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《空间向量的应用》知识探究
探究点1空间中点的位置向量
1.空间中点的位置向量是空间中点的向量表示，是空间中点的另一种表示形式，即用向量语言表示空间中的点.
2.用点的位置向量表示点时，基点可以任意选取，例如可选择定点A作为基点，用表示点P的位置.
3.在确定好基点的情况下，点P的位置向量由点P的位置唯一确定.
4.在空间直角坐标系下，如果选择坐标原点O作为基点，则空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标.
学科素养: 理解空间中点的位置向量，体现直观想象核心素养.
典例1[分析计算能力]取点为基点,点的位置向量的坐标为____________.
解析: 本题考查空间中点的向量表示,首先明确基点坐标,然后按照向量的坐标运算,分析计算得到正确结果.设点的位置向量为.答案
探究点2 直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量
(1)在空间中,一个向量成为直线的方向向量,必须具备两个条件:
①不能为零向量;②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.
(2)直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定,也就是说,给定空间直线上一点和直线的方向向量,就可以确定唯一一条过点的直线.
(3)直线的方向向量有无数个,如果是直线的方向向量,则必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两点,则即为直线的一个方向向量.
2.平面的法向量
(1)平面的法向量为非零向量.
(2)平面的法向量与平面内任一向量垂直,即平面的法向量与平面内任一向量的数量积为0.
(3)平面的法向量有无数个,如果是平面的法向量,则必是平面的法向量.求一个平面的法向量,可以找共面于平面的两个不共线向量,应用,求得平面的一个法向量.
(4)确定平面有两种方法,一是由一定点和两个基向量确定;二是由一定点和一法向量确定.今后用得较多的是法向量.
学科素养:正确理解方向向量和法向量，体现数学运算、逻辑推理核心素养.
典例2 [概括理解能力、推测解释能力-甘肃武威第十八中学高三测试)已知.
(1)写出直线的一个方向向量;
(2)设平面经过点,且是平面内的任意一点,试写出满足的关系式.
解析: 解:(1)∵,即为直线的一个方向向量.
(2)∵为平面的一个法向量.
由题意得,又,.
点拨：本题考查对方向向量和法向量的理解,计算求出即为直线的一个方向向量;由可推理得到即为平面的一个法向量.
探究点3 对空间中直线与直线所成角的理解
空间中两条直线所成角的取值范围是，两条异面直线所成角的范围是,其余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
注意不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
学科素养: 会用向量求异面直线所成角，体现数学建模核心素养.
典例3 [简单问题解决能力]在正方体中,分别是的中点,则异面直线与所成角的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 本题考查异面直线夹角,利用空间向量的坐标运算求值.以为原点,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则.答案
探究点4 对空间中直线与平面所成角的理解
设平面法向量为,直线的方向向量为,
用向量法求直线与平面所成的角,应建立适当的空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量与斜线的方向向量的夹角.若为锐角,则所求线面角为;若为钝角,则所求线面角为.
直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角,故,其取值范围是.
学科素养: 会用空间向量求线面角，体现数学运算核心素养.
典例4 [分析计算能力]已知向量分别是直线与平面的方向向量、法向量,若,则与所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 设与所成的角为,则.答案.
点拨：本题考查线面角的运算,通过公式分析计算求值.
探究点5 对空间中平面与平面所成角的理解
由于二面角的取值范围是，而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而求得其大小.注意两个平面间的夹角的范围为，其余弦值一定为非负值.
学科素养: 用向量求平面与平面所成角，体现数学运算核心素养.
典例5 [分析计算能力]已知平面的法向量,,平面的法向量,则平面与的夹角为__________.
解析: ∵平面与的夹角是.答案
点拨：本题考查求平面与平面之间的夹角,注意夹角角度的取值范围为不大于,在空间向量的坐标运算的基础上计算求值.
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