资源简介

《空间向量与立体几何》总体设计
在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等.本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法.通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养.
一、本章学习目标
1.空间向量及其运算
(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
(3)掌握空间向量的线性运算和数量积运算.
(4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
2.空间向量基本定理
(1)了解空间向量基本定理及其意义.
(2)掌握空间向量的正交分解.
3.空间向量及其运算的坐标表示
(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式.
(2)掌握空间向量的坐标表示.
(3)掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示.
4.空间向量的应用
(1)能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.
(3)能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
(4)能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、本章知识结构框图
三、内容安排
本章属于《标准(2017年版)》中“几何与代数”主线的内容.学生将在必修(第二册)“平面向量”和“立体几何初步”的基础上学习空间向量及其运算、空间向量基本定理，并利用空间向量解决立体几何问题.对于用空间向量解决立体几何问题，教科书“先分散、后集中”，即在学习空间向量及其运算、空间向量基本定理时“随学随用、学以致用”，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识，最后再利用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系用，用空间向量解决空间距离、夹角问题，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法.
本章共分为四部分：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用.
“空间向量及其运算”是本章的基础，主要包括空间向量的基本概念和基本运算.由于空间向量的概念和运算与平面向量的概念和运算具有一致性，因此，教科书注意引导学生与平面向量及其运算作类比，让学生经历向量由平面向空间推广的过程.在展开空间向量及其运算内容时，教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例.
“空间向量基本定理”揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”，这为几何问题代数化奠定了基础.为了突出空间向量基本定理的基础地位，教科书将这一内容单设一节.不仅学习空间向量基本定理，还应用向量方法解决立体几何中的一些问题.这种安排不仅可以突出空间向量基本定理在本章内容中承上启下的作用，而且可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法---“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础.
“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示.其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.对于空间直角坐标系的编排，基于使本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同.由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程.
“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点.为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”.同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法.
为了拓展学生的知识面，本章还安排了“阅读与思考 向量概念的推广与应用”，把二维、三维向量推广为高维向量，并通过例子说明高维向量的应用.学有余力的学生可以学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质推广到维向量空间，并解决一些简单的实际问题.
空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量方法是本章的重点.用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高，是教学的难点.对于立体几何中的向量方法，要让学生在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法，从而突破难点.
四、课时安排
本章教学时间约需14课时，具体分配如下(仅供参考)：
1.1空间向量及其运算 约2课时
1.2空间向量基本定理 约2课时
1.3空间向量及其运算的坐标表示 约2课时
1.4空间向量的应用 约6课时
小结 约2课时
五、本章编写思考
1.关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架
与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《标准(2017年版)》中“几何与代数”主线的内容.空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁.本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性，突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.
与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论.
空间向量的概念来源于现实生活.在数学中，以位移、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间.进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间.欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系.
一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律.具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理.根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成，这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础.这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用.
从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点，并给定一个单位正交基底，分别过点作平行于向量的数轴，就可以建立由确定的空间直角坐标系.在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”.
立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决.
基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的研究框架:
背景---空间向量的概念---空间向量的运算及其性质---空间向量基本定理、空间直角坐标系---空间向量及其运算的坐标表示---应用
2.类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化
平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系.空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论.
由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质，在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现.这样，既使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密.
同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则.如在平面上，；，.因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示.
空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注.例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响.这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量.
3.关注空间向量与立体几何知识间的联系
空间向量体系的建立需要立体儿何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决.因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系.“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法.
例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理；等等.这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何基本知识的重视.
又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础.
4.突出用向量方法解决立体几何问题
向量方法是解决几何问题的常用方法.平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系.由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行、垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论.类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论.解决这些问题，主要运用向量方法.
向量方法有别于综合几何方法.综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”：
第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
这种利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性.
对于立体几何中的向量方法，教科书采取了先分散后集中的方式，即在学生系统学习空间向量知识的同时，安排利用空间向量解决简单的立体几何问题，渗透向量方法；而在建立空间向量的体系后，则集中围绕“使学生认识向量方法在解决立体几何问题中的作用，体会向量方法的“三步曲”这个中心来设计，结合具体问题明确给出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，安排用“三步曲”解决空间直线、平面的位置关系以及距离、夹角等度量问题的内容，进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的普适作用.
5.关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作用
空间向量投影是《标准(2017年版)》新增加的内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确的要求.我们在编写教科书时，关注了课程标准的这一变化.
向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果，空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义.教科书在引入向量数量积后，类比在必修课程中学习过的平面向量投影的概念，利用几何直观给出了空间向量投影的概念.
距离是空间中的重要度量.本章涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等.分析上述距离的内容，可以得到如下认识：
①除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题.
②无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向.法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题.
由此可见，投影向量的儿何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法.在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、二者的差构成直角三角形.这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解.例如，教科书在利用空间向量研究点到直线的距离时，就采用了如下投影向量和勾股定理相结合的方式：
如图1，为直线外的一点，为直线的单位方向向量.设，则向量在直线上的投影向量的长.在中，由勾股定理，得
在本章中，教科书注意尽可能地使用投影向量研究立体几何中的距离问题，在“1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题”中，教科书采取了如下的对“距离”的研究顺序：
首先，通过问题“已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？”引出对点到直线的距离的研究，进而利用投影向量得到求点到直线的距离的公式.这也为下一章利用投影向量，结合坐标法获得解析几何中的点到直线的距离公式进行了铺垫.
接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？”引导学生自己研究两条平行直线之间的距离.
进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法：
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量(如图2，向量即为参考向量)；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，利用向量运算求投影向量的长度.
