山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

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山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.(2022高三上·烟台期中)设集合,,则(  )
A. B.
C. D.
2.(2022高三上·烟台期中)已知,,则“”是“与夹角为钝角”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2022高三上·烟台期中)下列结论正确的是(  )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,则
4.(2022高三上·烟台期中)设P是所在平面内一点,,则(  )
A. B.
C. D.
5.(2022高三上·烟台期中)记函数的最小正周期为T,若,且是图像的一个最高点,则(  )
A. B. C. D.
6.(2022高三上·烟台期中)已知函数,令,,,则a,b,c的大小关系为(  )
A. B. C. D.
7.(2022高三上·烟台期中)为响应国家加快芯片生产制造进程的号召,某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备,该设备第1年的维修费用为20万元,从第2年到第6年每年维修费用增加4万元,从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%.设为第n年的维修费用,为前n年的平均维修费用,若万元,则该设备继续使用,否则从第n年起需对设备进行更新,该设备需更新的年份为(  )
A.2026 B.2027 C.2028 D.2029
8.(2022高三上·烟台期中)若对任意正实数x,y都有,则实数m的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
二、多选题
9.(2022高三上·烟台期中)已知正实数满足,则下列结论正确的有(  )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为
10.(2022高三上·烟台期中)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,,则下列结论正确的有(  )
A.的最小值为
B.
C.的最大值为
D.当时,为等腰直角三角形
11.(2022高三上·烟台期中)已知函数,则(  )
A.是R上的增函数
B.函数有且仅有一个零点
C.函数的最小值为-1
D.存在,使得函数为奇函数
12.(2022高三上·烟台期中)已知数列,对任意的都有,则称数列为“差增数列”,下列结论正确的是(  )
A.若,则数列为差增数列
B.若,则数列为差增数列
C.若数列为差增数列,,且,,,则m的最小值为39
D.若数列为差增数列,,且,,的前n项和为,当最小时,
三、填空题
13.(2022高三上·烟台期中)已知,则   .
14.(2022高三上·烟台期中)已知等差数列是递增数列,且,,则   .
15.(2022高三上·烟台期中)若函数,则的最小值是   .
16.(2022高三上·烟台期中)设函数是定义在R上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点之和为   .
四、解答题
17.(2022高三上·烟台期中)已知.
(1)若,求的单调区间;
(2)若且,解关于x的不等式.
18.(2022高三上·烟台期中)在①;②这两个条件中任选一个作为已知条件,补充到下面的横线上,并给出解答.
问题:已知中,角、、的对边分别为、、,是边的中点,,且____.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(1)求的值;
(2)若的平分线交于点,求的周长.
19.(2022高三上·烟台期中)已知函数,若在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)求函数在上的值域.
20.(2022高三上·烟台期中)记为数列的前n项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设,,求证:.
21.(2022高三上·烟台期中)受气候影响,我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律,农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份.为了保证A,B两个产粮大镇农作物的用水需求,政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库.已知蓄水库原有水量为18万立方米,计划从2月初每月补进q万立方米地下水,以满足A,B两镇农作物灌溉需求.若A镇农作物每月的需水量为2万立方米,B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米,其中,且.已知B镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米.
(1)试写出第x个月水被抽走后,蓄水库内蓄水量W(万立方米)与x的函数关系式;
(2)要使9个月内每月初按计划补进地下水之后,水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A,B两镇的农作物用水需求,试确定q的取值范围.
22.(2022高三上·烟台期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数有两个极值点,.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)证明:.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得:或,
解得或,所以或,
由得:,
所以,
则.
故答案为:C
【分析】解绝对值不等式和对数不等式,再求并集即可.
2.【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时,与反向共线,且,所以不能推出与夹角为钝角;
当与夹角为钝角时,,且与不反向共线,解得,且,此时可以推出,所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为:B.
【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.
3.【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项:当时,,A不符合题意;
B选项:,当,且时,,,,所以,即,B不符合题意;
C选项:当,,此时,C不符合题意;
D选项:设,因为,所以单调递减,,即,,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】AC选项找出反例即可说明错误;
B选项利用作差法比较大小;
D选项利用指数函数的单调性判断大小.
4.【答案】B
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】因为,
所以,所以,
所以,

