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浙江省宁波市第四中学 2022-2023 学年高一上学期
数学期中试卷答案
1~5 BDCCA 6~8 BBD 9-12 AC BD BCD BD
1．B【详解】∵ = { | 2 3 = 0} = {0,3}，B＝{1，2，3}，
∴ ∪ = {0,1,2,3}. 故选：B.
| |
2．D【详解】对于 A 中，函数 = 的定义域为 ( ,0) (0,+ )，函数 = 1的定义域为

R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于 B 中，函数 = √( 1)2 = | 1|和 = 1的对应法则不同，所以不是同一函
数；
2
对于 C 中，函数 = 的定义域为 ( ,0) (0,+ )，函数 = 的定义域为 R ，两函数的定

义域不同，所以不是同一函数；
x3 + x x(x2 +1)
对于 D 中，函数 y = = = x 与 = 的定义域都是 R ，且对应法则相同，所以
x2 +1 x2 +1
是同一函数. 故选：D.
3．C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意 ∈ ，都有 2 ≥ 0”的
否定为：存在 0 ∈ ，使得
2
0 < 0．
故选：C．
4．C【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般
写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C
5．A
6．B【详解】因为 > ，且 < 0，所以 > 0, < 0，

对于 A，因为 a b ， < 0，所以 > 0，故错误；

b c
对于 B，因为 > ， > 0，所以 ，故正确；
a a
1 1 1 1
对于 C，因为 > 0, < 0，所以 > 0, < 0，所以 ，故错误；
a c
2 1 2
对于 D，因为 = 1, = 1, = 2满足 > > 且 < 0，所以 = = ，故错误；
2
故选：B
答案第 1 页，共 8 页
7．B
【详解】∵ + = 2，∴( + 1) + ( + 1) = 4，
又∵ > 0， > 0，
1 4 1 1 4
∴ + = ( + ) [( + 1) + ( + 1)]
+1 +1 4 +1 +1
1 +1 4( +1) 1 9
= [1 + 4 + + ] ≥ × (5 + 4) = ，
4 +1 +1 4 4
+1 4( +1) 1 5 1 4 9
当且仅当 = ，即 = ， = 时取等号, + 的最小值是 ,故选 B.
+1 +1 3 3 a +1 b +1 4
8．D
【分析】利用基本不等式可求得函数 ( )的值域，由此可求得函数 = [ ( )]的值域.
2 2 2
( )
【详解】当 > 0时，0 < = 2 = 1 ≤ = 1 +1 + 1 ，当且仅当 = 1时，等号成立；
2√

2 2 2
( )当 x 0 时， = 2 = ≥ = 1+1 1( )+ 1( ) ，当且仅当 = 1时，等号成( ) 2√ ( )
立，
此时 1 ≤ ( ) < 0；
又因为 (0) = 0，所以，函数 ( )的值域为[ 1,1]，
当 1 ≤ ( ) < 0时，[ ( )] = 1；当0 ≤ ( ) < 1时，[ ( )] = 0；
当 ( ) = 1时，[ ( )] = 1.
综上所述，函数 = [ ( )]的值域为{ 1,0,1}.故选：D.
9．AC
【详解】解：由题意得，2 = 3 2 + 3 4或2 = 2 + 4，
若2 = 3 2 + 3 4，即 2 + 2 = 0，
∴ = 2或 = 1，
检验：当 x = 2 时， x2 + x 4 = 2，与元素互异性矛盾，舍去；
当 = 1时， x2 + x 4 = 2，与元素互异性矛盾，舍去．
若2 = 2 + 4，即 2 + 6 = 0，
∴ = 2或 = 3，
经验证 x = 2或 = 3为满足条件的实数 ．
故选：AC．
答案第 2 页，共 8 页
10．BD
1
【分析】对于 A，由复合函数的定义域的求法判断；对于 B，通过平移函数 y = 的图象
x
x +1
判断函数 y = 的图象的对称中心；对于 C，根据指数函数的单调性进行判断；对于
x + 2
D，通过幂函数的定义和单调性得到关于 m的关系式，进而求解 m的值.
【详解】对于 A，函数 ( )的定义域为[0，2]，由0 ≤ 2 ≤ 2得0 ≤ ≤ 1，
则函数 (2 )的定义域为[0,1]，A 错误；
1
对于 B，函数 y = 的图象的对称中心为(0,0)，
x
1 1
将函数 y = 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到函数 = + 1 =
x +2
+1
的图象，
+2
x +1
则函数 y = 的图象的对称中心为( 2,1)，B 正确；
x + 2
1
对于 C，函数 = ( ) 在 R 上单调递减，且 2 + 1 ≤ 1，
2
2 x
2+1
1 +1则 1
1 1
= ( ) ≥ ，即当 = 0时，函数 y =
2 2
取得最小值 ，无最大值，C 错误；
2
2

