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1.3.2　空间运算的坐标表示
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
平面向量的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)．
a·b＝a1b1＋a2b2.
(2)a∥b(b≠0) a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2.
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＝0.
(3)|a|＝，＝(x2－x1，y2－y1)．
cos〈a，b〉＝.
思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模 |a|＝＝
夹角公式 cos〈a，b〉＝＝
思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
3．向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝. (　　)
(2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同． (　　)
(3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (　　)
[提示]　(1)×　(2)√　(3)√
2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
D　[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，
∴4a＋2b＝(8,0,4)．]
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B． C． D．
D　[由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a·b＝0，即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，解得k＝.]
4．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，||＝________.
(1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝.]
空间向量的坐标运算
【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
(2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
(1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)[解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
进行空间向量的数量积坐标运算的技巧
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．
(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
[跟进训练]
1．(1)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．
(2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　)
A．(2,5,0) B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)
C．(3,4,1) D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)
(1)120°　(2)B　[(1)因为a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，所以a＋b＝(－1，－2，－3)，所以|a＋b|＝.因为(a＋b)·c＝7，所以a＋b与c夹角的余弦值为，即夹角为60°.因为a＝(1,2,3)与a＋b＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120°.
(2)设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1,1,1)，
∴
解得，或
∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
空间向量的平行与垂直
[探究问题]
1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？
[提示]　P.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？
[提示]　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b a＝λb
3．空间两个向量垂直的充要条件是什么？
[提示]　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
【例2】　(1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2(2)正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
[思路探究]　(1)利用向量共线充要条件．
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求λ值．
(1)D　[因为空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，则＝＝＝，所以λ＝2，故选D.]
(2)[解]　如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
1．[变条件]若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ，其他条件不变，结果如何？
[解]　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，
因为B1Q⊥EQ，所以·＝0，
所以(c－1，c－1，－1)·＝0，
即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0,4c2－4c＋1＝0，
解得c＝，所以点Q的坐标为，
所以点Q是线段BD的中点，
所以＝－2，故λ＝－2.
2．[变条件，变设问]本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
[解]　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面xDy上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为＝(m，n,0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且GH∥，所以＝＝，
解得m＝1，n＝，所以点H的坐标为，
所以H为线段AB的中点．
1．判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．
[跟进训练]
2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解]　(1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.因此，a＝(0,1，－2)．
空间向量的夹角与长度问题
【例3】　如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.
[思路探究]　→→
→→
[解]　(1)如图所示，建立空间直角坐标系C xyz.
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，
N(1,0,1)，M，
∴＝，＝(1,0，－1)，
＝(1，－1,1)，
∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
∴⊥，⊥，
∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又∵C1M∩C1N＝C1，C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，
∴BN⊥平面C1MN.
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
[跟进训练]
3．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[解]　如图，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz，
则B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
E，F，
G，C1(0,1,1)，
H，
(1)＝，＝(－1,0，－1)，∴·＝·(－1，0，－1)＝0，
∴EF⊥B1C.
(2)∵＝，
∴·＝·＝，
||＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝，||＝eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋ －1 2)＝，
∴cos(，)＝＝，∴EF与C1G所成角的余弦值是.
(3)∵＝，∴||＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝.
1．类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝＝.
4．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
1．下列向量中，与向量a＝(0,0,1)平行的向量为(　　)
A．b＝(1,0,0)　　　 B．c＝(0,1,0)
C．d＝(－1，－1，－1) D．e＝(0,0，－1)
D　[法一：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合λa＝(0,0，λ)的形式，经过观察，只有e＝－a.
法二：向量a＝(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量a∥z轴，经过观察易得只有e＝(0,0，－1)的横、纵坐标也都是0.]
2．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝－，y＝ D．x＝，y＝－
D　[因为a与b为共线向量，所以存在实数λ，使得a＝λb，所以解得x＝，y＝－，故选D.]
3．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝________.
　[由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.]
4．已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量＝(4,0,2)，则点B的坐标为________．
(9,1,4)　[由条件可知＝(8,0,4)，设B(x，y，z)．
则，解得
故点B的坐标为(9,1,4)．]
5．已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
[证明]　因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形．
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