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椭圆定值问题10类小全
一.斜率和定值
例题1．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)记曲线的下顶点为，过点的直线（不经过点）与交于两点.证明：直线与直线的斜率之和是为定值.
练习
2．已知椭圆：，点，过点的直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.
二.斜率之积
例题3．已知双曲线的离心率为，左 右顶点分别为M，N，点满足
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
练习
4．已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.
三.横纵坐标定值
例题5．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.
练习
6．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为6．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，求证：点的横坐标为定值．
四.斜率定值
例题7．如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.
练习
8．长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)过点作两条直线分别与圆交于两点，若直线的斜率之和为，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值.
五.距离定值
例题9．已知圆T过点．P是圆T外的一点，过点P的直线l交圆T于M，N两点．
(1)求圆T的方程；
(2)若点P的坐标为，探究：无论直线l的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知圆T与圆相交，求实数a的取值范围．
练习
10．已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
11．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
12．设椭圆：的左 右焦点分别为，.，是该椭圆的下顶点和右顶点，且，若该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点的直线：交椭圆于，两点（点在点下方），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.
13．如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为．椭圆上有两点、，连接、，记它们的斜率为、，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为一定值，并求出这个定值；
(3)设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点、，若和的面积相等，求点的横坐标．
14．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．
六.斜率商定值
例题15．已知椭圆C：经过点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
练习
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点．记直线和的斜率分别为，，求证：为定值．
七.面积定值
例题17．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
练习
18．已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
八.向量积定值
例题19．已知椭圆：的左右焦点分别为,,且焦距为2,点为椭圆上的动点（异于椭圆的左 右顶点）,.
(1)证明：;
(2)当,,过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,使得为定值 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
练习
20．已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
九.系数和定值
例题21．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
练习
22．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，
(1)求证：为定值，并求此定值；
(2)设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．
23．已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求证：为定值；
(2)若，当时，求实数范围．
24．椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
十.角定值
例题25．已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
练习
26．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．椭圆大题定值问题10类小全
1．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)记曲线的下顶点为，过点的直线（不经过点）与交于两点.证明：直线与直线的斜率之和是为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据题意，建立等量关系，然后根据椭圆定义即可求解轨迹方程.
（2）首先点斜式设出方程，再联立直线与椭圆，将斜率之和利用韦达定理代换即可证明.
【详解】（1）依题意可知，
则，
所以点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆.
因为，则，
所以曲线的方程为；
（2）证明：由题意，，直线的斜率存在，不妨设的方程为，
设两点的坐标为，
联立，
整理得，
所以，
又
，
故直线与直线的斜率之和是为定值，且定值为.
2．已知椭圆：，点，过点的直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设有直线为，代入椭圆方程整理得，应用韦达定理、相交弦的弦长公式及点线距离公式、三角形面积公式求的面积；
（2）由题设，令直线联立椭圆整理，应用韦达定理得、，利用斜率两点式可得，进而化简即可证.
【详解】（1）由题设，直线为，即，代入椭圆：，
整理得：，则，，
所以，则，
又到直线距离为，故的面积为.
（2）由题设，直线的斜率一定存在，设直线，
联立椭圆并整理得：，则，，
，，且，，
则为定值.
3．已知双曲线的离心率为，左 右顶点分别为M，N，点满足
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用向量数量积列出方程，求出，结合离心率求出，从而得到，求出双曲线方程；
（2）考虑直线斜率不存在，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出直线OP方程，表达出直线，联立求出点坐标，计算，将两根之和，两根之积代入，化简得到为定值.
【详解】（1）由题意知，又，
所以，
由，可得，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点，
不合题意，故l的斜率存在，
设l：，
联立得：，
设，
则.
因为，故，①
又，
所以，②
联立①②，解得，
于是
所以为定值.
【点睛】直线与圆锥曲线结合，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，或表达出直线斜率，三角形或四边形面积等，将两根之和，两根之积代入化简，进行解答.
4．已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合双曲线定义即可；
（2）设点，结合两点斜率公式即可.
【详解】（1）由题知：由双曲线的定义知：
，
又，
，
双曲线的标准方程为.
（2）设，则
，，
，
5．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知，，进而解方程即可求得答案；
（2）先讨论直线的斜率不存在时得，两点的纵坐标之积为，再讨论直线的斜率存在时，设直线的方程为，，进而得，再联立方程，结合韦达定理求解即可.
【详解】（1）解：因为是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足，
所以，解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，解得.
所以，，
所以，椭圆方程为.
（2）解：由（1）知，，
当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，
直线方程为，直线方程为，
所以，，
所以，，两点的纵坐标之积为，
当直线的斜率存在时，因为过点的直线与椭圆交于，两点（异于），
所以直线的斜率不为，设直线的方程为，
设，
则直线方程为，直线方程为，
因为直线，分别交直线于，两点
所以，
联立直方程得，
所以，，
所以，，
所以，，两点的纵坐标之积为
所以，，两点的纵坐标之积为定值.
