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极点极线在高考中的应用
极点极线在高考中的应用
问题背景
椭圆的极点极线
圆锥曲线的极点极线
调和线束与调和点列
极点极线中的角与斜率
极点极线中的韦达不对称问题解决方法
2
问题背景
问题背景
在高考解析几何题当中，经常会遇到求定值、定点、共线、交点轨迹等等问
题.这些问题的背后隐藏着更深层次的高等几何理论——极点极线理论.
掌握这此问题的背景理论，可以提高解题的洞察能力，快速猜想结论，有效
规划解题思路与方法，灵活转化，预知问题与排雷技巧等都是非常有益的。
极点极线理论体系比较紧凑，结论不是很多，理解不是很困难，本专题力求
帮助大家建立概念与理论体系，弄清来龙去脉。
命题 教学 解题
4
椭圆的极点极线
椭圆的切线以及切点弦直线 【判别式法】
x2 y2 x x y y
1、若点P(x , y )在椭圆C : + =1上，求证：过 P(x , y )椭圆的切线为 0 + 00 0 2 2 0 0 =1. a b a2 b2
写6分钟
6
椭圆的切线以及切点弦直线 【隐函数求导】
x2 y2 x x y y
1、若点P(x0 , y0 )在椭圆C : + =1上，求证：过 P(x
0 0
2 2 0
, y0 )椭圆的切线为 + =1.
a b a2 b2
7
椭圆的切线以及切点弦直线 【变换法】
x2 y2 x x y y
1、若点P(x , y )在椭圆C : + =10 0 上，求证：过 P(x0 , y0 )椭圆的切线为
0 + 0 =1.
a2 b2 a2 b2
8
椭圆的切线以及切点弦直线
x2 y2
2、如图，若点P(x C : + =10 , y0 )在椭圆 外，则过P 可以作椭圆C 的两条切线，切点为F ,G ，那么
a2 b2
x x y
直线 0 + 0
y
=1是过两个切点F ,G 的直线，通常称切点弦直线.
a2 b2
x2 y2
【证明】设F(x , y ),G(x , y ) 在椭圆C : + =1上， 1 1 2 2
a2 b2
x x y y x x y y
因为PF , PG为椭圆的两条切线，所以直线PF , PG方程分别为 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
a2 b2 a2 b2
x x y y x x y y
又因为点P(x , y )在直线PF , PG上，所以 1 0 + 1 0 =1， 2 0 + 2 00 0 =1，
a2 b2 a2 b2
x x y y
进而可知点F(x , y ),G(x , y ) 在直线 0 + 0 ， 1 1 2 2 =1
a2 b2
x
所以直线 0
x y0 y+ =1为过两个切点F ,G 的直线方程，直线与椭圆相交.
a2 b2
9
椭圆弦切线交点轨迹
为什么要分两种情况？
分两种情况讨论一下：
2
x x y a 2
①若 y = 0，则 x a，带入 0 + 0
y a
0 =1可得： = a，直线 x = 与椭圆相离. 0
a2 b2 x0 x0
x0 x y+ 0
y
=1 a2 b2
2 2
4a2b6 x y
②若 y0 0，联立直线与椭圆方程：
0 0
，利用判别式 = ( + 1)； 2 2 2
x
2 y2 y a b
+ =1 0
a2 b
2
x 2 y 2 x x y y
由于当P 在椭圆内，所以 0 + 0 1 0, 0，直线 0 + 0 =1与椭圆相离.
