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山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·烟台期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·烟台期中）已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三上·烟台期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
4．（2022高三上·烟台期中）设P是所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且是图像的一个最高点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·烟台期中）已知函数，令，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·烟台期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
8．（2022高三上·烟台期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·烟台期中）已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
10．（2022高三上·烟台期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．
C．的最大值为
D．当时，为等腰直角三角形
11．（2022高三上·烟台期中）已知函数，则（ ）
A．是R上的增函数
B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为－1
D．存在，使得函数为奇函数
12．（2022高三上·烟台期中）已知数列，对任意的都有，则称数列为“差增数列”，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列为差增数列
B．若，则数列为差增数列
C．若数列为差增数列，，且，，，则m的最小值为39
D．若数列为差增数列，，且，，的前n项和为，当最小时，
三、填空题
13．（2022高三上·烟台期中）已知，则 ．
14．（2022高三上·烟台期中）已知等差数列是递增数列，且，，则 ．
15．（2022高三上·烟台期中）若函数，则的最小值是 ．
16．（2022高三上·烟台期中）设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 ．
四、解答题
17．（2022高三上·烟台期中）已知．
（1）若，求的单调区间；
（2）若且，解关于x的不等式．
18．（2022高三上·烟台期中）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．
问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且____．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求的值；
（2）若的平分线交于点，求的周长．
19．（2022高三上·烟台期中）已知函数，若在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
20．（2022高三上·烟台期中）记为数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，，求证：．
21．（2022高三上·烟台期中）受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份．为了保证A，B两个产粮大镇农作物的用水需求，政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库．已知蓄水库原有水量为18万立方米，计划从2月初每月补进q万立方米地下水，以满足A，B两镇农作物灌溉需求．若A镇农作物每月的需水量为2万立方米，B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米，其中，且．已知B镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米．
（1）试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量W（万立方米）与x的函数关系式；
（2）要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A，B两镇的农作物用水需求，试确定q的取值范围．
22．（2022高三上·烟台期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个极值点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得：或，
解得或，所以或，
由得：，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】解绝对值不等式和对数不等式，再求并集即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，与反向共线，且，所以不能推出与夹角为钝角；
当与夹角为钝角时，，且与不反向共线，解得，且，此时可以推出，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.
3．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项：当时，，A不符合题意；
B选项：，当，且时，，，，所以，即，B不符合题意；
C选项：当，，此时，C不符合题意；
D选项：设，因为，所以单调递减，，即，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】AC选项找出反例即可说明错误；
B选项利用作差法比较大小；
D选项利用指数函数的单调性判断大小.
4．【答案】B
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
所以，
，
故答案为：B
【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
5．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
因为是图像的一个最高点，则
且，则
，取，可得，
所以，
则
故答案为：A.
【分析】由周期范围求得的范围，由图像最高点求解与，可得函数解析式，则可求．
6．【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】因为，，
，易得，又因为，所以，
故，所以，
故答案为：D.
【分析】先根据函数解析式求值，然后比较大小即可求解.
7．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设前n年的总维修费用为，
，，
则，
即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.
故答案为：C.
【分析】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故答案为：A.
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意得，，即，由是正数，
利用基本不等式：，故，
即，于是，即，当取得等号，
故的最大值为，A符合题意，B不符合题意，
由可得，当取得等号，即的最小值为，C符合题意，
由可得，，故，
当，即时取等号，此时，故的最小值为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用和题干条件可判断出选项ABC，D选项根据题干条件得，，利用基本不等式即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【解答】因为，又因为，所以，
所以，在中，因为，
所以，又因为，所以，
所以，，A不符合题意；
所以，B符合题意；
因为（当且仅当时取等号），所以，故，C符合题意；
因为，所以，解得：，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意将题干条件化简，求出，然后利用二倍角公式、基本不等式及诱导公式逐一检验即可求解.
11．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】对于 A，，，当时，，，，在上单调递增.
当时，，则， ，即
的符号不能恒为正，在上不是单调递增函数，不是在上的增函数，A不符合题意；
对于B，当时，，，当时，，
当时，，，，从而函数有且仅有一个零点，B符合题意；
对于C，时，，当时，，当时，，，，－1不是函数的最小值，C不符合题意；
对于D，令，则，令，则的定义域为，，存在，使得函数为奇函数，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】对于 A，直接对函数求导，然后讨论其在R上的单调性即可；
对于B，通过对分三种情况（）来求解函数值的正负情况即可判断函数的零点个数；
对于C，根据，，利用放缩法构造不等式可解；
对于D，令，代入，构造函数，即可判断奇偶性.