6．已知椭圆的左、右焦点分别为分别为左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为6．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，求证：点的横坐标为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）时，直线为，令，得，再由周长与求解即可；
（2）由代入消元，运用韦达定理整体思想，求出的横坐标为定值得证.
【详解】（1）当时，直线为，
令，得.
即椭圆的上顶点为，所以，
又的周长为，即，
又，解得，
所以椭圆的方程为 .
（2）由，消去x整理得，由韦达定理得①
由（1）知又，设，
则，所以直线AM的方程为．
因为，所以直线BN的方程为．
由，得，即，
而②
由①知，代入式②得
，
即，解得，故点T的横坐标为定值4
7．如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）椭圆的标准方程为：，，即，，将点，代入即可求得和的值，求得椭圆的方程；
（2）联立直线的方程与椭圆方程,可得坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知：焦点在轴上，设椭圆的标准方程为：，
由椭圆的离心率，即，
，
将代入椭圆方程：，解得：，
，，
椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知：直线有斜率，且，设直线方程为，，，，，
，
整理得：，
，故
由韦达定理可知：，
由得：,
故直线方程为
，因此
所以
因此 ，为定值.
8．长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明其形状；
(2)过点作两条直线分别与圆交于两点，若直线的斜率之和为，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值.
【答案】(1)，曲线是以坐标原点为圆心，为半径的圆
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）由直角三角形性质可知，设，由两点间距离公式可整理得到曲线方程，根据方程可得曲线的形状；
（2）设，与圆的方程联立，结合韦达定理可求得点横坐标，同理可得点横坐标，由两点连线斜率公式整理化简可得定值.
（1）
，为线段中点，，
设，则，即，
则曲线是以坐标原点为圆心，为半径的圆.
（2）
设直线斜率为，则直线的斜率为，
则直线，直线；
由得：，
又在圆上，设，则，；
设，同理可得：，
.
即直线的斜率为定值.
9．已知圆T过点．P是圆T外的一点，过点P的直线l交圆T于M，N两点．
(1)求圆T的方程；
(2)若点P的坐标为，探究：无论直线l的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知圆T与圆相交，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)为定值，定值为6
(3)
【分析】（1）利用待定系数法去求圆T的方程；
（2）先设出直线l的方程，与圆T的方程组成方程组，利用设而不求的方法即可求得为定值，定值为6；
（3）利用两圆相交列出关于实数a的不等式组，解之即可求得实数a的取值范围．
【详解】（1）设圆T的一般方程为，
代入A，B，C三点的坐标有
解得，
故圆T的方程为；
（2）①当直线轴时，；
②当直线l有斜率时，设其方程为，设，
联立直线与圆的方程，消元得，
则，则或，
由于点P在圆外，所以，
因此，
综上，无论l的位置如何变化，，为定值．
（3）圆
可化为，可知，
，
由圆T、W相交，有，
①当时．不等式（*）可化为
等价于，解得；
②当时，不等式（*）可化为
等价于，解得，
综上知实数a的取值范围为．
10．已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值4，理由见解析.
【分析】（1）根据题干条件得到，结合，求出，，得到椭圆方程；
（2）设出点坐标，根据等边三角形得到，再由，求出，从而得到等边三角形的边长；
（3）设出，，则，利用两点式表达出直线的方程，求出，，结合求出是定值4.
【详解】（1）长轴是短轴的2倍，且右焦点为,
所以，
因为，
所以，解得：，
故，
椭圆的标准方程为：；
（2）若点B在第一象限且为等边三角形，
设，，
则，
又，故，
该等边三角形的边长为；
（3）是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线的斜率存在，
设，，则，，，
则，
则直线，
令得：，则，
直线，
令得：，则，
所以
因为，
所以，
故，
故是定值，为4.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线与直线结合问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，结合题目信息，进行求解，本题中设出的未知数较多，需要结合椭圆方程用到消元思想，进行求解定值问题..
11．已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆的方程；
（2）设出点的坐标，求得直线的直线方程，以及点的坐标；再求得直线和的交点，以及点的坐标，利用弦长公式，即可求证.
【详解】（1）根据题意可得：，，解得，
故椭圆的方程为：.
（2）设点的坐标为，则，即；
又点坐标为，故可设直线方程为：，
令，可得：，即点的坐标为，
又点坐标为，故直线的斜率，
又直线的斜率满足，则，
又因为直线的斜率为，故直线方程为：，
联立直线方程，与直线的方程，即，
，即；
则，故为定值.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；其中第二问处理的关键是根据点的坐标，结合几何关系，求得点的坐标，属综合中档题.
