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《1.1空间向量及其运算》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积.
难点：用向量方法解决立体几何问题.
三、教科书编写意图及教学建议
本节包括空间向量及相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容.在用空间向量解决立体几何问题的过程中，首先要用空间向量表示立体图形中的几何元素，然后利用空间向量的运算研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题，最后再把空间向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.因此，空间向量的概念及其运算的内容是用空间向量解决立体几何问题的基础，也是本节教学的重点.
向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.实际上，平面向量都可以看作空间向量，空间向量的概念、表示与平面向量具有一致性.另外，由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，两个空间向量的加法、数乘、数量积运算与平面向量也具有一致性.因此学习本节内容的主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教学中，要充分关注这种学习的可迁移性，鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间.
在本节学习中，由于学生已有“立体几何初步”的基础，已有空间直线、平面平行、垂直等概念，将向量的概念、运算从平面推广到空间对学生来说并不困难，但这一过程仍要一步步地进行.由于现在研究的范围已由平面扩展到空间，而我们研究的是自由向量，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，而是互相平行的“平面集”，这些都需要学生对向量有新的理解.另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量一致，但在空间它们的几何表示是不同的，因此需要学生在空间上进一步体会其运算法则、验证其运算律，提高空间想象力，发展直观想象的数学学科核心素养.
对于用空间向量解决立体几何问题，教科书并不是在完整学习空间向量之后才集中安排，而是在全章进行了“先分散、后集中”的处理.在学习空间向量的概念及其运算时，教科书结合相关内容的学习，及时应用它们解决立体几何问题，在本节，教科书在给出共线、共面向量的充要条件之后，安排了证明立体几何中四点共面的问题；在数量积运算之后安排了证明直线与平面直垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题等.对于这些问题，尽管学生已经有了用平面向量解决平面几何问题的一些经验，但是由于初次接触用空间向量解决立体几何问题，图形的维数增加了，也更加抽象了，学生对于如何用空间向量表示立体图形中的相关元素，如何通过运算得出这些元素间的儿何关系还比较陌生，因此这是本节教学中的难点.教学中，要结合具体问题，引导学生类比利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法，学习利用空间向量解决立体几何问题，从中体会用空间向量解决立体几何问题的基本思路和方法，发展数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.
1.1.2空间向量的数量积运算
教科书在本小节将平面向量的数量积运算推广到空间.学习空间向量的数量积运算，包括空间向量的夹角、空间向量数量积运算的法则和运算律，空间向量的投影，并举例说明向量数量积运算是立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直，求两点间的距离或线段长度等问题的基本方法.本小节重点是向量数量积的计算方法及其应用，难点是如何将立体几何问题转化为向量的运算问题.
1.空间向量的数量积运算
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，所以两个空间向量的夹角、数量积的定义与平面向量的相应定义是一致的.
与平面向量的夹角一样，两个空间向量的夹角满足
（1）；
（2）.
其中（2）也是以后立体几何问题中求两个向量夹角时常遇到的情况.
空间两个向量数量积的意义与平面上两个向量数量积的意义相同.教学时，除注意让学生掌握一般的数量积运算的法则外，还要特别关注其中一些特殊情况，如
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
（4）
（5）
这些数量积的特殊性质在今后用空间向量解决立体几何问题时经常用到.
2.空间向量的投影
与平面向量一样，在学习了空间向量的数量积运算后，教科书安排了空间向量投影的内容.让学生理解空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影，了解投影与数量积运算之间的关系，体会投影是构建高维空间与低维空间联系的桥梁，发展直观想象的数学学科核心素养.
由于任意两个空间向量可以平移到同个平面内，因此向量向向量，以及向量向直线的投影与平面向量的相应投影是一致的，都得到与向量或直线平行的向量，而且，.向量向平面投影，得到的是与平面平行的向量，且，其中是向量所在直线和平面所成的角.
对于向量的投影向量，无论它是向量向另一个向量投影，向量向一条直线投影，还是向量向一个平面投影，都有向量与投影向量垂直.此时表示三个向量的有向线段构成一个直角三角形（图1）.这样，通过勾股定理，可以借助几何直观更好地理解向量投影的本质.本章后续用空间向量解决立体几何问题，在求点到直线的距离、两条平行直线之间的距离、平面外一点到平面的距离、两个平行平面间的距离时，都要利用向量投影，也都要利用这一直角三角形.