a2 b2 a2 b2
10
椭圆弦切线交点轨迹
x 2 y 2
【例】已知椭圆 + =1(a b 0) 左右焦点分别为F1、F2 ，直线 l 过 F1交椭圆于 A、B两点，过
a 2 b2
A、B作椭圆的切线 l1 、 l2 ， l1 与 l2 相交于 M，M点的轨迹记为 E.求轨迹 E的方程；
11
椭圆弦切线交点轨迹
x 2 y 2
【例】已知椭圆 + =1(a b 0) 左右焦点分别为F1、F2 ，直线 l 过 F1交椭圆于 A、B两点，过
a 2 b2
A、B作椭圆的切线 l1 、 l2 ， l1 与 l2 相交于 M，M点的轨迹记为 E.求轨迹 E的方程；
注：此结论可以推广到更一般情形：
x 2 y 2
已知椭圆 C： + =1(a b 0) ，直线 l 过点E(t,0)( a t a) 与椭圆交于点 A、B，过 A、B作椭
a 2 b2
a 2
圆的切线 l1 、 l2 ， l1 与 l2 相交于 M，则点 M的轨迹方程为： x = 。
t
12
椭圆弦切线交点轨迹
4、综上：
x2 y2 x x y y
①当点P(x , y )在椭圆C : + =1上，直线 00 0 +
0 =1为过点P(x 的切线；
2 2 2 2 0
, y0 )
a b a b
x2 y2 x x y y
②当点P(x , y )在椭圆C : + =10 0 外，那么直线
0 + 0 =1是过两个切点的直线，即切点弦
a2 b2 a2 b2
直线.
x2 y2 x x y y
③当点P(x , y )在椭圆C : + =1 0 00 0 内，那么直线 + =1在椭圆外.
a2 b2 a2 b2
13
椭圆极点与极线
x x y y x2 y2
事实上,点P(x , y )（不是原点）与直线 0 + 0 =1,就是相对于椭圆 + =1的一对极点与极线. 0 0 2 2
a2 b2 a b
x2 y2 x x y y
在平面直角坐标系 xOy 中，极点P(x , y )（不是原点）相对于椭圆 + =1的极线为 00 0 +
0 =1；
a2 b2 a2 b2
有如下性质：
1、一个确定的极点，有唯一确定的一条极线；反之亦然.
14
椭圆极点与极线
x x y y
2、如图，若极点P(x , y )在椭圆内，极线 0 + 0 =1与椭圆相离，该极线是椭圆中过 点的割0 0 P
a2 b2
线的两端点处切线的交点轨迹.
x x y y
如图，若极点P(x0 , y0 )在椭圆上，极线
0 + 0 =1与椭圆相切于极点P ；
a2 b2
x x y y
如图，若极点P(x , y )在椭圆外，极线 0 + 0 =1与椭圆相交且为椭圆的切点弦直线； 0 0
a2 b2
15
椭圆极点与极线
b2
3、当极点P(0,m)在 y 轴上时，极线为 y = 平行于 x 轴；
m
a2
当极点P(n,0) 在 x 轴上时，极线为 x = 平行于 y 轴；
n
x2 y2 a2
特别的当极点P( c,0) 为椭圆C : + =1的焦点时，极线为 x = 平行于 y 轴且为椭圆的准线；
a2 b2 c
16
椭圆极点与极线
17
椭圆极点与极线
5、如图所示，设点P 的极线为 lP ，点Q的极线为 l ，若 l 过P 点，则Q Q lP 过点Q
18
椭圆极点与极线
19
椭圆极点与极线
x2 y2
7、点 P(x0 , y0 )不在椭圆 + =1上，过P 作椭圆的割线交椭圆于 、 ，在线段 AB 上取一点 ，
a2 b2
PA MA x
使得 = ，（内分比=外分比），则点 在直线 0
x y0 y+ =1上.
PB MB a2 b2
尝试证明？
20
椭圆极点与极线
x2 y2
7、点 P(x0 , y0 )不在椭圆 + =1上，过P 作椭圆的割线交椭圆于 、 ，在线段 AB 上取一点 ，
a2 b2
PA MA x x y y
使得 = ，（内分比=外分比），则点 在直线 0 + 0 =1上.