故答案为:B
【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
5.【答案】A
【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数的最小正周期为,
则,由,得,,
因为是图像的一个最高点,则
且,则
,取,可得,
所以,

故答案为:A.
【分析】由周期范围求得的范围,由图像最高点求解与,可得函数解析式,则可求.
6.【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】因为,,
,易得,又因为,所以,
故,所以,
故答案为:D.
【分析】先根据函数解析式求值,然后比较大小即可求解.
7.【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设前n年的总维修费用为,
,,
则,
即前6年可继续使用.
当时,
所以,

计算得,
故从第9年起需对设备进行更新,更新的年份为.
故答案为:C.
【分析】前6年的维修费用构成等差数列,第6年及之后每年的维修费用构成等比数列,分成两部分单独求和,最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用,与40作比较即可.
8.【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为,
所以,设,
则,,

恒成立,故单调递减,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;.

所以,得到.
故答案为:A.
【分析】将不等式变式为,设后转化为恒成立,只需求函数的最大值即可.
9.【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意得,,即,由是正数,
利用基本不等式:,故,
即,于是,即,当取得等号,
故的最大值为,A符合题意,B不符合题意,
由可得,当取得等号,即的最小值为,C符合题意,
由可得,,故,
当,即时取等号,此时,故的最小值为,D符合题意.
故答案为:ACD
【分析】利用和题干条件可判断出选项ABC,D选项根据题干条件得,,利用基本不等式即可求解.
10.【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理
【解析】【解答】因为,又因为,所以,
所以,在中,因为,
所以,又因为,所以,
所以,,A不符合题意;
所以,B符合题意;
因为(当且仅当时取等号),所以,故,C符合题意;
因为,所以,解得:,D符合题意.
故答案为:BCD.
【分析】根据题意将题干条件化简,求出,然后利用二倍角公式、基本不等式及诱导公式逐一检验即可求解.
11.【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质
【解析】【解答】对于 A,,,当时,,,,在上单调递增.
当时,,则, ,即
的符号不能恒为正,在上不是单调递增函数,不是在上的增函数,A不符合题意;
对于B,当时,,,当时,,
当时,,,,从而函数有且仅有一个零点,B符合题意;
对于C,时,,当时,,当时,,,,-1不是函数的最小值,C不符合题意;
对于D,令,则,令,则的定义域为,,存在,使得函数为奇函数,D符合题意.
故答案为:BD
【分析】对于 A,直接对函数求导,然后讨论其在R上的单调性即可;
对于B,通过对分三种情况()来求解函数值的正负情况即可判断函数的零点个数;
对于C,根据,,利用放缩法构造不等式可解;
对于D,令,代入,构造函数,即可判断奇偶性.
12.【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性;数列的求和
【解析】【解答】A选项:,则数列为差增数列,A符合题意;
B选项:,则数列为差增数列,B符合题意;
C选项:当时,数列满足差增数列,所以最小值为,C不符合题意;
D选项:当最小时,要求数列的每一项都要最小,又,,则,,,,,整理得,,,,,,所以,
,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】AB选项根据差增数列的定义判断即可;
C选项利用特殊值的思路判断;
D选项根据最小时,要求数列的每一项都要最小,得到数列的规律,然后利用累加法求通项即可.
13.【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知,,
因为,
所以.
故答案为:.
【分析】结合已知条件,利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
14.【答案】143
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为,则由题意得,又,解得,
∴.
故答案为:143.
【分析】设公差为,则由题意得,解得,再由前项和公式计算即可.
15.【答案】
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】不妨设,
则在上的单调性如下表:
x 0
  + 0 - 0 +  
  极大 极小  
,,因为,
所以函数的最小值为.
故答案为:.
【分析】因为三角函数具有周期性,令,对函数求导数,研究导函数在区间内的符号,得到函数的单调性,求出最小值.
16.【答案】6
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】首先由条件可知,函数关于轴对称,
又因为,所以函数关于直线对称
再根据当时,,可以画出函数的图像,
同一坐标系下再画出函数的图像,
由图可知,时,两个函数有6个交点,根据对称性可知,左边两个交点关于对称,和为0,中间两个交点关于对称,和为2,右边两个交点关于直线对称,和为4,所以所有零点和为6.
故答案为:6
【分析】利用函数的性质,在同一坐标系下分别画出函数和的图像,将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题,利用对称性,即可求解零点的和.
17.【答案】(1)解:由已知得,,
∴,解得,
∴,
由得,,
令,则在上单调递增,在上单调递减,
又在上单调递增,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)解:由得,又且,,