对于 D，因为函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 3 4为幂函数，
所以{
2 3 + 3 = 1，
3 4 < 0
解得 = 1，D 正确.
故选：BD.
11．BCD
【详解】对于 A,假设 ( )的图象关于直线 x = 2对称，则 (2 ) = (2 + )，
因为 (2 ) = ( )，故 ( + 2) = ( )，即 2 为函数的一个周期，
则 (1) = (1 2) = ( 1) = 1，由 ( ) = ( )， (1) = 1可得 ( 1) = 1，矛盾，
故 ( )的图象不关于直线 x = 2对称，A 错误；
对于 B, 函数 ( )定义域为 ，且 ( ) = ( )，则 (0) = 0，
由 (2 ) = ( )得 (2 ) = ( )，则 (2 + ) = ( ), ∴ ( + 4) = ( )，
故 (6) = (2 + 4) = (2) = (0) = 0，故 B 正确；
对于 C,由 B 的分析可知， ( 2 ) = (2 ) = ( 2 + )，
即 ( 2 ) = ( 2 + )，故 ( )的图象关于点( 2,0)中心对称，C 正确；
答案第 3 页，共 8 页
对于 D，由 ( ) = ( )可得 ( 2 1) = (2 + 1），
由 (2 ) = ( )得 (2 + 1) = (1 2 ) = (2 1) ，
故 ( 2 1) = (2 1），即 (2 1)为偶函数，D 正确，
故选;BCD.
12．BD
【详解】因为 > 0, > 0， 所以 x + y 2 xy ，所以3 ≥ 2√ ，
解得:0 < √ ≤ 1，即0 < ≤ 1，则 A 错误；
+ +
因为 > 0, > 0.所以 ≤ ( )2 ，所以3 ( + ) ≤ ( )2，
2 2
即( + )2 + 4( + ) 12 ≥ 0，又 > 0, > 0，解得： + ≥ 2，则 B 正确；
+3 4
因为 + + 3 = 0，所以 = = 1 + ，
+1 +1
4 4
则 + 4 = 1 + + 4 = + 4( + 1) 5 ≥ 2 × 4 5 = 3，
+1 +1
4
当且仅当 = 4( + 1)，即 = 0时，等号成立.
+1
因为 > 0，所以 + 4 > 3，则 C 错误；
4 4
+ 2 = 1 + + 2 = + 2( + 1) 3 ≥ 4√2 3，
+1 +1
4
当且仅当 = 2( + 1)，即 = √2 1时，等号成立，则 D 正确. +1
故选：BD
x +1 x +1 1 x
13． (0,1]【详解】由 2得 2 = 0，即 x(x 1) 0，且 x 0
x x x
解得0 x 1，
故答案为： (0,1]．
14．( 7, 1)
1 (1 ) + 2 , < 0
15． ≤ < 1【详解】∵函数 ( ) = { 1 的值域为 ，又当 ≥ 0时，6 3 , ≥ 0
1 1 > 0
3 1
1
≥ ，∴{ 12 ≥ ，解得 ≤ < 1. 3 6
3
1
故答案为： ≤ < 1.
6
16． 2 2[√2,+∞)【详解】当 < 0时， f (x) = x 递增，当 ≥ 0时， f (x) = x 递增，所以 ( )在
R 上是单调递增函数，且满足 2 f (x) = f ( 2x)， ( + ) ≥ 2 ( ) = (√2 )．又∵函数在定
答案第 4 页，共 8 页
义域 R 上是增函数，故问题等价于当 ∈ [ , + 2]时， + ≥ √2 恒成立 (√2 1)
≤ 0恒成立，令 ( ) = (√2 1) , ( ) ，解得 ≥ √2．
∴t的取值范围为[√2,+∞)．
故答案为：[√2,+∞)
√3 1 √3(√3+1) 1 3+√3 1 √3
17. （1） + 3 = + = + = 2+ .
√3 1 √8 (√3 1)(√3+1) 2 2 2 2
2 1
3 2 ( )
5 5 2 3 172 + 2 3 +1+ ( ) 2 = 2+ 4+1+ =
(2)原式＝ 3 2 2 ；
2
18．(1) = { | ≤ 1或 > 2}(2)( ∞, ] ∪ (4,+∞) 3
（1）因为 = { | 1 < ≤ 2}，则 = { | ≤ 1或 > 2}
（2）由命题“ ∈ ， ∈ ”为假命题可知：
命题“ ∈ ， ”为真命题
所以 ∩ = ，
3
①当 = 时， 2 > 3 + 1，解得： <
2
2 ≤ 3 + 1 2 ≤ 3 + 1
②当 ≠ 时，则{ 或{ ，
3 + 1 ≤ 1 2 > 2
3 2
解得： ≤ ≤ 或 > 4
2 3
2
综上所述：p的取值范围是：( ∞, ] ∪ (4,+∞)
3
1 7
19．(1) = 2 (2){ | < < }
3 3
4 = ( 1)2
（1）因为指数函数的图象经过点(2,4)，所以{ > 0 ，
≠ 1
解得 = 3，所以 = 2 ；
1 1 |3 4| 1 3
（2）因为 = ( ) 是单调递减函数，由( ) > ( ) 得3 > |3 4|，
2 3 3
1 7
解得 < < ，
3 3
1 7
所以不等式的解集为{ | < < }.
3 3
答案第 5 页，共 8 页
2x2 +120x 300,0 x 40

