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《空间向量及其运算的坐标表示》能力探究
分析计算能力 利用坐标证明共线、共面问题
1.共线向量
(1) 定义: 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量,记作:.
(2)共线向量定理:对任意两个空间向量的充要条件是存在实数,使.
若,则
.
在空间直角坐标系下，两向量的共线问题，可利用向量的共线定理，通过列方程求解：
2.共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使p=xa+yb.
①在向量坐标运算中，要注意方程思想的应用，若本题方程组无解，则表示a,b,c不共面.
②在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解.规定：0与任意空间向量平行或垂直.
典例1-1、[数学抽象、数学运算]若,如果与为共线向量,则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 本题考查共线向量的定义,利用共线向量的条件,推出比例关系计算求解出结果.
∵与共线,故有.答案
典例1-2、[数学运算]已知,,若三向量共面,则实数等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查共面向量的定义,根据三向量共面的充要条件,利用向量的坐标运算,最终计算求解出答案.由三向量共面,设,
则即解得答案：D
概括理解能力 空间向量坐标运算的规律及注意点
1.由点的坐标求向量坐标
空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
2.直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
3.由条件求向量或点的坐标
把向量坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标.
典例2、[数学运算]已知,,则_________,_________,_________.
解析：本题考查空间向量坐标运算,根据已知的向量的加减运算可计算得出向量,再利用数量积的坐标运算计算求解可得.
,.
答案： 4
简单问题解决能力 利用空间向量求夹角、求距离
1.利用空间向量求夹角
若设,则.
(1)夹角公式可以根据数量积的定义推出
,
其中夹角的范围是.
(2).
(3)用此公式求异面直线所成角等角度时,要注意所求角度与的关系(相等,互余,互补).
2.利用空间向量求距离
设是空间中任意两点,
则;若已知点,则点到原点的距离是.
3.利用空间向量的坐标求解夹角、距离的步骤
(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.
(3)转化:依据题意转化为夹角与距离问题,在根据相应公式计算.
典例3、[数学建模、数学运算]如图,在三棱柱中,平面平面,,且,求异面直线与所成角的余弦值.
解析：本题利用空间向量求夹角,要建立空间直角坐标系分析表示向量求出夹角.
解:建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
∴异面直线与所成角的余弦值为.
说明论证能力 利用空间向量判定平行、垂直
1.空间向量平行和垂直的条件
若,则
①,,
②.
2.向量平行与垂直问题的三种题型
(1)空间向量平行与垂直的判断,利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.
(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用,解题时要注意:①适当引入参数(比如向量平行,可设),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
(3)利用向量坐标处理空间中的平行与垂直:①向量化:即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行;②向量关系代数化:即写出向量的坐标;③求解:利用向量的坐标运算列出关系式求解.
典例4、[数学建模]如图(1),在正方体中,为的中点.
求证:(1);
(2).
解析：向量的数量积,表示,也表示它们所在的直线互相垂直,这是向量中一个最重要的结论,我们还可以利用这一结论来证明线面、面面垂直.
证明:以为原点,所在的直线分别为轴、轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则.
(1),∴,∴∴.
(2),∴.∴.
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