PB MB a2 b2
称P，M调和分割AB，P，A，M，B为一组调和点列
21
2008安徽理
x2 y2
设椭圆C : + =1(a b 0)过点M ( 2,1)，且一个焦点为F ( 2,0)
a2 b2
1
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时，在线段 AB 上取点 Q ，满足
AP QB = AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上.
c2 = 2
2 2
2 1 x y
解 (1)由题意： + =1 ，解得a
2 = 4,b2 = 2，所求椭圆方程为 + =1
a
2 b2 4 2
2 c = a
2 b2
【背景分析】（Ⅱ）因为 AP QB = AQ PB ，所以PQ调和分割 AB（即 P、Q两点为线段 AB的内外分
点）.所以点Q 在点P 的极线上，而点P 的极线为2x + y 2 = 0，所以点Q 总在2x + y 2 = 0上.
22
2008安徽理
x2 y2
设椭圆C : + =1(a b 0)过点M ( 2,1)，且一个焦点为F1( 2,0)
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P(4,1) 的动直线 l 与椭圆C 相交与两不同点 A, B 时，在线段 AB 上取
点Q，满足 AP QB = AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上.
(2)方法一：设点 Q、A、B的坐标分别为 (x, y), (x1, y1), (x , y ) . 2 2
AP AQ
由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零，记 = = ,则 0且 1
PB QB
又 A，P，B，Q四点共线，从而 AP = PB, AQ = QB
x1 x2 y1 y x + x y + y于是 4 = ，1= 2 ； x = 1 2 ， y = 1 2
1 1 1+ 1+
x2 2x21 2 y
2 2 2
从而 = 4x ，……（1） 1
y2 = y ，……（2）
1 2 1 2
2 2 2 2
又点 A、B在椭圆 C上，即 x + 2y = 4,......(3) x + 2y = 4,.......(4) 1 1 2 2
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x + 2y = 4；即点Q(x, y)总在定直线2x + y 2 = 0上 23
2008安徽理
x2 y2
设椭圆C : + =1(a b 0)过点M ( 2,1)，且一个焦点为F1( 2,0)
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P(4,1) 的动直线 l 与椭圆C 相交与两不同点 A, B 时，在线段 AB 上取
点Q，满足 AP QB = AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上.
PA PB
方法二设点Q(x, y), A(x1, y1), B(x , y ) ，由题设，2 2 PA , PB , AQ , QB 均不为零.且 =
AQ QB
又 P, A,Q, B四点共线，可设PA = AQ, PB = BQ( 0, 1) ,于是
4 x 1 y 4+ x 1+ y
x = , y ……（1） ……（2） 1 1 = x2 = , y2 =
1 1 1+ 1+
2 2
由于 A(x , y ), B(x , y )在椭圆 C上，将（1），（2）分别代入 C的方程 x + 2y = 4,整理得 1 1 2 2
(x2 + 2y2 4) 2 4(2x+ y 2) +14 = 0……（3） (x2 + 2y2 4) 2 + 4(2x+ y 2) +14 = 0 ……(4)
(4)－(3)得 8(2x + y 2) = 0 ∵ 0,∴2x + y 2 = 0
即点Q(x, y)总在定直线2x + y 2 = 0上 24
椭圆极点极线及几何意义

【调和点列】若同一直线上四点 G、A、H、B 满足 + = 0,或 GA×HB = GB×AH（即 G,H 分 A,B 的

内分比等于外分比），则称 A,B 调和分割线段 GH,或 G,H 调和分割线段 AB，A,B,G,H 为调和点列，G、H 与
A、B 称为调和共轭.
25
椭圆极点极线及几何意义
26
椭圆极点极线及几何意义
显然P在椭圆内部时，MN在椭圆外
27
椭圆极点极线及几何意义
如图，不仅点M、N 在极点P(x , y 的极线上，直线 的交点Q ，以及直线0 0 ) AD、BC AC、BD 的交点R ，
也都在该极线上
极线的几何作法
证明这个结论需要了解两个著名的定理：梅涅劳斯定理以及塞瓦定理.
28
椭圆极点极线及几何意义
【梅捏劳斯定理】
如图，若一条不过 A、B、C 三点的直线与 ABC的边 AB、BC、AC 所在直线分别交于
AD BE CF
D、E、F ，则 =1 .
DB EC FA
29
椭圆极点极线及几何意义
【塞瓦定理】
如图，已知平面上 ABC和点 D（点D不在 ABC的三边上），直线 AD，BD，CD分别交直线BC 、
AE BF CG
CA、 AB 于F 、G 、E ，则 =1.