12．设椭圆：的左 右焦点分别为，.，是该椭圆的下顶点和右顶点，且，若该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点的直线：交椭圆于，两点（点在点下方），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据得到，再根据，解方程，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，，然后联立直线方程得到，坐标，根据韦达定理得到点，，纵坐标的关系，即可得到为定值.
【详解】（1）由题可得，，
所以，
因为椭圆的离心率为，所以，
结合椭圆中可知，，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意作如图：
设，，直线的方程为，
将点代入得：，
∴直线：.
由于椭圆：，∴，，
联立方程得，
由，得，
，，
直线的方程为：，
直线的方程为：，
，，
运用，
能证得：②，
下面证明②：
，
运用①中的韦达定理：
，
即②成立，
∴，即点和的纵坐标之和等于点纵坐标的2倍，
∴点是线段的中点，即，
综上，，故为定值.
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
13．如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为．椭圆上有两点、，连接、，记它们的斜率为、，且满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为一定值，并求出这个定值；
(3)设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点、，若和的面积相等，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)点横坐标为
【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解、，然后求解，得到椭圆方程；
（2）设、，通过．结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．
（3）通过，推出，转化求解点的横坐标即可．
【详解】（1）由已知条件，设椭圆，则，解得，
椭圆．
（2）证明：设、，则，整理得，
由，∴，
∵，
解得，将其代入，为定值.
（3）设、，由椭圆的对称性可知，，
∵，∴，
∴，∴或者，
或者．
∵，∴或者（舍），
解得：，
∴点横坐标为．
【点睛】易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)设椭圆方程，将点代入求；
(2)将直线方程与椭圆方程联立得，将用两点间距离公式化为 ，用直线将转化为，代入韦达定理计算得定值.
【详解】（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则，
故可设椭圆C的方程为，
因为点在椭圆C上，所以，
解得，所以椭圆C的方程为．
（2）设，因为直线l方向向量，所以直线l的方程设为，
由得(*)
设，，则、是方程(*)的两个根，
所以有，，
所以
(定值)．
所以为定值．
15．已知椭圆C：经过点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a、b；
（2）设出直线AB方程y＝k（x－1），得到D点坐标，联立直线AB与椭圆方程，得到A，B两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出，，，化简代入即可得到定值.
【详解】（1）将点，点代入椭圆方程，
得，解得，所以椭圆方程为．
（2）由题意直线AB的斜率一定存在，
由（1）知，c=1，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．
所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．
恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．
【点睛】本题第二问求三斜率之间的关系，要注意与的整体性，因为A，B两点是直线AB与椭圆的两个交点，常用韦达定理表示坐标之间的关系，密不可分，切忌将与分开单独求解，会是题目解答过程复杂化.
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点．记直线和的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据左、右焦点分别为，得到c，再利用离心率求解；
（2）设直线：，与椭圆方程联立，分别得到直线和直线的方程求得点M的坐标，同理得到点N的坐标，再利用斜率公式求解证明.
【详解】（1）解：由题意知，又，
则，，
所以椭圆方程为．
（2）设直线：，，．
联立，则，
．
直线的方程为，
直线的方程为．
联立这两个直线方程，解得，从而，
即．
同理，解得．
直线的斜率，
，
则，即证．
17．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率以及焦点到渐近线的距离，求得，则方程得解；
（2）讨论直线斜率是否存在，且当直线斜率时，设出直线方程，联立双曲线方程，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，以及用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【点睛】易错点点睛：本题考查双曲线方程的求解，以及双曲线中的定值问题；第二问中，容易出错的点是没有对直线的斜率是否存在进行讨论，以及当斜率存在时不能与渐近线平行，属综合中档题.
18．已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得，根据焦点三角形各边长，结合余弦定理可得，即可得椭圆方程；
（2）设出直线与，分别与椭圆联立可得点与点的坐标，代入面积即可得证.
【详解】（1）由题意得，
设，的长分别为，，
则，当且仅当时取等号，
从而，得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）得，，
设，，
设直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
则，
，
同理可得，
所以.
所以为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．已知椭圆：的左右焦点分别为,,且焦距为2,点为椭圆上的动点（异于椭圆的左 右顶点）,.
(1)证明：;
(2)当,,过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,使得为定值 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)存在,.
【分析】(1)在焦点三角形中,由椭圆定义及余弦定理建立等式,整理化简即可得到证明结果;
(2)先由题上条件,得出椭圆方程,假设点存在,设出点坐标和直线方程,联立方程设点坐标,用韦达定理,列出进行化简,判断为定值时点坐标即可.
