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2.3、 简谐运动的回复力和能量
O
Q
P
O
P
Q
F
F
Q
P
问题:当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？
根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动
的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为０，然后，物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于具有惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力。
一、简谐运动的回复力
做简谐运动的物体受到的回复力有什么特点？下面我们以水平方向弹簧振子做简谐运动为例进行分析
如图2.3-1甲，当小球在O点（平衡位置）时，所受的合力为０；在O点右侧任意选择一个位置P，无论小球向右运动还是向左运动，小球在P点相对平衡位置的位移都为x，受到的弹簧弹力如图2.3-1乙所示。从图中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，回复力大小为F＝ kx（k为弹簧的劲度系数），方向指向平衡位置。
一、简谐运动的回复力
同样的道理，当小球在O点左侧某一位置Q时，迫使小球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为F＝ kx，方向指向平衡位置（如图2.3-1丙所示）
从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做简谐运动的回复力，这个力的大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，可表示为：
F＝－ kx，式中“－”号表示F与x反向
一、简谐运动的回复力
理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－ kx的形式，物体就做简谐运动。
也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置（即物体在运动方向上所受的力与位移方向相反），则质点的运动就是简谐运动
1.定义:
2.特点:
按力的作用效果命名
使振子回到平衡位置的力
3.回复力来源：
振动方向上的合外力
如果质点所受的回复力大小与它偏离平衡位置的位移大小成正比，回复力的方向与位移方向相反,则质点的运动就是简谐运动。
4.简谐运动的动力学特点
F回=–kx
5.简谐运动的运动学特点
一、简谐运动的回复力
（1）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。
（2）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。
6、简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动
由F回=–kx知，
回复力产生的加速度为
二、简谐运动的能量
弹簧振子中小球振动的过程中，弹簧的伸长量或压缩量在不断变化，因而它的势能在不断变化，由于系统的机械能守恒，故小球的动能也在不断变化，因而小球的速度在不断变化；弹簧振子做简谐运动的过程中，其各个物理量变化具有什么规律呢？
1、 简谐运动中各个物理量的变化规律
Q Q－O O O－P P
x
v
F、a
向左减小
向右增大
向右减小
动能增大
势能减小
向右增大
向右减小
向左增大
动能减小
势能增大
不变
向左最大
向右最大
0
0
向右最大
0
0
向右最大
向左最大
动能最大
势能为0
动能为0
势能最大
动能为0
势能最大
O
Q
P
O
P
Q
F
F
动能
势能
总机械能
2.简谐运动的能量
某一简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大
理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律
O
Q
P
O
P
Q
F
F
沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能，其大小取决于弹簧的形变量。小球运动远离平衡位置时，势能会增大。与此同时，小球的速度减小，动能减小。小球到达最大位移时，动能为０，势能最大。小球通过平衡位置时，动能最大，势能为０。
2.简谐运动的能量
O
Q
P
O
P
Q
F
F
沿当小球运动到最大位移时，动能为０，弹性势能最大，系统的机械能等于最大弹性势能。对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型
判断物体是否做简谐运动的方法：
（1）根据物体的振动图像(或位移--时间函数关系式）去判断
（2）根据回复力的规律F=-kx去判断
思考题：竖直方向振动的弹簧振子所做的振动是简谐运动吗？
证明步骤：
1、找平衡位置
2、任意位置，找回复力大小
3、看回复力大小与位移大小的关系是否满足F=kx
4、看回复力方向是否与位移方向相反
证明:竖直悬挂的弹簧振子做简谐运动
证明:平衡位置时有:
mg=kx0
当向下拉动x长度时，小球沿振动方向上所受的合外力大小为：
F=k(x+x0)-mg
=kx
而回复力方向与位移X的方向相反:
故把方向代入后有
F=-kx
是简谐运动
证明:平衡位置时有:
mg=kx0
当向下拉动x长度时小球所受的回复力为
F=-k(x+x0)+mg
=-kx-kx0+mg
=-kx
(符合简谐运动的公式)
B
1.做简谐运动的物体，当位移为负值时，以下说法正确的是 （ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为正值
B．速度不一定为正值，但加速度一定为正值
C．速度一定为负值，加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，加速度一定为负值
2.做简谐振动的物体，每次经过同一点时，一定相同的物理量是（ ）
A、位移 B、速度 C、回复力
D、加速度 E、动能
ACDE
BC
3．如图是质点做简谐振动的图象，由此可知（
A．t=0时，质点的位移、速度均为零
B．t=1s时，质点的位移为正向最大，速度为
零，加速度为负向最大
C．t=2s时，质点的位移为零，速度为负向最大
值，加速度为零
D．质点的振幅为5cm，周期为2s
E. t=1s至2s间，质点速度增加，回复力增加
C D
4.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法正确的（ ）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长
度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧
弹力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和
振子的重力的合力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
3、P、Q两点的特点：
X、F、a最大，V最小为0
4、平衡位置的特点：
X、F、a最小为0，V最大
5、简谐振动过程机械能守恒
结论：
1、振子向两边运动时做减速运动，向平衡位置运动时做加速运动
2、X、F、a的变化与速度V变化相反

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