因为,所以,
所以,即,
①当时,,
又因为,所以.
②当时,,
又因为,所以.
综上:当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
【知识点】函数的单调性及单调区间;不等式的基本性质
【解析】【分析】(1)先求函数的定义域,再由复合函数的单调性求解即可;
(2)先求,再由利用对数函数的单调性得,再对分类讨论求解即可.
18.【答案】(1)解:选择①:设,则,
在中,,
在中,,
∵,∴,
即,所以,故.
选择②:由正弦定理得,,
∵,∴,∴,
即,于是,∴,
设,,
在中,,即(i),
在中,,即(ii),
联立(i)(ii)解得,,,即,.
(2)解:由题意得,,
∴,∴,
又∵,∴,
∴故的周长为.
【知识点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】(1)选①,在和中,应用余弦定理,由,求得结论;
选②,由正弦定理化边为角,求得角,然后设 , ,在和中对角A应用余弦定理列方程组求解;
(2)由求得,再由角平分线定理求得后可得三角形周长.
19.【答案】(1)解:,,故,∴在点处的切线方程为,即,∴,即,所以函数的解析式为
(2)解:,,,令得,,
∵,∴,∴,即,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故当时,,
∵,∴
所以函数在上的值域为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,结合题干中的切线,算出参数,得到的解析式;
(2)求导分析在上的单调性,求出极值,分析出上的最值,然后比较端点处的函数值,得出上的最值.
20.【答案】(1)解:,
当时,,
两式相减得,,,
化简得,,
∴,
时,满足上式,∴,
(2)证明:由(1)得,,



【知识点】数列的概念及简单表示法;数列的求和;数列递推式
【解析】【分析】(1)利用得出数列递推关系,再由连乘法求得通项公式, 时,满足上式,所以;
(2)用裂项相消法求得即可证.
21.【答案】(1)解:因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米,
所以,则,
所以(,).
(2)解:①由题意知:对且恒成立,
即对且恒成立,
令,则,
,所以,
②首先,即,
其次,对且恒成立,
所以对且恒成立,
令,则

因为且,所以恒成立,所以函数单调递减,
所以当时,y取得最小值,且
所以,
综合①②可得q的取值范围为.
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)根据B镇前4个月的总需水量为24万立方米,列出方程,求得,即可得到关系式;
(2)根据题意即可得到,对 且 恒成立,分离参数可得,然后再根据 对且恒成立,分离参数计算,最后即可得的范围.
22.【答案】(1)解:由定义域为,且,
令得,或,
①当时,,,单调递增,
,,单调递减,
,,单调递增,
②当时,,在单调递增,
③当时,,,单调递增,
,,单调递减,
,,单调递增,
综上:
当时,的单调递增区间为、,的单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为、,的单调递减区间为.
(2)解:(i)由已知,,则,
函数有两个极值点,,即在上有两个不等实根,
令,只需,故,
(ii)由(i)知,,,且,