EB FC GA
30
椭圆极点极线及几何意义
【推论 1】如图 16，在完全四边形 ABCD中，DB与CA的的延长线相交于R ，BA与DC 的的延长线相
PA MA PC NC
交于P ，直线 AD与BC 相交于Q ，若 = 且 = （内分比=外分比），则点M、N 在直线QR
PB MB PD ND
上
31
椭圆极点极线及几何意义
【证明】先证明点 N 在直线QR 上， 如图：连接QR 交线段 AB 于点M '，
如图，连接QR 交PD于点 N '，在 RCD中，因为RN '，CB，DA共点Q ， AM ' BC QD
在 AQB 中，因为QR ， AR ， BR共点R ，由塞瓦定理得： =1；
M 'B CQ DA
RB DN ' CA RB DP CA
由塞瓦定理得： =1；又因为P ，A，B 共线，由梅涅劳斯定理得： =1；
BD N 'C AR BD PC AR AP BC QD
PC N 'C PC NC NC N 'C 因为P ，C ，D共线，由梅涅劳斯定理得： =1；
比较以上两式即有 = .又因为 = ，所以 = ，即点 N ， N '重合. PB CQ DA
PD N 'D PD ND ND N 'D
PA M ' A PA MA M ' A MA
再证明点M 在直线QR 上， 比较以上两式即有 = .又因为 = ，所以 = ，即点M ，M '重合.
PB M 'B PB MB M 'B MB
综上所述：点M、N 在直线QR 上.
32
椭圆极点极线及几何意义
【推论 1 的意义】给出了画极点P 所对应的极线的快速方法.如图 19，过点P(x0 , y )（不在椭圆上）0
x2 y2
作椭圆的两条割线，分别交椭圆 + =1于 A、B、C、D 四点，在完全四边形 ABCD 中，直线
a2 b2
AD、BC 相交点Q，以及直线 AC、BD相交点R ，则直线QR 即为点P(x0 , y 的极线. 0 )
33
椭圆极点极线及几何意义
AB CD = P

【推论 2】设完全四边形 ABCD为椭圆的内接四边形，且 AD BC =Q ,则点P 的极线为RQ；点

BD AC = R
Q的极线为RP；点R 的极线为PQ，称 PQR 为自极三角形，如图.
34
椭圆极点极线及几何意义
【推论 3】如图 22，设四边形 ABCD为椭圆的内接梯形，AC / /BD ，AD BC =Q ，则点P 的极线
过Q，且与直线 AC、BD平行.
特别地，如图 23，若BC / /AD / /y 轴时，点P 的极线平行 y 轴，且与 x 轴的交点R 也是 AC、BD 交
2 2
点，根据推论 1有 OR OP = OF =a .
35
椭圆极点极线及几何意义
【推论 4】如图，若二次曲线的一条轴上两点 P、R 关于二次曲线调和共轭，过 R 的任一条割线与二次
曲线交于 A、C两点，与 PA与 PC关于 y 轴对称，即该轴为∠ 的平分线.
36
【2020全国I理20】
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点． 逆向检验、不容出错
(1)【解】由题设得 A(–a，0)，B(a，0)，G(0，1).则 AG = (a,1)，GB =(a，–1).
x2
由 2AG GB =8 得 a –1=8，即 a=3.所以 E 的方程为 +y2=1．
9
(2)【分析】先猜后求，解析几何运算量较大，不容许有反复，因此猜想结论，规划解题思路非常重要.
一方面由对称性知定点在 轴上，因此，如果设方程为x=my+n，则可得出n为定值，如果设直线y=kx+b，
则b=pk，其中p为常数.
