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人教B版（2019）必修第二册《5.3.2 事件之间的关系与运算》2022年课时练习（1）
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）某密码锁的一个密码由位数字组成，每一位均可取，，，，这个数字中的一个小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为
A. B. C. D.
2.（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A. “至少有一个黑球与都是黑球”
B. “至少有一个黑球与至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球与恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球与都是红球”
3.（5分）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“不小于的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为
A. B. C. D.
4.（5分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 13个人中至少有两个人生肖相同
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定下雨
5.（5分）从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，互斥而不对立的两个事件是
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 至少有一个黑球与至少有个红球 D. 恰有个黑球与恰有个黑球
6.（5分）甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A. B. C. D.
7.（5分）《易系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为
A. B. C. D.
8.（5分）在一次随机试验中，三个事件，，的概率分别为，，，则下列说法正确的个数是
①与是互斥事件，也是对立事件；
②是必然事件；
③；
④．
A. B. C. D.
二 、解答题（本大题共6小题，共72分）
9.（12分）做试验“从一个装有标号为，，，的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对，为第一次取到的小球上的数字，为第二次取到的小球上的数字”．
求这个试验样本点的个数；
写出“第一次取出的小球上的数字是”这一事件．
10.（12分）在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位单位：
概率
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
；
；
水位不低于
11.（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：
分组 频数 频率
合计
Ⅰ求出表中，及图中的值；
Ⅱ若该校高三学生有人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
Ⅲ在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于次的学生中任选人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．
12.（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，假设事件：“取出的件产品中至多有件是二等品”的概率．
求从该批产品中任取件是二等品的概率；
若该批产品共件，从中任意抽取件，求事件：“取出的件产品中至少有一件二等品”的概率．
13.（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
求甲获胜的概率；
求投篮结束时乙只投了个球的概率.
14.（12分）甲、乙两名飞行员进行飞机着陆训练，表示事件“甲降落至指定地点”，表示“乙降落至指定地点”．试用符号表示下列事件：
甲或乙降落至指定地点；
甲和乙都降落至指定地点；
甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点；
甲、乙两人都没有降落至指定地点；
甲、乙至少有一人降落至指定地点．
三 、填空题（本大题共4小题，共20分）
15.（5分）甲、乙、丙、丁名同学报名参加文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目，每人限报其中一项，记事件为“名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报‘走进社区 项目”，则的值为__________.
16.（5分）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是__________.
“至少有一个黑球”与“都是黑球”
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
“至少有一个黑球”与“都是红球”.
17.（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是______，甲不输的概率______．
18.（5分）从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，所选人中至少有名女生的概率为，那么所选人都是男生的概率为__________.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
本题考出分步乘法计数原理，组合问题，古典概型的概率计算，属于中档题.解：先从个位置中选个，从到这个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的个数字中选一个数字放入两个位置数字相同，有种方法，所以所求概率
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查对立事件、互斥事件的知识，关键是利用对立事件、互斥事件的定义求解．

解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故正确；
在中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故错误．
故选
3.【答案】A;
【解析】解：事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“不小于的点数出现”，
，，
又小于的偶数点有和，不小于的点数有和，
所以事件和事件为互斥事件，
则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为
，
故选：
由古典概型概率公式分别计算出事件和事件发生的概率，又通过列举可得事件和事件为互斥事件，进而得出事件或事件至少有一个发生的概率即为事件和事件的概率之和．
此题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
4.【答案】B;
【解析】生肖有12个，因此13个人中必定至少有2个人的生肖相同，所以“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件.
5.【答案】D;
【解析】

此题主要考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．
利用互斥事件和对立事件的概念求解．
解：在中，至少有一个黑球与都是黑球能同时发生，两个事件不是互斥事件；
在中，至少有一个黑球与都是红球不能同时发生，两个事件是互斥事件，也是对立事件；
在中，至少有一个黑球与至少有个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；
在中，恰有个黑球与恰有个黑球不能同时发生， 可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．
故选
6.【答案】D;
【解析】
该题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的分几类还是分步的分几步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解，属于基础题．
根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．