要证,即证,只需证,
令,,则,
因为恒成立,所以在上单调递减,
又,,
由零点存在性定理得,使得,即,
所以时,,单调递增,
时,,单调递减,
则,
∵在上显然单调递增,
∴,
∴,即,得证.
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导,,, 令得,或, 由导数符号,即可确定函数单调性;
(2)(i)将问题转化为在 有两个不等实根,结合对应二次函数性质求参数范围;
(ii)由(i)并应用韦达定理得,分析法转化为在时恒成立,利用导数研究单调性并确定值域范围,即可证结论.
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山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.(2022高三上·烟台期中)设集合,,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得:或,
解得或,所以或,
由得:,
所以,
则.
故答案为:C
【分析】解绝对值不等式和对数不等式,再求并集即可.
2.(2022高三上·烟台期中)已知,,则“”是“与夹角为钝角”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时,与反向共线,且,所以不能推出与夹角为钝角;
当与夹角为钝角时,,且与不反向共线,解得,且,此时可以推出,所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为:B.
【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.
3.(2022高三上·烟台期中)下列结论正确的是(  )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,则
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项:当时,,A不符合题意;
B选项:,当,且时,,,,所以,即,B不符合题意;
C选项:当,,此时,C不符合题意;
D选项:设,因为,所以单调递减,,即,,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】AC选项找出反例即可说明错误;
B选项利用作差法比较大小;
D选项利用指数函数的单调性判断大小.
4.(2022高三上·烟台期中)设P是所在平面内一点,,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】因为,
所以,所以,
所以,

故答案为:B
【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
5.(2022高三上·烟台期中)记函数的最小正周期为T,若,且是图像的一个最高点,则(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数的最小正周期为,
则,由,得,,
因为是图像的一个最高点,则
且,则
,取,可得,
所以,

故答案为:A.
【分析】由周期范围求得的范围,由图像最高点求解与,可得函数解析式,则可求.
6.(2022高三上·烟台期中)已知函数,令,,,则a,b,c的大小关系为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】因为,,
,易得,又因为,所以,
故,所以,
故答案为:D.
【分析】先根据函数解析式求值,然后比较大小即可求解.
7.(2022高三上·烟台期中)为响应国家加快芯片生产制造进程的号召,某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备,该设备第1年的维修费用为20万元,从第2年到第6年每年维修费用增加4万元,从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%.设为第n年的维修费用,为前n年的平均维修费用,若万元,则该设备继续使用,否则从第n年起需对设备进行更新,该设备需更新的年份为(  )
A.2026 B.2027 C.2028 D.2029
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设前n年的总维修费用为,
,,
则,
即前6年可继续使用.
当时,
所以,

计算得,
故从第9年起需对设备进行更新,更新的年份为.
故答案为:C.
【分析】前6年的维修费用构成等差数列,第6年及之后每年的维修费用构成等比数列,分成两部分单独求和,最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用,与40作比较即可.
8.(2022高三上·烟台期中)若对任意正实数x,y都有,则实数m的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为,
所以,设,
则,,

恒成立,故单调递减,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;.

