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1.2　空间向量基本定理
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点) 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
(1)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(2)共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y，或对于空间任意一定点O，有＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？
[提示]　(1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．
(2)唯一确定．
2．正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{，，}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面． (　　)
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量． (　　)
(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． (　　)
[提示]　(1)√　(2)√　(3)×
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A．a B．b
C．a＋2b D．a＋2c
[答案]　D
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
C　[由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
1　－1　[由m与n共线，得＝＝，
∴x＝1，y＝－1.]
基底的判断
【例1】　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
(1)C　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.]
(2)[解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
[跟进训练]
1．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b，构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A．a B．b
C．c D．a或b
C　[由题意和空间向量的共面定理，
结合p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，
得a与p，q是共面向量，
同理b与p，q是共面向量，
所以a与b不能与p，q构成空间的一个基底；
又c与a和b不共面，
所以c与p，q构成空间的一个基底．]
用基底表示向量
【例2】　如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
[思路探究]　→
→
[解]　连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.＝＝＝a.
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
[跟进训练]
2．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)
A．－，，　 B．，－，
C．－，，－ D．－，－，
D　[如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D.]
正交分解在立体几何中的应用
[探究问题]
1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？
[提示]　若取单位正交基底{i，j，k}，那么|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．
2．正方体ABCD A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，如何表示向量AC′.
[提示]　＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋.
【例3】　如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
[思路探究]　→
→
→→
[解]　{，，}可以作为空间的一个基底，且||＝a，||＝a，||＝b，
〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°.
又＝＋－，＝＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2，
||2＝||2＋2·＋||2＝2a2，
∴||＝，||＝a.
∴·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab.
∴|cos〈，〉|＝＝＝.
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为.
1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求||.
[解]　由条件可知||＝||＝a，||＝b，
且〈，〉＝〈，〉＝120°，⊥.
∴||2＝|＋＋|2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝a2＋a2＋b2＋0＋4×a×b×cos 120°
＝2a2＋b2－2ab.
∴||＝.
2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD⊥面AA1C1C.
[解]　由条件知，＝－，
∵·＝·(－)＝·－·
＝a×b×cos 120°－a×b×cos 120°＝0.
∴BD⊥AA1.
又因四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.∴BD⊥面AA1C1C.
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝求长度，用a·b＝0 a⊥b，用cos θ＝求夹角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a，b，c}可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
1．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(　　)
A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b
C　[空间基底必须不共面．A中a＝，不可为基底；B中b＝[(a＋b)－(a－b)]，不可为基底；D中(a＋b)－(a－b)＝a＋2b，不可为基底．]
2．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．，，共线 B．，共线
C．，共线 D．O，A，B，C四点共面
D　[由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．]
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
x＝y＝z＝0　[由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.]
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
2　[如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋.
由条件知x＝1，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.]
5．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
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