另一方面，如果知道极点极线，则 = 6为极线，所求点为其对应极点，则由内分比与外分比和为0，
3
知定点为( ,0)
2
37
【2020全国I理20】 【方法一】用P点纵坐标作为运算参数
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点．
y0 0 y
【解】设P (6, y0 )，则直线 AP 的方程为： y = (x +3)，即： y = 0 (x +3) 6 ( 3) 9
x2
+ y
2 =1
9 2 2 2 2
联立直线 AP 的方程与椭圆方程得： ，整理得： ( y0 +9) x + 6y0 x +9y0 81= 0 ， 判别式是否要说明？
y 6y 0 2y0y = 0 (x + 3)
y 2
2
9 2 2y + 9 y +1 3y
2 3
当 y 0 00 3时， 直线CD的方程为： y
0
= x
0 ，
y 2

+1 3y
2 + 27 3y 2 3 y 2 +1
3y 2 + 27 3y 2
0 0 0 0
0 0 + 27 y 6y

0 2 2
解得： x = 3或 x = ；将 x = 代入直线 y = 02 2 (x +3)可得： y = ， y0 + 9 y +12 0y +9 y +9 9 y0 +90 0
2y 8y0 ( y 20 +3) 3y 2 3 8y 0 0 0 3y 2 3
y + = x = x
0
3y 2 0 + 27 6y0 3y
2 3 2y 整理可得： 2 4 2 2 2 0 0
所以点C 的坐标为 ,2 2 .同理可得：点D的坐标为 ,
y0 +1 6(9 y y 0 ) 0 +1 6(3 y ) y0 +10
y0 + 9 y
2 2
0 + 9 y0 +1 y0 +1
4y0 2y0 4yy = x + = 0
3 3
整理得： x

,0
3( 23 y 2 y 30 ) 0 3( 2 )
，所以直线CD过定点 ．
3 y0 2

2
猜想定方向，运算量不小，过程无坎坷 2 3 3 当 y0 = 3时，直线CD： x = ，直线过点 ,0 ．
2 2
3
故直线 CD过定点 ,0 ．
2 38
【2020全国I理20】 【解析二】运用韦达定理，设而不求
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点．
韦达凑不齐
39
【2020全国I理20】 【解析二】运用韦达定理，设而不求
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点．

【策略1】（配方运用椭圆第三定义（顶点式方程 = ( + )( )）配齐）

40
【2020全国I理20】 【解析二】运用韦达定理，设而不求
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点．
【策略2】轮换对称
【策略3】部分凑齐
41
【2020全国I理20】 【解析三】极点极线命问题一般可以运用梅涅劳斯定理
x2
已知 A, B 分别为椭圆 E : + y2 =1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB = 8．P 为直线 x = 6
a2
上的动点， PA与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线CD过定点．
42
2010江苏卷
43
2010江苏卷
44
2010江苏卷
设点纵坐标
其他方法？
标答掩盖考场实情
把握本质，积累经验
45
2012安徽理
46
2012安徽理
两小问之间的逻辑关系
47
2012安徽理
48
2012安徽理
49
2012安徽理
50
2012北京卷理
51
2012北京卷理
52
2012北京卷理
53
椭圆极点极线变式
2
如图，射线OP 与椭圆交于点D ,与点P 的极线交于点C ,则 OP OC = OD ；
当点P 在 x 轴上时， OP OC = a
2 2
； 当点P 在 y 轴上时， OP OC = b .
x x y y
【证明】设点P(x0 , y0 )，则其极线为
0 + 0 =1，
a2 b2
y
当点P 不在 x 轴上时，直线OP 的方程为 y = 0 x .