12．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】A选项：，则数列为差增数列，A符合题意；
B选项：，则数列为差增数列，B符合题意；
C选项：当时，数列满足差增数列，所以最小值为，C不符合题意；
D选项：当最小时，要求数列的每一项都要最小，又，，则，，，，，整理得，，，，，，所以，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】AB选项根据差增数列的定义判断即可；
C选项利用特殊值的思路判断；
D选项根据最小时，要求数列的每一项都要最小，得到数列的规律，然后利用累加法求通项即可.
13．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知，，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】结合已知条件，利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
14．【答案】143
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为，则由题意得，又，解得，
∴．
故答案为：143．
【分析】设公差为，则由题意得，解得，再由前项和公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】不妨设，
则在上的单调性如下表：
x 0
+ 0 - 0 +
极大 极小
，，因为，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】因为三角函数具有周期性，令，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值.
16．【答案】6
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】首先由条件可知，函数关于轴对称，
又因为，所以函数关于直线对称
再根据当时，，可以画出函数的图像，
同一坐标系下再画出函数的图像，
由图可知，时，两个函数有6个交点，根据对称性可知，左边两个交点关于对称，和为0，中间两个交点关于对称，和为2，右边两个交点关于直线对称，和为4，所以所有零点和为6.
故答案为：6
【分析】利用函数的性质，在同一坐标系下分别画出函数和的图像，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题，利用对称性，即可求解零点的和.
17．【答案】（1）解：由已知得，，
∴，解得，
∴，
由得，，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：由得，又且，，
，
因为，所以，
所以，即，
①当时，，
又因为，所以．
②当时，，
又因为，所以．
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可；
（2）先求，再由利用对数函数的单调性得，再对分类讨论求解即可.
18．【答案】（1）解：选择①：设，则，
在中，，
在中，，
∵，∴，
即，所以，故．
选择②：由正弦定理得，，
∵，∴，∴，
即，于是，∴，
设，，
在中，，即（i），
在中，，即（ii），
联立（i）（ii）解得，，，即，．
（2）解：由题意得，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴故的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）选①，在和中，应用余弦定理，由，求得结论；
选②，由正弦定理化边为角，求得角，然后设 ， ，在和中对角A应用余弦定理列方程组求解；
（2）由求得，再由角平分线定理求得后可得三角形周长．
19．【答案】（1）解：，，故，∴在点处的切线方程为，即，∴，即，所以函数的解析式为
（2）解：，，，令得，，
∵，∴，∴，即，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
∵，∴
所以函数在上的值域为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合题干中的切线，算出参数，得到的解析式；
（2）求导分析在上的单调性，求出极值，分析出上的最值，然后比较端点处的函数值，得出上的最值.
20．【答案】（1）解：，
当时，，
两式相减得，，，
化简得，，
∴，
时，满足上式，∴，
（2）证明：由（1）得，，
，
∴
，
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用得出数列递推关系，再由连乘法求得通项公式， 时，满足上式，所以；
（2）用裂项相消法求得即可证．
21．【答案】（1）解：因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米，
所以，则，
所以（，）．
（2）解：①由题意知：对且恒成立，
即对且恒成立，
令，则，
，所以，
②首先，即，
其次，对且恒成立，
所以对且恒成立，
令，则
，
因为且，所以恒成立，所以函数单调递减，
所以当时，y取得最小值，且
所以，
综合①②可得q的取值范围为．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据B镇前4个月的总需水量为24万立方米，列出方程，求得，即可得到关系式；
（2）根据题意即可得到，对 且 恒成立，分离参数可得，然后再根据 对且恒成立，分离参数计算，最后即可得的范围.
22．【答案】（1）解：由定义域为，且，
令得，或，
①当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
②当时，，在单调递增，
③当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
综上：
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为.
（2）解：（i）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
（ii）由（i）知，，，且，
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
因为恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵在上显然单调递增，
∴，
∴，即，得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，，， 令得，或， 由导数符号，即可确定函数单调性；
（2）（i）将问题转化为在 有两个不等实根，结合对应二次函数性质求参数范围；
（ii）由（i）并应用韦达定理得，分析法转化为在时恒成立，利用导数研究单调性并确定值域范围，即可证结论.
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山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·烟台期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得：或，
解得或，所以或，
由得：，
所以，
则.