最后，结合例题、习题，解决直线到平面、平行平面间的距离问题(都可以转化为点到平面的距离).
6.关注用空间向量研究空间中直线、平面间的夹角问题
与距离类似，角度是立体几何中的另一个重要的度量.空间直线、平面间的夹角问题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，而直线、平面又都可以利用它的方向向量或法向量来刻画，因而空间直线、平面间的夹角问题就转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的夹角问题，进而可以利用空间向量的数量积运算加以解决.
对于空间直线、平面间的夹角问题，教科书进行了系统考虑和处理.
学生在必修课程“立体几何初步”的学习中，已经知道如何用综合几何的方法求两条异面直线所成的角，即通过平移把两条异面直线转化为相交直线，再构造三角形来计算，因此教科书在解决“夹角”问题时，首先安排了一道求两条异面直线夹角的余弦值的问题.有了向量工具，两条直线的方向能用它们的方向向量表达，利用向量方法就能得到这两条异面直线的夹角，而不需要平移，从而既体现“角”的本质，也简化求解过程；同时为研究直线与平面所成的角，以及平面与平面的夹角奠定基础.
接下来，教科书通过归纳得出利用向量方法求空间两条异面直线夹角的计算方法，即把两条异面直线所成的角，转化为求两条异面直线的方向向量的夹角.类似地，求直线与平面所成的角，可以转化为求直线的方向向量与平面的法向量的夹角；求平面与平面的夹角，可以转化为求这两个平面的法向量的夹角或其补角，并给出其一般计算公式.最后，教科书通过求直线、平面间的夹角(或其余弦值)的例题和习题，使学生进一步掌握解决立体几何中角度问题的向量方法，体会向量法在解决立体几何问题中的作用.
六、本章教学建议
1.通过问题引导学习，获得“四基”、提升数学核心素养
为了使学生得到思维方法上的训练，教科书根据知识的发生发展过程，利用“观察”“思考”“探究”等栏目提岀冋题，引导学生层层深入地进行思考.在教学前，教师应深人理解教科书构建的问题链，并在此基础上进行教学设计.
例如，在用空间向量研究直线、平面的位置关系的学习中，教科书围绕空间中点、直线和平面的向量表示，通过空间向量的运算，以“思考”栏目为载体，构建了这样一条问题链：
(1)以“思考 如何用向量表示空间中的一个点？”引导学生思考空间中点的向量表示；
(2)以“思考 我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线.如何用向量表示直线？”引导学生思考空间中直线的向量表示;
(3)以“思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”引导学生思考空间中平面的向量表示；
(4)以“思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？”为引导，研究空间中直线、平面的平行；
(5)以“思考 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？”为引导，研究空间中直线、平面的垂直.
上述栏目设计体现了“问题引导学习”的理念，逐步把学生的思维活动引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.因此，教师要注意依托教科书中的问题链做好教学设计.
2.加强立体几何中向量方法的教学
由于学生在必修课程中已经系统地学习过立体几何知识，因此本章对于立体几何知识没有作系统安排，而是通过解决一些立体几何具体问题，体现空间向量在解决立体几何问题中的应用，加强对立体几何中向量方法的一般性认识.因此，本章的教学，特别是“空间向量的应用”的教学，应注意把具体的立体几何问题作为学习向量方法的载体，通过问题的解决加深对向量法和立体几何内容的理解.当前，教学中普遍存在着把向量方法等同于坐标法的现象，究其原因，主要是没有体会向量方法的特点.加强向量方法，应该强调综合运用向量及其运算解决几何问题.这里，一个是要注意使用“向量回路”、数乘向量、数量积等解决问题(平行、垂直、长度、角度等问题)，另一个是要强调空间向量基本定理的核心地位.
“空间向量的应用”的主题是立体几何中的向量方法，教科书通过例题体现这一主题.教学时要注意结合例题，使学生对向量方法的认识逐步深化；结合习题进一步掌握向量方法；并通过引导学生自己归纳概括向量方法，提高他们的抽象概括能力.
3.通过具体问题加深对向量运算作用的理解
向量是躯体，运算是灵魂.向量是既有大小又有方向的量，规定了向量的运算法则后，向量才显示其威力.为了使学生体会向量运算的作用，本章中提出了如下问题：你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？
教科书安排这个问题的目的是要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析和解决问题中的作用.通过向量及其运算，不仅能表示空间中的点、直线和平面等基本元素，而且能使空间基本元素的位置关系、大小度量得到表达.例如，直线与直线垂直可以与向量的数量积运算建立对应关系，即
(直线，的方向向量分别为，).
这样我们可以进一步通过向量运算研究立体儿何中的位置关系或度量问题.因此，我们说向量的主要作用要通过其运算来实现.
4.注意通过具体例子使学生体会维数增加对向量推广带来的影响
在教科书编写时，我们关注了维数增加对向量推广带来的影响.例如，在类比平面向量给出空间向量的线性运算满足的运算律时，教科书提出了如下问题：“你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”在教学时，教师可以类比平面向量加法结合律的证明，让学生体会维数增加对运算律的证明带来的影响.
具体地，可以首先回顾平面向量加法结合律的证明：
如图3，因为
所以
这就证明了平面向量的加法结合律.
在上面回顾平面向量的加法结合律证明的基础上，教师可以引导学生用类比的方法证明空间向量的加法结合律，类比时要注意引导学生关注向量从二维推广到三维时向量的几何意义的变化.在三维空间，由于维数的增加，三个向量，，存在共面和不共面的情况，因此要分类讨论，共面的情况可以转化为图3的情况，不共面的情况则如图4所示.
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