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《空间向量及其运算的坐标表示》知识探究
探究点1空间直角坐标系中点的表示
1.确定空间任一点的坐标:过作面的垂线,垂足为,在面中,过分别作轴、轴的垂线,垂足分别为,则.如图.
2.空间直角坐标系中,坐标轴、坐标平面上的点的坐标以及对称点的坐标特征：
(1)轴上的点坐标轴上的点坐标,轴上的点坐标.
(2)平面上点的坐标为平面上点的坐标为平面上点的坐标为.
(3)在空间直角坐标系中,点,则有点关于原点的对称点是;点关于横轴轴)的对称点是;点关于纵轴(轴)的对称点是;点关于竖轴(轴)的对称点是;
(4)点关于坐标平面的对称点是,;点关于坐标平面的对称点是;点关于坐标平面的对称点是.
(5)空间中两点中点坐标公式:设是空间中任意两点,其中点坐标公式为:.
学科素养: 理解空间直角坐标系下点的表示方式，体现直观想象核心素养.
典例1-1[观察记忆能力]在空间直角坐标系中,已知点.
(1)求点关于轴对称的点的坐标;
(2)求点关于平面对称的点的坐标;
(3)求点关于点对称的点的坐标.
解析: 本题考查空间直角坐标系下对称点的表示方法,确定已知点是关于坐标轴的对称点还是关于坐标平面的对称点,再利用位置关系解题.
解:(1)点关于轴对称后,它在轴的分量不变,在轴,轴的分量变为原来的相反数,故对称点坐标,.
(2)点关于平面对称后,它在轴,轴的分量不变,在轴的分量变为原来的相反数,故对称点坐标为.
(3)设对称点为,则点为线段的中点,由中点坐标公式,得,所以的坐标为,.
典例1-2 [概括理解能力]如图是一个正方体截下的一角,其中.建立如图所示的空间直角坐标系,则的重心的坐标为_____________.
解析:本题考查对空间中点的坐标的理解,根据重心公式计算求解可得重心坐标.
由题意知.由重心坐标公式得点的坐标为.答案.
探究点2 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
1.建立空间直角坐标系的原则
建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.
（1）让尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上.
（2）充分利用几何图形的对称性.
2.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.另外，零向量记作0=(0,0,0).
要点辨析：
1.空间向量的坐标是一个有序数组,其坐标的顺序与基底中的基向量的顺序保持一致.
2.在空间直角坐标系中,每一点与一个有序实数组是一一对应的.
3.空间向量的坐标和点的坐标的关系
点在空间直角坐标系中的坐标为,那么向量的坐标也为.
学科素养: 掌握空间向量运算的坐标表示，体现数学运算、直观想象核心素养.
典例2 [分析计算能力、观察记忆能力]在直三棱柱中,为的中点,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
解析: 先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将,用基底表示,简单计算即得坐标.
解:由已知,从而建立以方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系,如图,则,
,
故的坐标为.
,故的坐标为.即.
探究点3空间向量运算的坐标表示
1.空间两点的距离公式
若,,则.
2.空间向量的坐标运算
设
向量运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
共线
垂直
向量长度
向量夹角公式
学科素养: 掌握空间向量运算的坐标表示，体现数学运算核心素养.
典例3[分析计算能力、概括理解能力]已知向量,,求:
(1);(2);(3).
解析：本题考查空间向量的坐标运算,理解和掌握空间向量的坐标运算的公式是解题的关键.
解:(1);
(2);
；
(3).
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