【详解】（1）证明：由椭圆定义可得,
由余弦定理得,
,
即,
整理得,
则;
（2）当,,
由(1)结论可得,
又因为焦距为2,所以,,
故椭圆的方程为,
假设存在点,使得为定值,
设,,
当直线与轴不重合时,设直线的方程为,
联立,得,
,
,,
,
,
∴
,
要使上式为定值,即与无关,
应有,解得,
此时,
当直线与轴重合时,,
所以也成立,
∴存在点,使得为定值恒成立.
【点睛】在焦点三角形中,利用椭圆定义和余弦定理进行有目的的化简即可;第二问设直线方程时注意可设为点斜式,要注意斜率是否存在,也可设为,要注意直线是否与轴平行,分类讨论;另外最后找定值时,看到未知量比较多,不要慌张,理解清楚根据题意,需要跟哪个变量无关,只需让哪个量为常数,该式子为定值即可.
20．已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)是定值，且.
【分析】（1）由条件求出椭圆的方程，与所设直线方程联立，利用弦长公式求得直线斜率，得到直线方程.
（2）根据过的直线l的方程可表示出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可得到定值的结论．
【详解】（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，
椭圆的方程为，
当直线与轴垂直时与题意不符，
设直线的方程为，，，
将直线的方程代入椭圆的方程化简得，
则，，
∴，解得.
∴直线的方程为；
（2）当轴时，，不符合题意，
当与轴不垂直时，设：，则，
设，，联立方程组得，
∴，，
又直线：，直线：，
由可得，即，
，
，
，
，
，即，得，
∴点坐标为，
∴，
所以为定值.
21．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，理由见详解
【分析】（1）根据题意列式求解；（2）由题意知可知直线AB的斜率存在，设其方程为，则，由已知向量等式可得，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明为定值.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆C的方程.
（2）为定值，理由如下：
由（1）可得，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，
联立方程，消去y得，
则，
，
∵，，则，可得，
（定值）.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
22．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，
(1)求证：为定值，并求此定值；
(2)设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．
【答案】(1)4，证明见解析；
(2)
【分析】（1）由向量线性运算得，由共线得，整理即可；
（2）由三角形面积公式可得，结合参数范围及为定值，消元求函数最小值即可
【详解】（1）证明：由题意得，，
由共线得，得证，定值为4；
（2）设，则，，
故，∵，故，
由二次函数性质得时，取得最大值9，故的最小值为
23．已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求证：为定值；
(2)若，当时，求实数范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据已知条件求出椭圆的标准方程，根据，求得；联立直线与椭圆消去x得到关于y的一元二次方程，利用y的韦达式即可求证
（2）把中的用表示，再结合（1）的结论把该式整理成m关于的函数，即可求得m的范围
（1）
解：将代入椭圆方程，
解得：，
由已知得：，
即，，
所以，椭圆标准方程为．
设，，不妨设，
由已知可设直线，
则
由得：．
同理：．
由得：
，
即．
于是，，得
．．
故
（2）
解：．
，
，
又，
，
，
，
，
由
得：
由（1）知：，，
，
其中，
由对勾函数可知：单调递增，
因此，，
所以实数范围是．
【点睛】本题解题的关键先根据已知条件求得，再根据该式的结构知道要求y的二次方程；（2）中先求得，根据该式的结构知道利用（1）中的结论消去y．简言之，解数学题要学会从问题出发，通过等量代换把目标式子一步一步变形简化，根据问题的特点选择合适的数学模型解决问题．
24．椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求，即可得椭圆方程；（2）设直线及其交点坐标，利用所设参数表示，再结合韦达定理化简整理.
（1）
依题可知：，，
所以，即，
解得
又∵椭圆过点，则
联立可得，
椭圆的标准方程为．
（2）
设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
【点睛】定值问题常见处理步骤为：
第一步，设直线方程和相应点的坐标；
第二步，直线与圆锥曲线联立方程，应用韦达定理；
第三步，根据题目所给出的关系列出等式，结合韦达定理，算出相应的关系式；
第四步，根据所得的关系式，结合题目所求，整理化简，求出定值.
25．已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值
【分析】（1）由离心率可得之间关系，根据通径长可得，由可构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设直线，结合斜率公式可求得，由此可得直线方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得，由此可得结论.
（1）
椭圆离心率，，则，
当为椭圆右焦点时，；
，解得：，，
椭圆的方程为：.
（2）
由题意可设直线，，，
则，，，直线；
由得：，
，则，
，；
，又，
，则，
为定值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③结合韦达定理的结论表示出所求量；
④化简整理可得定值.
26．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，90°
【分析】（1）由题意可得的方程组，从而得到结果；
（2）设，得到直线和直线的方程，解出M，N两点坐标，可知，从而得到定值.
（1）
由题意知，则．当轴时，，
故的面积，解得，
故C的方程为．
（2）
由（1）得，设，
则直线，令，得；
直线，令得．
故，
因为，故，
又，则．
因此，
故，即．

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