故答案为：C
【分析】解绝对值不等式和对数不等式，再求并集即可.
2．（2022高三上·烟台期中）已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当时，与反向共线，且，所以不能推出与夹角为钝角；
当与夹角为钝角时，，且与不反向共线，解得，且，此时可以推出，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.
3．（2022高三上·烟台期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项：当时，，A不符合题意；
B选项：，当，且时，，，，所以，即，B不符合题意；
C选项：当，，此时，C不符合题意；
D选项：设，因为，所以单调递减，，即，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】AC选项找出反例即可说明错误；
B选项利用作差法比较大小；
D选项利用指数函数的单调性判断大小.
4．（2022高三上·烟台期中）设P是所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
所以，
，
故答案为：B
【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
5．（2022高三上·烟台期中）记函数的最小正周期为T，若，且是图像的一个最高点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
因为是图像的一个最高点，则
且，则
，取，可得，
所以，
则
故答案为：A.
【分析】由周期范围求得的范围，由图像最高点求解与，可得函数解析式，则可求．
6．（2022高三上·烟台期中）已知函数，令，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】因为，，
，易得，又因为，所以，
故，所以，
故答案为：D.
【分析】先根据函数解析式求值，然后比较大小即可求解.
7．（2022高三上·烟台期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设前n年的总维修费用为，
，，
则，
即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.
故答案为：C.
【分析】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.
8．（2022高三上·烟台期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故答案为：A.
【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
二、多选题
9．（2022高三上·烟台期中）已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意得，，即，由是正数，
利用基本不等式：，故，
即，于是，即，当取得等号，
故的最大值为，A符合题意，B不符合题意，
由可得，当取得等号，即的最小值为，C符合题意，
由可得，，故，
当，即时取等号，此时，故的最小值为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用和题干条件可判断出选项ABC，D选项根据题干条件得，，利用基本不等式即可求解.
10．（2022高三上·烟台期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为
B．
C．的最大值为
D．当时，为等腰直角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【解答】因为，又因为，所以，
所以，在中，因为，
所以，又因为，所以，
所以，，A不符合题意；
所以，B符合题意；
因为（当且仅当时取等号），所以，故，C符合题意；
因为，所以，解得：，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意将题干条件化简，求出，然后利用二倍角公式、基本不等式及诱导公式逐一检验即可求解.
11．（2022高三上·烟台期中）已知函数，则（ ）
A．是R上的增函数
B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为－1
D．存在，使得函数为奇函数
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】对于 A，，，当时，，，，在上单调递增.
当时，，则， ，即
的符号不能恒为正，在上不是单调递增函数，不是在上的增函数，A不符合题意；
对于B，当时，，，当时，，
当时，，，，从而函数有且仅有一个零点，B符合题意；
对于C，时，，当时，，当时，，，，－1不是函数的最小值，C不符合题意；
对于D，令，则，令，则的定义域为，，存在，使得函数为奇函数，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】对于 A，直接对函数求导，然后讨论其在R上的单调性即可；
对于B，通过对分三种情况（）来求解函数值的正负情况即可判断函数的零点个数；
对于C，根据，，利用放缩法构造不等式可解；
对于D，令，代入，构造函数，即可判断奇偶性.
12．（2022高三上·烟台期中）已知数列，对任意的都有，则称数列为“差增数列”，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列为差增数列
B．若，则数列为差增数列
C．若数列为差增数列，，且，，，则m的最小值为39
D．若数列为差增数列，，且，，的前n项和为，当最小时，
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】A选项：，则数列为差增数列，A符合题意；
B选项：，则数列为差增数列，B符合题意；
C选项：当时，数列满足差增数列，所以最小值为，C不符合题意；
D选项：当最小时，要求数列的每一项都要最小，又，，则，，，，，整理得，，，，，，所以，
，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】AB选项根据差增数列的定义判断即可；
C选项利用特殊值的思路判断；
D选项根据最小时，要求数列的每一项都要最小，得到数列的规律，然后利用累加法求通项即可.
三、填空题
13．（2022高三上·烟台期中）已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由诱导公式可知，，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】结合已知条件，利用诱导公式和二倍角公式即可求解.
14．（2022高三上·烟台期中）已知等差数列是递增数列，且，，则 ．
【答案】143
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为，则由题意得，又，解得，
∴．
故答案为：143．
【分析】设公差为，则由题意得，解得，再由前项和公式计算即可．
15．（2022高三上·烟台期中）若函数，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角函数的最值
【解析】【解答】不妨设，
则在上的单调性如下表：
x 0
+ 0 - 0 +
极大 极小
，，因为，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】因为三角函数具有周期性，令，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值.