x0
y
y =
0 x
x a
2b2x a2b2 y
联立方程组： 0 ，解得C( 0 , 0 )
x x y y b
2x 2 + a2 y 2 b2x 2 + a2 y 2
0 0 0 0 0 0+ =1
a2 b
2
y
y = 0 xx a2 2 b
2x 2 a2b2 y 2
联立方程组： 0 0 0 ，解得 OD = +
x2 y2 b
2
x
2 2 2 2 2 2 2
0 + a y0 b x0 + a y0
+ =1
a2 b2
a2b2x a2b2 y 2
所以 OP OC =OP OC = x 00 + y
0 = OD ；
b2x 2 2 2
0
+ a y b2x 2 + a2 20 0 0 y0
2 2
易知：当点P 在 x 轴上时， OP OC = a ；当点P 在 y 轴上时， OP OC = b . 54
调和点列
【推广】如图，设点Ｐ关于有心圆锥曲线Ｃ调和共轭点为点Ｑ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心Ｏ，且与
Ｃ交于两点Ｒ,Ｒ′，则有 2＝OP·OQ，反之若有此式成立，则点 P 与 Q 关于Ｃ调和共轭．
【证明】设直线PQ与C的另一交点为Ｒ′，若点P与Q关于C调和共轭，

则有 = = （注意OR′＝OR），化简即可得 2 = ．
’ ’ + ’+

反之，由 2 = 也可推出 = ，即点P与Q关于C调和共轭．
’ ’
55
2011四川理
椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 与椭圆交于 C、D两点，并与 x轴交于点 P．直
线 AC与直线 BD交于点 Q．
3
(I)当|CD|= 2 时，求直线 的方程；
2
(II)当点 P异于 A、B两点时，求证：OP OQ 为定值.
1
【分析】由平面向量数量积的投影几何意义和极点极线性质，P (0, ) ，所以 xQ = k
k
y2 2
【解析】(1)由已知可得椭圆方程为 + x =1，设 l 的方程为 y 1= k(x 0),k 为 l 的斜率.
2
2k 4
y = kx +1 x1 + x2 = 2+ k 2
y1 + y2 = 2
2 2 2+ k
则 y2 (2+ k )x + 2kx 1= 0 2 2
+ x =1 1 2k + 2
2 x1x2 = y1y2 = 2+ k 2 2+ k
2
2 4 2
(x x )2 + (y y )2
8k +8 8k +8k 9
1 2 1 2 = + = k
2 = 2 k = 2
(2+ k 2 )2 (2+ k 2)2 2
l 的方程为 y = 2x+1 56
2011四川理
椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 与椭圆交于 C、D两点，并与 x轴交于点 P．直
线 AC与直线 BD交于点 Q．
3
(I)当|CD|= 2 时，求直线 的方程；
2
(II)当点 P异于 A、B两点时，求证：OP OQ 为定值.
（Ⅱ）直线 垂直于 轴时与题意不符．
1
设直线 的方程为 y = kx +1（ k 0且 k 1），所以 P 点的坐标为 ( ,0)．
k
2k 1
设C(x1, y1)，D(x2 , y2 )，由（Ⅰ）知 x1 + x2 = ， x x = ，
k 2
1 2
+ 2 k 2 + 2
y y
直线 AC 的方程为： y = 1 (x +1) ，直线 BD的方程为： y = 2 (x 1)，
x1 +1 x2 1
57
2011四川理
椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 与椭圆交于 C、D两点，并与 x轴交于点 P．直
线 AC与直线 BD交于点 Q．
3
(I)当|CD|= 2 时，求直线 的方程；
2
(II)当点 P异于 A、B两点时，求证：OP OQ 为定值.