20.(1)W (x) = 3600
x +1800,40 x 80
x
(2)年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元
G ( x)
（1）解：由该产品的年固定成本为 300 万元，投入成本 万元，
2x2 +80x,0 x 40

且G (x) = 3600 ，
201x + 2100,40 x 80
x
2
当0 x 40时，W (x) = 200x 300 G (x) = 2x +120x 300，
3600
当 40 x 80时，W (x) = 200x 300 G (x) = x +1800
x
2x2 +120x 300,0 x 40

所以利润W ( x)万元关于年产量 x台的函数解析式W (x) = 3600 .
x +1800,40 x 80
x
（2）解：当0 x 40时， x = 30最大，最大值为 1500；
3600 3600
当 40 x 80时，W (x) = x + +1800 1800 2 x =1680，
x x
3600
当且仅当 x 时，即 x = 60时，等号成立，
x
综上可得，年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元．
21．（1）a = 1；（2） f ( x)在 (0,+ )上为增函数，在 ( , 0)上为减函数，证明见解析；
（3）存在， 2 .
(x +1)(x + a) x2 + (a +1)x + a
【详解】（1） 函数 f (x) = = 为偶函数，
x2 x2
x2 (a +1)x + a x2 + (a +1)x + a
f ( x) = = ，即 (a +1) = a +1， a = 1；
x2 x2
x2 1 1
（2）当a = 1时， f (x) = =1 ，则函数 f ( x)在 (0,+ )上为增函数，在 ( , 0)上
x2 x2
为减函数，
1 1 (x x )(x + x )
证明：设0 x x
1 2 1 2
1 2 ，则 f (x1 ) f (x2 ) = =2 2 2 ， x2 x1 x1 x
2
2
0 x1 x2 ， x1 + x2 0， x1 x2 0 ， f (x1 ) f (x2 ) 0，
答案第 6 页，共 8 页
即 f (x ) f (x )，故 f ( x)在 (0,+ )1 2 上为增函数；同理可证 f ( x)在 ( , 0)上为减函数；
1 1
（3） 函数 f ( x)在 (0,+ )上为增函数， 若存在实数 ，使得当 x , (m 0,n 0)
m n
时，函数 f ( x)的值域为[2 m, 2 n]，
1
f =1 m
2 = 2 m
m m
2 m+1= 0
则满足 ，即 ，
1
2
2 n n+1= 0f =1 n = 2 n


n
即 m，n是方程 x2 x +1= 0的两个不等的正根，
= 2 4 0

则满足 m + n = 0 ，解得 2，故存在 2，使得结论成立.

mn =1 0
22．(1) ( 3,5)
(2) 2 2
(3)8
2 x | 3 x 4
（1）因为ax + bx + c 0的解集为 ，
所以 3和 4 是方程ax2 + bx + c = 0的两根，且 a 0
b
= 3+ 4 a
由韦达定理可得 ，即b = a,c = 12a ，代入bx
2 + 2ax (c +3b) 0
c = 3 4
a
得 ax2 + 2ax +15a 0，
因为 a 0 ，所以不等式 ax2 + 2ax +15a 0 x2 2x 15 0，
解得 3 x 5，即所求不等式解集为 ( 3,5)
（2）因为对任意 x R，b=2，a c 且不等式 y≥ 0恒成立，
a 0 2
所以 ，又存在 x0 R ，使得ax0 + 2x0 + c = 0 成立，所以4 4ac = 0 ，即
Δ = 4 4ac 0
ac =1，因为a c，所以a2 + c2 2ac = 2，令 t = a2 + c2 2 0，所以
a2 + c2 (a2 + c2 )2 22 (t + 2) 4( ) = = = t + + 4 2 4 + 4 = 8
a c a2 + c2 2 t t
答案第 7 页，共 8 页
4
当且仅当 t = ，即 t = 2时等号成立，
t
2 2
6 + 2 6 2 a + c
即 a = ,c = 时， 有最小值2 2 .
2 2 a c
（3）因为对任意 x R，不等式 y≥ 0恒成立，
b a 0 b2
所以 2 ，所以4c
b 4ac 0 a
b2 2b b
a + 2b + 1+ + ( )2
a + 2b + 4c
所以 a = a a （当判别式等于 0 时等号成立）
b a b a b
1
a
b b b
令 1= t ，则 = t +1，因为b a 0 ，所以 1= t 0
a a a
2b b
1+ + ( )2
a a 1+ 2(t +1)+ (t +1)
2 t 2 + 4t + 4 4
所以 = = = t + + 4 2 4 + 4 = 8
b t t t
1
a
4
当且仅当 t = ，即 t = 2时等号成立，
t
a + 2b+ 4c
所以，当b2 4ac = 0且 t = 2时， 有最小值 8.
b a
答案第 8 页，共 8 页35106210.日
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