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26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
学习目标：
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=a(x-h) 2的性质.(难点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h) 2的联系.
自主学习
一、知识链接
1.将直线y=2x向右平移1个单位，新直线的表达式为____________________.
2.抛物线y=ax2+k(a＜0，k＞0)的开口向______,对称轴为____________,顶点坐标为___________.将抛物线y=ax2向_____平移______个单位，可得到抛物线y=ax2+k.
思考：二次函数y=a(x-h)2的图象能否由y=ax2的图象通过平移得到
二、新知预习
在如图①所示的直角坐标系中，画出函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象．
（1）列表:
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
y=2x2 ··· ···
y=2(x-1)2 ··· ···
（2）描点、连线，画出这两个函数的图象．
观 察 根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．
x 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2
y=2(x-1)2
思 考 这两个函数的图象之间有什么关系？
概 括 （1）通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．
函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
（2）可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：
当______时，函数值随x的增大而减小；当_____时，函数值随x的增大而增大；当_____时，函数取得最______值，最______值y＝______．
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
问题 在图②所示的坐标系中画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
想一想 通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
【要点归纳】二次函数y=a(x-h)2(≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最小值为0.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最大值为0.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例1 已知二次函数y＝（x﹣1）2.
（1）完成下表；
x … -1 0 1 2 3 …
y＝（x﹣1）2 … …
（2）在图③所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（4）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；
想一想：若-1≤x≤5，求x的取值范围；
（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
问题 在图②中画出y=-x2的图象，比较二次函数，y=-x2，的图象，说一说他们之间有什么关系.
【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
y=ax2向右平移 h（h>0）个单位得到y=a(x-h)2；
y=ax2向左平移 h（h>0）个单位得到y=a(x+h)2.
左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.
【典例精析】
例2将抛物线y=x2向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝(x+2)2 B．y=x2+2 C．y=(x 2)2 D．y=x2 2
【针对训练】由抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x-3）2，则下列平移方式可行的是（　　）
向上平移3个单位 B．向下平移3个单位
向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
例3已知二次函数y=x2，将其图象向右平移，使图象过点（1，3），求平移后的抛物线的表达式.
【针对训练】将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，-6），求的值．
课堂小结
二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的图象和性质 图象的特点 a>0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小
a<0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小
平移规律 括号内左加右减；括号外不变.即h_____0,向左平移，h____0，向右平移
当堂检测
抛物线y=（x+1）2的对称轴是（　　）
A．直线y=-1 B．直线y=1 C．直线x=-1 D．直线x=1
2.已知二次函数y= -（x-3）2，那么这个二次函数的图象有（　　）
A．最高点（3，0） B．最高点（-3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（-3，0）
3.把函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）
A．y=-3x2-2 B．y=-3（x-2）2 C．y=-3x2+2 D．y=-3（x+2）2
4.已知函数y=-（x-2）2的图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法判断
5.抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y=3x2相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的表达式；
（2）求抛物线与y轴的交点坐标．
将y=x2图象先向右平移3个单位所得的函数记为y1．
（1）写出y1的顶点坐标与函数表达式．
（2）画出这个函数的大致图象，并利用图象判断:
②当1≤x≤3时，求x的取值范围．
当-2≤x＜5时，求y1的取值范围；
参考答案
自主学习
知识链接
1.y=2(x-1) 2.下 y轴 （0,k） 上 k
二、新知预习
解：（1）列表如下:
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
y=2x2 ··· 8 2 0 2 8 ···
y=2(x-1)2 ··· 18 8 2 0 2 ···
（2）描点、连线，画出这两个函数的图象．
观察
x 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 向上 y轴 (0,0)
y=2(x-1)2 向上 直线x=1 (1,0)
概括
右 1 直线x=1 1 0
＜1 ＞1 =1 小 小 0
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
问题 解：二次函数，的图象如图②所示.
图② 图③
二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,0），二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1,0）.
【典例精析】
例1 解：（1）填表如下：
x … -1 0 1 2 3 …
y＝（x﹣1）2 … 2 0 2 …
（2）描点，画出该二次函数图象如图③所示：
（3）对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,0).
（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.
（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2；当x=5时，y=8，∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.
想一想 ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.
（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
问题 解：如图所示.由图象可知，抛物线y=-x2向左平移一个单位，得到抛物线 ，抛物线y=-x2向右平移一个单位，得到抛物线.
【典例精析】例2 A 【针对训练】D
例3解：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=(x-h)2，其中h＞0.将点（1,3）代入，得3=（1-h）2，解得h=4或-2.∵h＞0，∴h=4.则平移后的抛物线的表达式为y=(x-4)2.
【针对训练】：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=a(x+2)2.将点（1，-6）代入得-6=9a,解得a=.
二、课堂小结
上 直线x=h (h，0） ＞h ＜h 下 直线x=h (h，0） ＜h ＞h ＜0 ＞0
当堂检测
C 2.A 3.B 4.B
5.解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），∴-h=2，∴h=-2.∵抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，∴a=-3，则该抛物线的函数表达式是y=-3（x-2）2．
（2）在函数y=-3（x-2）2中，令x=0，则y=-12，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-12）．
6.解：(1)函数y1的顶点坐标为（3,0），函数表达式为y=(x-3)2.
(2)画函数图象略.①函数y1的对称轴为直线x=3,此时函数y1有最小值0.当1≤x≤3时，y1随x的增大而减小，则当x=1时，y1取得最大值，此时y1=4.所以当1≤x≤3时，0≤y1≤4.
②当-2≤x＜5时，易知函数的最小值为0.在-2≤x＜3时，y1随x的增大而减小，则当x=-2时,y1有最大值，此时y1=25.当3＜x＜5时,y1随x的增大而增大，当x=5时，y1=4.综上可知，当-2≤x＜5时，y1的取值范围是0≤y1≤25.

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