（Ⅱ）直线 垂直于 轴时与题意不符．
1
设直线 的方程为 y = kx +1（ k 0且 k 1），所以 P 点的坐标为 ( ,0)．
k
2k 1
设C(x1, y1)，D(x2 , y2 )，由（Ⅰ）知 x1 + x2 = ， x x = ，
k 2
1 2
+ 2 k 2 + 2
y y
直线 AC 的方程为： y = 1 (x +1) ，直线 BD的方程为： y = 2 (x 1)，
x1 +1 x2 1
58
2011四川理
（Ⅱ）直线 垂直于 轴时与题意不符．
1
设直线 的方程为 y = kx +1（ k 0且 k 1），所以 P 点的坐标为 ( ,0)．
k
2k 1
设C(x1, y1)，D(x2 , y2 )，由（Ⅰ）知 x1 + x2 = ， x1x2 = ，
k 2 + 2 k 2 + 2
y y
直线 AC 的方程为： y = 1 (x +1) ，直线 BD的方程为： y = 2 (x 1)，
x1 +1 x2 1
方法一：
因为 x1 + x2 = 2kx1x2 ，
y
y = 1
y1(x2 1)
(x +1), 1+
x1 +1 y (x +1) y (x +1) + y (x 1)联立方程 设Q(x0 , y0 ) ，解得 x0 =
2 1 = 2 1 1 2
y y (x 1) 2 y (x +1) y (x 1)y = (x 1), 1
1 2 2 1 1 2
x2 +1 y2 (x1 +1)
(kx2 +1)(x1 +1) + (kx1 +1)(x2 1) 2kx x + (x + x ) + k(x 2(x + x ) + k(x x )= = 1 2 1 2 2
x1) = 1 2 2 1
(kx +1)(x +1) (kx +1)(x 1) k(x1 + x2 ) + (x2 1 1 2 1 x2 ) + 2 k(x1 + x2 ) + (x1 x2 ) + 2
(k 2 + 2)(x + x ) + 2k
由 x0 + k =
1 2 = 0 得 x0 = k
k(x1 + x2 ) + (x1 x2 ) + 2
1 1
因此 Q点的坐标为 ( k, y0 )，又 P( ,0)，∴OP OQ = ( k) ( ) + 0 =1．
k k
故OP OQ 为定值． 59
2011四川理
（Ⅱ）直线 垂直于 轴时与题意不符．
1
设直线 的方程为 y = kx +1（ k 0且 k 1），所以 P 点的坐标为 ( ,0)．
k
2k 1
设C(x1, y1)，D(x2 , y2 )，由（Ⅰ）知 x1 + x2 = ， x1x2 = ，
k 2 + 2 k 2 + 2
y y
直线 AC 的方程为： y = 1 (x +1) ，直线 BD的方程为： y = 2 (x 1)，
x1 +1 x2 1
y1 y1(xy = (x +1), 1+ 2
1)

x1 +1 y (x +1) y (x +1) + y (x 1)方法二：联立方程 设Q(x0 , y0 ) ，解得 x =
2 1 2 1 1 2 ，
0 =
y y1(x2 1) y (x +1) y (x 1)y = 2 (x 1), 1 2 1 1 2
x +1 y2 (x1 +1)2
(kx2 +1)(x1 +1) + (kx1 +1)(x 1) 2kx x + (x + x ) + k(x x )不妨设 x1 x ，则 x =
2 = 1 2 1 2 2 12 0
(kx2 +1)(x1 +1) (kx1 +1)(x2 1) k(x1 + x2 ) + (x1 x2 ) + 2
2
2k 2k k 8(k +1)
2
k 2 + 2 k 2 + 2 k 2 + 2 4k 2k 2(k +1)= = = k ，
2 8(k 22k +1) 2 2(k
2 +1) + 4
+ + 2
k 2 + 2 k 2 + 2
1 1
因此 Q点的坐标为 ( k, y0 )，又 P( ,0)，∴OP OQ = ( k) ( ) + 0 =1．
k k
故OP OQ 为定值． 60
2011四川理
（Ⅱ）直线 垂直于 轴时与题意不符．
1
设直线 的方程为 y = kx +1（ k 0且 k 1），所以 P 点的坐标为 ( ,0)．
k
2k 1
设C(x1, y1)，D(x2 , y2 )，由（Ⅰ）知 x1 + x2 = ， x1x2 = ，
k 2 + 2 k 2 + 2
y y
直线 AC 的方程为： y = 1 (x +1) ，直线 BD的方程为： y = 2 (x 1)，
x1 +1 x2 1
y
y =
1 (x +1),
x +1 x +1 y (x +1) x +1 y
方法三：联立方程 1 消去 得 =
2 1 ,因为 1 x1, x2 1 ,所以 与
2 异号．
y x 1 y (x 1) x 1 yy = 2 (x 1), 1 2 1
x2 +1
2k 1
y2 (x +1)2 2 2x2 (x +1)2
1+ +
x +1 2 2 1 (1+ x )(1+ x ) 2 2 k 1 2( ) = = 2 1 = 1 2 = k + 2 k + 2 = ( )
x 1 y21 (x2 1)