解：甲要获得冠军共分为两个情况：
一是第一场就取胜，这种情况的概率为，
一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为．
则甲获得冠军的概率为．
故选D．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查至少的组合问题及古典概率的计算，属于中档题.解：由题意可知，个数中，，，，，是阳数，，，，，是阴数，
任取个数中有个阳数的概率，任取个数中有个阳数的概率，
故这个数中至少有个阳数的概率
8.【答案】B;
【解析】
该题考查了互斥事件和对立事件的概念和性质，属基础题，通过举例可以否定①②③，根据概率加法公式可证明④是正确的．

解：从到的个整数中任取一个整数，所得数字为，记三个事件：“”、：“”、：“”，
满足三个事件，，的概率分别为，，，
与不是互斥事件，②不是必然事件；③；故①②③均错误．
，故④正确；
故选B．

9.【答案】解：（1）当x=1时，y=2，3，4，
当x=2时，y=1，3，4，
当x=3时，y=1，2，4，
当x=4时，y=1，2，3，
所以共12个不同的有序数对．
故这个试验样本点的个数为12．
（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，
则A={（2，1），（2，3），（2，4）}．;
【解析】
利用列举法能写出这个试验的所有结果．
利用列举法能写出“第一次取出的小球上的标号为”这一事件．
此题主要考查试验的所有结果的求法，考查随机事件的定义等基础知识，是基础题．
10.【答案】解：设水位在范围的概率为
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，
由概率加法公式得：
；
；

;
【解析】
此题主要考查互斥事件的概率.
由表可知河流在这一处的最高水位在包括三部分，这三部分之间是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果；
由表可知河流在这一处的最高水位在包括两部分，这两部分之间是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果；
由表可知河流在这一处的水位不低于， 包括两部分，这两部分之间是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果.
11.【答案】解：Ⅰ由分组内的频数是，频率是知，，
．
频数之和为，
，．
是对应分组的频率与组距的商，
；
Ⅱ因为该校高三学生有人，分组内的频率是，
估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人．
Ⅲ这个样本参加社区服务的次数不少于次的学生共有人，
设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．
则任选人共有，，，，，，，，，，，，，，种情况，
而两人都在内只能是一种，
所求概率为．;
【解析】该题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，属于基础题．
根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；
根据该校高三学生有人，分组内的频率是，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人；
这个样本参加社区服务的次数不少于次的学生共有人，设出在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．
12.【答案】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）
=P（A0）+P（A1）
=（1-p）2+C21p（1-p）
=1-
于是0.96=1-．
解得=0.2，=-0.2（舍去）．
（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．;
【解析】
有放回地抽取产品二次，每次随机抽取件，取出的件产品中至多有件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．
由上面可以知道其中二等品有件取出的件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．
问题所涉及的是生活中常见的一种现象，问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学．
13.【答案】解：设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中，则，，，记“甲获胜”为事件，则
记“投篮结束时乙只投了个球”为事件
则
;
【解析】此题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可；
写出投篮结束时乙只投了个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解.

14.【答案】解：甲或乙降落至指定地点可表示为
甲和乙都降落至指定地点可表示为
甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点可表示为
甲、乙两人都没有降落至指定地点可表示为
甲、乙至少有一人降落至指定地点可表示为;
【解析】此题主要考查了随机事件、对立事件、并事件等知识，属基础题.
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查条件概率及排列问题，属于中档题.解：根据题意得，，所以
16.【答案】
;
【解析】
此题主要考查的知识点是互斥事件与对立事件，其中熟练掌握互斥事件与对立事件的定义，是解答本题的关键，为基础题．
根据已知中从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，我们易根据互斥事件与对立事件的定义，逐一对题目中的四个结论进行判断，分析出每个结论中两个事件之间的关系，即可得到答案．
解：当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
故中两个事件不互斥
当两个球一个为黑球，一个为红球时，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，故中两个事件不互斥
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但可能同时不发生，故中两个事件互斥而不对立“
至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故中两个事件对立.
故答案为

17.【答案】 ; ;
【解析】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，
甲获胜的概率是，
甲不输与乙获胜对立互斥事件．
甲不输的概率是，
故答案为：，．
甲获胜和乙不输是对立互斥事件，甲不输与乙获胜对立互斥事件，根据概率公式计算即可．
该题考查了对立互斥事件的概率公式，属于基础题．
18.【答案】
;
【解析】此题主要考查对立事件的概率，为基础题.
利用事件“至少有名女生”与事件“都是男生”相对立，即可求解.
解：设事件所选人中至少有名女生，所选人都是男生，
则，且，互为对立事件，所以
故答案为

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