所以,得到.
故答案为:A.
【分析】将不等式变式为,设后转化为恒成立,只需求函数的最大值即可.
二、多选题
9.(2022高三上·烟台期中)已知正实数满足,则下列结论正确的有(  )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意得,,即,由是正数,
利用基本不等式:,故,
即,于是,即,当取得等号,
故的最大值为,A符合题意,B不符合题意,
由可得,当取得等号,即的最小值为,C符合题意,
由可得,,故,
当,即时取等号,此时,故的最小值为,D符合题意.
故答案为:ACD
【分析】利用和题干条件可判断出选项ABC,D选项根据题干条件得,,利用基本不等式即可求解.
10.(2022高三上·烟台期中)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,,则下列结论正确的有(  )
A.的最小值为
B.
C.的最大值为
D.当时,为等腰直角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理
【解析】【解答】因为,又因为,所以,
所以,在中,因为,
所以,又因为,所以,
所以,,A不符合题意;
所以,B符合题意;
因为(当且仅当时取等号),所以,故,C符合题意;
因为,所以,解得:,D符合题意.
故答案为:BCD.
【分析】根据题意将题干条件化简,求出,然后利用二倍角公式、基本不等式及诱导公式逐一检验即可求解.
11.(2022高三上·烟台期中)已知函数,则(  )
A.是R上的增函数
B.函数有且仅有一个零点
C.函数的最小值为-1
D.存在,使得函数为奇函数
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质
【解析】【解答】对于 A,,,当时,,,,在上单调递增.
当时,,则, ,即
的符号不能恒为正,在上不是单调递增函数,不是在上的增函数,A不符合题意;
对于B,当时,,,当时,,
当时,,,,从而函数有且仅有一个零点,B符合题意;
对于C,时,,当时,,当时,,,,-1不是函数的最小值,C不符合题意;
对于D,令,则,令,则的定义域为,,存在,使得函数为奇函数,D符合题意.
故答案为:BD
【分析】对于 A,直接对函数求导,然后讨论其在R上的单调性即可;
对于B,通过对分三种情况()来求解函数值的正负情况即可判断函数的零点个数;
对于C,根据,,利用放缩法构造不等式可解;
对于D,令,代入,构造函数,即可判断奇偶性.
12.(2022高三上·烟台期中)已知数列,对任意的都有,则称数列为“差增数列”,下列结论正确的是(  )
A.若,则数列为差增数列
B.若,则数列为差增数列
C.若数列为差增数列,,且,,,则m的最小值为39
D.若数列为差增数列,,且,,的前n项和为,当最小时,
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性;数列的求和
【解析】【解答】A选项:,则数列为差增数列,A符合题意;
B选项:,则数列为差增数列,B符合题意;
C选项:当时,数列满足差增数列,所以最小值为,C不符合题意;
D选项:当最小时,要求数列的每一项都要最小,又,,则,,,,,整理得,,,,,,所以,
,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】AB选项根据差增数列的定义判断即可;
C选项利用特殊值的思路判断;
D选项根据最小时,要求数列的每一项都要最小,得到数列的规律,然后利用累加法求通项即可.
三、填空题
13.(2022高三上·烟台期中)已知,则   .
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知,,
因为,
所以.
故答案为:.
【分析】结合已知条件,利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
14.(2022高三上·烟台期中)已知等差数列是递增数列,且,,则   .
【答案】143
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为,则由题意得,又,解得,
∴.
故答案为:143.
【分析】设公差为,则由题意得,解得,再由前项和公式计算即可.
15.(2022高三上·烟台期中)若函数,则的最小值是   .
【答案】
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】不妨设,
则在上的单调性如下表:
x 0
  + 0 - 0 +  
  极大 极小  
,,因为,
所以函数的最小值为.
故答案为:.
【分析】因为三角函数具有周期性,令,对函数求导数,研究导函数在区间内的符号,得到函数的单调性,求出最小值.
16.(2022高三上·烟台期中)设函数是定义在R上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点之和为   .
【答案】6
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】首先由条件可知,函数关于轴对称,
又因为,所以函数关于直线对称
再根据当时,,可以画出函数的图像,
同一坐标系下再画出函数的图像,
由图可知,时,两个函数有6个交点,根据对称性可知,左边两个交点关于对称,和为0,中间两个交点关于对称,和为2,右边两个交点关于直线对称,和为4,所以所有零点和为6.
故答案为:6
【分析】利用函数的性质,在同一坐标系下分别画出函数和的图像,将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题,利用对称性,即可求解零点的和.
四、解答题
17.(2022高三上·烟台期中)已知.
(1)若,求的单调区间;
(2)若且,解关于x的不等式.
【答案】(1)解:由已知得,,
∴,解得,
∴,
由得,,
令,则在上单调递增,在上单调递减,
又在上单调递增,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)解:由得,又且,,