2 2 2x21 (x2 1)
2 (1 x1)(1 x ) 2k 1 k +12 1 +
k 2 + 2 k 2 + 2
2 2(1 k)(1+ k) 2(1+ k)
2 k 1
又 y1y2 = k x1x2 + k(x1 + x2 ) +1= = ，
k 2 + 2 k 2 + 2 k +1
k +1 x +1 k +1 x +1 k +1
∴ 与 y1y2 异号， 与 同号，∴ = ，解得 x = k ．
k 1 x 1 k 1 x 1 k 1
1 1
因此 Q点的坐标为 ( k, y0 )，又 P( ,0)，∴OP OQ = ( k) ( ) + 0 =1．
k k
故OP OQ 为定值． 61
圆锥曲线的极点与极线
圆锥曲线的极点与极线
63
圆锥曲线的极点与极线
特别地：在平面直角坐标系 xOy 中，
x2 y2 x x y y
对于椭圆 + =1，与点P(x , y )（不是原点）对应的极线方程为 0 + 0 =1；
a2 2
0 0
b a2 b2
x2 y2 x x y y
对于双曲线 = 1，与点P(x0 , y0 )（不是原点）对应的极线方程为
0 0 = 1；
a2 b2 a2 b2
对于抛物线 2 = 2 ,与点P(x0 , y0 )（不是原点）对应的极线方程为 0 = ( 0 + ).
圆锥曲线的焦点与对应准线为一对极点与极线.
64
从极点极线的角度重识抛物线的一个性质
65
2007福建理
66
2007福建理
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2007福建理
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2008江西理
69
2008江西理
70
2008江西理
71
2009湖北理
72
2009湖北理
73
2009湖北理
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2009湖北理
75
2009湖北理
76
调和线束与调和点列
调和线束与调和点列
78
调和线束与调和点列
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调和线束与调和点列
80
2016全国I文
81
2016全国I文
抛物线运算量小一点
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2020年北京卷第20题
83
2020年北京卷第20题
84
2020年北京卷第20题
85
2020年北京卷第20题
86
2020年北京卷第20题
87
2020年北京卷第20题
88
2020年北京卷第20题
89
2020年北京卷第20题
点评：灵活设直线方程，显然可以简化运算．
90
2020年北京卷第20题
91
2020年北京卷第20题
92
2017年北京高考理
93
2017年北京高考理
94
北京高考2018文
95
北京高考2018文
96
北京高考2018文
也可由 // 求出斜率．
97
2015北京高考文
98
2015北京高考文
99
2015北京高考文
100
2022全国乙理20
试题背景分析：易验证PA，PB为椭圆的两条
切 线 ，若 PMN 与直 线 AB 交 于 Q 点， 则
P,M,Q,N 为 一 组 调 和 点 列 ， 所 以 直 线
AP,AM,AQ,AN为一组调和线束，直线MTH与
AP平行，所以T为M，H的中点，反之也成立。
101
极点极线中的角与斜率
极点极线中的角与斜率
103
2018全国I理
104
2018全国I文
105
2015全国I20
106
2015北京理
107
2015北京理
【背景分析二】
108
2015北京理
109
2019北京文 与2015北京文背景一致
【分析】
110
一个定理及其背景
从两个角度解析：一是调和线束，转化到 轴上的调和点列，
另一种是过P作极线的一条平行线.
111
一个定理及其背景
112
2013江西理
113
2013江西理
114
2013江西理
115
2013江西文
116
2013江西文
117
2013江西文
118
极点极线中韦达不对称问题解决方法
极点极线中韦达不对称问题解决方法
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极点极线中韦达不对称问题解决方法
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极点极线中韦达不对称问题解决方法
122
极点极线中韦达不对称问题解决方法
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极点极线中韦达不对称问题解决方法
124
极点极线中韦达不对称问题解决方法
125
极点极线中韦达不对称问题解决方法
126
祝老师国庆快乐！
感谢倾听！

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