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《共线向量与共面向量》知识解读
(1)共线向量
①共线向量的定义:
共线向量(平行向量):如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
知识剖析
a.0与空间任意向量a都是共线向量.
b.a与b共线时,表示a与b的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线.
c.共线向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c不一定成立,因为当b=0时,虽然a∥b,b∥c,但a不一定与c共线.
②共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数,使.
③共线向量定理的推论:
如下图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使①′,其中非零向量a叫作直线l的方向向量.
在l上取,则①′式可化为.
由此可见,可以利用向量之间的关系判断空间任意三点是否共线,这与利用平面向量判断平面内三点是否共线是一样的.
事实上,,显然.
故是P,A,B三点共线的充要条件.
知识剖析
①共线向量定理中的b≠0不可去掉,否则实数可能不唯一或不存在.
②共线向量定理包含两个命题:
a.a∥b(b≠0)存在唯一的实数,使；
b.存在唯一的实数,使a∥b.
③若P,A,B三点共线,即,其中,则有,说明点P是线段AB的中点.
④共线向量定理可以作为判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.
(2)共面向量
①共面向量的定义:平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.
②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使.
③共面向量定理的推论:如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使；
或对空间任意一点O,有.
事实上,,显然,.
故是P,A,B,C四点共面的充要条件.
知识剖析
(1)任意两个空间向量必共面,但任意三个空间向量不一定共面.
(2)空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
(3)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
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