16．（2022高三上·烟台期中）设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 ．
【答案】6
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】首先由条件可知，函数关于轴对称，
又因为，所以函数关于直线对称
再根据当时，，可以画出函数的图像，
同一坐标系下再画出函数的图像，
由图可知，时，两个函数有6个交点，根据对称性可知，左边两个交点关于对称，和为0，中间两个交点关于对称，和为2，右边两个交点关于直线对称，和为4，所以所有零点和为6.
故答案为：6
【分析】利用函数的性质，在同一坐标系下分别画出函数和的图像，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题，利用对称性，即可求解零点的和.
四、解答题
17．（2022高三上·烟台期中）已知．
（1）若，求的单调区间；
（2）若且，解关于x的不等式．
【答案】（1）解：由已知得，，
∴，解得，
∴，
由得，，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：由得，又且，，
，
因为，所以，
所以，即，
①当时，，
又因为，所以．
②当时，，
又因为，所以．
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；不等式的基本性质
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可；
（2）先求，再由利用对数函数的单调性得，再对分类讨论求解即可.
18．（2022高三上·烟台期中）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．
问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且____．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求的值；
（2）若的平分线交于点，求的周长．
【答案】（1）解：选择①：设，则，
在中，，
在中，，
∵，∴，
即，所以，故．
选择②：由正弦定理得，，
∵，∴，∴，
即，于是，∴，
设，，
在中，，即（i），
在中，，即（ii），
联立（i）（ii）解得，，，即，．
（2）解：由题意得，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴故的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）选①，在和中，应用余弦定理，由，求得结论；
选②，由正弦定理化边为角，求得角，然后设 ， ，在和中对角A应用余弦定理列方程组求解；
（2）由求得，再由角平分线定理求得后可得三角形周长．
19．（2022高三上·烟台期中）已知函数，若在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）解：，，故，∴在点处的切线方程为，即，∴，即，所以函数的解析式为
（2）解：，，，令得，，
∵，∴，∴，即，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
∵，∴
所以函数在上的值域为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合题干中的切线，算出参数，得到的解析式；
（2）求导分析在上的单调性，求出极值，分析出上的最值，然后比较端点处的函数值，得出上的最值.
20．（2022高三上·烟台期中）记为数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，，求证：．
【答案】（1）解：，
当时，，
两式相减得，，，
化简得，，
∴，
时，满足上式，∴，
（2）证明：由（1）得，，
，
∴
，
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用得出数列递推关系，再由连乘法求得通项公式， 时，满足上式，所以；
（2）用裂项相消法求得即可证．
21．（2022高三上·烟台期中）受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份．为了保证A，B两个产粮大镇农作物的用水需求，政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库．已知蓄水库原有水量为18万立方米，计划从2月初每月补进q万立方米地下水，以满足A，B两镇农作物灌溉需求．若A镇农作物每月的需水量为2万立方米，B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米，其中，且．已知B镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米．
（1）试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量W（万立方米）与x的函数关系式；
（2）要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A，B两镇的农作物用水需求，试确定q的取值范围．
【答案】（1）解：因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米，
所以，则，
所以（，）．
（2）解：①由题意知：对且恒成立，
即对且恒成立，
令，则，
，所以，
②首先，即，
其次，对且恒成立，
所以对且恒成立，
令，则
，
因为且，所以恒成立，所以函数单调递减，
所以当时，y取得最小值，且
所以，
综合①②可得q的取值范围为．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据B镇前4个月的总需水量为24万立方米，列出方程，求得，即可得到关系式；
（2）根据题意即可得到，对 且 恒成立，分离参数可得，然后再根据 对且恒成立，分离参数计算，最后即可得的范围.
22．（2022高三上·烟台期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个极值点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）解：由定义域为，且，
令得，或，
①当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
②当时，，在单调递增，
③当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
综上：
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为.
（2）解：（i）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
（ii）由（i）知，，，且，
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
因为恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵在上显然单调递增，
∴，
∴，即，得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，，， 令得，或， 由导数符号，即可确定函数单调性；
（2）（i）将问题转化为在 有两个不等实根，结合对应二次函数性质求参数范围；
（ii）由（i）并应用韦达定理得，分析法转化为在时恒成立，利用导数研究单调性并确定值域范围，即可证结论.
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