1人；
设从（150，170]中抽取职工为a、b、c、d，从（170，190]中抽取职工为E，从（190，210]中抽取职工为F，
则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，
它们是等可能的，其中满足两人均来自区间（150，170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况，
所以P==；
所以两人均来自区间（150，170]的概率为．;
【解析】
由频率和为，列方程求出的值，再利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；
由频率样本容量求出对应的频数即可；
根据分层抽样原理抽取人，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
该题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．
22.【答案】解：因为，所以．
由所给频率分布直方图知，名受访职工评分不低于的频率为．
所以该企业职工对该部门评分不低于的概率的估计值为．
受访职工中评分在的有：人，记为，，；
受访职工中评分在的有：人，记为，，
从这名受访职工中随机抽取人，所有可能的结果共有种，
它们是，，，，，，，，，．
又因为所抽取人的评分都在的结果有种，即，
故所求的概率为．;
【解析】
利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为，得到；
对该部门评分不低于的即为和，的求出频率，估计概率；
求出评分在的受访职工和评分都在的人数，随机抽取人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
该题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．

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