资源简介

1.4空间向量的应用
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
1.重点：空间图形基本要素及其关系的向量表示，用向量方法解决空间图形的位置关系和距离、夹角等度量问题.
2.难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题.
三、教科书编写意图及教学建议
本节核心内容是利用空间向量解决立体几何问题的一般方法：先用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，建立立体图形与空间向量的联系；然后进行空间向量的运算；最后把空间向量的运算结果“翻译”成几何结论.
教科书在1.4.1小节讨论点、直线和平面的向量表示以及直线、平面的平行和垂直等位置关系的向量表示，在1.4.2小节讨论空间距离和角度的向量表示，并通过例题归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”.
空间中直线、平面的位置关系主要研究平行、垂直等，也就是“方向”问题，而向量表达了方向，于是利用向量及其运算可以解决方向的问题.空间中度量问题主要研究“距离”和“夹角”问题，距离和角度可以用向量的运算表达，于是利用向量的运算可以解决距离和夹角的问题.向量法为解决立体几何问题提供了一种通法，这也是向量法的优势所在.利用空间向量解决立体几何问题的基础是用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，因此教科书特别关注了直线的方向向量和平面的法向量.由于学生并不习惯于用法向量等解决问题，因此教学中要给予重视.
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.空间中点、直线和平面的向量表示
点、直线和平面是构成空间图形的基本要素.无论是利用向量方法研究空间几何元素之间的位置关系，还是度量问题，首先要把这些基本要素用向量表示出来.
（1）点是位置的抽象，给定起点，那么，空间一个向量的终点就和空间的一个位置对应，向量就是点的位置向量.
（2）直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.我们熟知的“两点确定一条直线”，可以划归为这种情形.事实上，由给定的两点可以确定向量，那么直线就由点和方向向量唯一确定.
对于直线的向量表示，教科书给出了三种形式.
设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则
①点在直线上的充要条件是存在实数，使得
，即.
②取定空间中的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使
.
③取定空间中的任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使
.
注意到，可得，因此由①可得②.这就解决了教科书在“边空”中提出的问题.
（3）一般来说，平面有两种表示方法.一种是用平面内一个定点和这个平面内的两条相交直线的方向向量和表示，这时，对于平面内的任意一点，存在唯一的实数和，使得，这是用平面内一点与这个平面内的两个不共线的向量表示这个平面；进一步，取定空间任意一点，则存在唯一的实数，，使，这是用空间中任意一点与这个平面内的两个不共线的向量表示这个平面.另一种是用平面内的一个定点和平面的一个法向量来表示，这时平面可以用集合来刻画.
两种表示法的目的都是建立平面与向量的联系，用向量表示平面，为通过向量运算研究图形的性质奠定基础.两种表示方法各有特点：一个是充分运用平面向量基本定理，通过向量的线性运算表示平面；另一个是借助平面的法向量，通过向量的数量积运算表示平面.解决具体问题时，两种方法往往综合使用.
综上所述，用空间向量表示点、直线、平面时，首先要确定一个定点，然后用向量表示它们.教学时应让学生了解“确定一个定点”是用空间向量表示点、直线、平面的基础.
2.例1的教学
教科书安排例1的目的是给出求平面法向量的具体方法，同时为后续研究直线、平面间的位置关系和距离、夹角等度量问题做准备.需要注意的是，平面的法向量并不唯一，它们的模长可以不同，其方向相同或相反.与具体问题背景结合时，可以利用向量的“自由性”，根据问题的条件灵活确定表示法向量的有向线段；通过解方程组求法向量时，可以对参数适当取值，求出平面的一个法向量即可.
教学时，要注意结合本题引导学生归纳求解平面法向量一般步骤：
（1）根据立体几何中直线与平面垂直的判定定理得到法向量；
（2）根据向量数量积运算的坐标表示得到两个三元一次方程，联立方程组；
（3）根据三元一次不定方程组，得到一个方向向量.
其中，在由三元一次不定方程组得到方向向量时，可以采用类似解二元一次方程组的方法，把其中一个未知数看作参数，然后用这个参数表示另外两个未知数，最后给参数赋值时，尽量使三个未知数的值为整数，并且数不要太大.
3.空间中直线、平面的平行
因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教科书对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.
教科书首先安排了一个“思考”：“由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？”对于此问题，教学中可以分步进行.
首先研究直线与直线平行.教学时可以先让学生思考：由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什么关系？进而引导学生利用直线方向向量的定义得到下面的结论：如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.并进一步引导学生得到两条直线平行的向量表达式，即设直线，的方向向量分别为，则
.
接下来，研究直线与平面平行、平面与平面平行.教学时，可以让学生自己进行类似研究，从而得到直线与平面平行、平面与平面平行的向量表达式.由于空间向量是自由向量，直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面进行说明，教学时可以启发学生对此进行研究.
4.例2、例3的教学
例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理.教科书设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.教学时要注意直线的方向向量和平面的法向量的作用.首先把空间图形的基本要素：直线、平面用直线的方向向量、平面的法向量表示，然后进行向量的线性运算和数量积运算，并把运算的结果翻译为空间图形的位置关系.在解决此问题的过程中，体会直线的方向向量、平面的法向量，以及向量运算在解决空间平行问题中的作用.
例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题.教科书设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解：
设线段上存在满足条件的点，则存在实数（），使得，所以
由直线平面，可知存在实数，使得，所以
所以，解得
所以，当，即为的中点时，//平面.
这种方法没有运用平面的法向量，而是直接运用平行及共面关系，只涉及线性运算.但这种方法具有一定的技巧，在涉及平面的位置关系时，结合平面的法向量研究是普适性方法.
5.空间中直线、平面的垂直
对于空间中直线、平面垂直的向量表示，教科书首先安排了一个“思考”：“在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？”对于此问題，由于学生已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，因此对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，教学中应更多地让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用.
教科书在第32页的“边空”提出问题：你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？
这个同题是要引导学生关注向量的运算在解决几何问题中的作用.有了向量的运算才能研究空间图形的位置关系、度量问题.例如，直线与直线垂直可以用其方向向量的数量积为0表示，即.这样我们就可以通过向量运算研究空间图形的位置关系.因此我们说向量的作用是通过其运算来体现的，如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”，无法获得空间图形的几何性质.
6.例4、例5的教学
教科书设置例4的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.
教科书设置例5的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.
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