3.空间向量数量积运算的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积运算满足如下运算律：
（1）；
（2）（交换律）
（3）（分配律）
对于（1）和（2），证明与平面向量相同.对于空间向量数量积的分配律（3），可以证明如下：
如图2，设，，，则，分别将，，向投影，得到投影向量，则
.
设与方向相同的单位向量为，上式即为
，
两边同乘，得
，
即
，
即
，
从而
，
所以
，
即
.
以上证明中，表示的和向量时，采用的是三角形法则.若采用平行四边形法则，证明与必修第二册中证明平面向量数量积运算的分配律类似.
下面再提供一种空间向量数量积运算分配律的证明方法.
如图3，设，，，为的中点，则.
根据平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和（这个结论在“平面向量及其应用”中进行过证明），分别在和所确定的平面内使用这个结论，得
，
.
上面两式相减，得
，
即
.
4.向量的数量积与数的乘法
与集合是一种不同于实数的特殊运算对象类似，向量也是一种不同于实数的运算对象.在定义向量的运算法则，探索其相应的运算律时，无论是对于平面向量还是空间向量，都可以类比数及其运算来学习.在本节中，学习了向量的数量积，自然会将它与数的乘法作类比，向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？这也是教科书第7页安排“思考”的目的.
对“思考”中的问题解答如下.
（1）对三个不为0的数若，则.而对于向量，若，不能得到.例如，如教科书中的图1.1-2，向量与向量，都垂直，因此，而显然，不相等.
（2）对三个不为0的数若，则（或）.而对于向量，若，则不能写成（或）.向量没有除法.
（3）对三个不为0的数，有.而对于向量，若不成立，也就是说，向量不可以“连乘”，向量的数量积不满足“结合律”.例如，任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘，是一个数与向量作数乘，而不在同一个方向上，所以与不可能相等.
5.例2、例3的教学
向量的数量积运算涉及向量的模和向量的夹角，因此，利用向量的数量积运算，可以解决立体几何问题中涉及距离、夹角的一些问题.教科书安排的例2，除巩固空间向量的数量积运算外，也包括直接应用向量的数量积运算求线段的长度.教科书练习、习题中也包括一些求异面直线所成的角、线段的长度、两点间的距离等问题，它们都可以应用空间向量的数量积运算加以解决.
至此，教科书已经把平面向量的线性运算和数量积运算推广到了空间.与平面向量一样，空间向量既是代数运算对象，也是几何对象，其线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质都可以用空间向量的线性运算及数量积运算表示出来.例如，应用向量的数量积可以证明两条线段互相垂直，应用向量共线的充要条件可以证明两条线段互相平行等.为此，按照教科书在本章“结合空间向量运算的学习适时安排用空间向量解决立体几何问题”的整体安排，教科书在本节最后安排了例3，用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的一般过程.
直线与平面垂直的判定定理是学生在必修课程中学习的，那时并未给出证明，这个定理可以用综合几何方法证明如下.
已知：
求证：
证明：设g是平面内的任意一条直线.
（1）当，g都通过点B时（图4），在上点的两侧分别取点，，使，则由已知条件可以推出都是线段的垂直平分线.
如果g与（或）重合，那么根据已知（或）,可推出.
如果g与都不重合，那么在平面内作一直线，与直线分别交于点连接.
因为，，，所以≌.
所以.进而有≌，所以.
所以g是的垂直平分线.于是.
（2）当，g不都通过点时，过点B作，，使∥，g'∥g.用（1）中的方法可证⊥g′，因而⊥g.
综合（1）（2），无论，g是否通过点，总有⊥g.由于g是平面内的任一直线，因而.
在教科书例3用向量方法证明这个定理的过程中，利用向量共面的充要条件，将平面上的任意一条直线用已知的两条相交直线表示，进而利用空间向量数量积运算的分配律，将直线和平面内任意一条直线垂直的问题转化为直线和平面内已知的两条相交直线垂直的问题，从而解决问题.从这个证明过程可以看出，向量运算简化了定理的证明过程，体现了向量法的程序性和普适性.
除例1、例3外，教科书还安排了一些用空间向量解决立体几何问题的习题.对于这些问题，教学时要注重引导学生分析题意，寻求解题思路.例如，可以依次提出以下问题引导学生思考：
（1）如何把已知的几何元素转化为向量表示？
（2）一些未知的几何元素能否用已知向量表示？
（3）结论和已经表示出来的向量或其运算有何联系？能否通过向量的运算获得结论？
（4）如何将向量运算的结果“翻译”为几何结论？
通过梳理、总结以上解决问题的过程，可以让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思考方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”做准备.
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