因为,所以,
所以,即,
①当时,,
又因为,所以.
②当时,,
又因为,所以.
综上:当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
【知识点】函数的单调性及单调区间;不等式的基本性质
【解析】【分析】(1)先求函数的定义域,再由复合函数的单调性求解即可;
(2)先求,再由利用对数函数的单调性得,再对分类讨论求解即可.
18.(2022高三上·烟台期中)在①;②这两个条件中任选一个作为已知条件,补充到下面的横线上,并给出解答.
问题:已知中,角、、的对边分别为、、,是边的中点,,且____.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(1)求的值;
(2)若的平分线交于点,求的周长.
【答案】(1)解:选择①:设,则,
在中,,
在中,,
∵,∴,
即,所以,故.
选择②:由正弦定理得,,
∵,∴,∴,
即,于是,∴,
设,,
在中,,即(i),
在中,,即(ii),
联立(i)(ii)解得,,,即,.
(2)解:由题意得,,
∴,∴,
又∵,∴,
∴故的周长为.
【知识点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】(1)选①,在和中,应用余弦定理,由,求得结论;
选②,由正弦定理化边为角,求得角,然后设 , ,在和中对角A应用余弦定理列方程组求解;
(2)由求得,再由角平分线定理求得后可得三角形周长.
19.(2022高三上·烟台期中)已知函数,若在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)解:,,故,∴在点处的切线方程为,即,∴,即,所以函数的解析式为
(2)解:,,,令得,,
∵,∴,∴,即,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故当时,,
∵,∴
所以函数在上的值域为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,结合题干中的切线,算出参数,得到的解析式;
(2)求导分析在上的单调性,求出极值,分析出上的最值,然后比较端点处的函数值,得出上的最值.
20.(2022高三上·烟台期中)记为数列的前n项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设,,求证:.
【答案】(1)解:,
当时,,
两式相减得,,,
化简得,,
∴,
时,满足上式,∴,
(2)证明:由(1)得,,



【知识点】数列的概念及简单表示法;数列的求和;数列递推式
【解析】【分析】(1)利用得出数列递推关系,再由连乘法求得通项公式, 时,满足上式,所以;
(2)用裂项相消法求得即可证.
21.(2022高三上·烟台期中)受气候影响,我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律,农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份.为了保证A,B两个产粮大镇农作物的用水需求,政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库.已知蓄水库原有水量为18万立方米,计划从2月初每月补进q万立方米地下水,以满足A,B两镇农作物灌溉需求.若A镇农作物每月的需水量为2万立方米,B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米,其中,且.已知B镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米.
(1)试写出第x个月水被抽走后,蓄水库内蓄水量W(万立方米)与x的函数关系式;
(2)要使9个月内每月初按计划补进地下水之后,水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A,B两镇的农作物用水需求,试确定q的取值范围.
【答案】(1)解:因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米,
所以,则,
所以(,).
(2)解:①由题意知:对且恒成立,
即对且恒成立,
令,则,
,所以,
②首先,即,
其次,对且恒成立,
所以对且恒成立,
令,则

因为且,所以恒成立,所以函数单调递减,
所以当时,y取得最小值,且
所以,
综合①②可得q的取值范围为.
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】(1)根据B镇前4个月的总需水量为24万立方米,列出方程,求得,即可得到关系式;
(2)根据题意即可得到,对 且 恒成立,分离参数可得,然后再根据 对且恒成立,分离参数计算,最后即可得的范围.
22.(2022高三上·烟台期中)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数有两个极值点,.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(1)解:由定义域为,且,
令得,或,
①当时,,,单调递增,
,,单调递减,
,,单调递增,
②当时,,在单调递增,
③当时,,,单调递增,
,,单调递减,
,,单调递增,
综上:
当时,的单调递增区间为、,的单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为、,的单调递减区间为.
(2)解:(i)由已知,,则,
函数有两个极值点,,即在上有两个不等实根,
令,只需,故,
(ii)由(i)知,,,且,

要证,即证,只需证,
令,,则,
因为恒成立,所以在上单调递减,
又,,
由零点存在性定理得,使得,即,
所以时,,单调递增,
时,,单调递减,
则,
∵在上显然单调递增,
∴,
∴,即,得证.
【知识点】函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导,,, 令得,或, 由导数符号,即可确定函数单调性;
(2)(i)将问题转化为在 有两个不等实根,结合对应二次函数性质求参数范围;
(ii)由(i)并应用韦达定理得,分析法转化为在时恒成立,利用导数研究单调性并确定值域范围,即可证结论.
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