资源简介

《空间向量的应用》能力探究
分析计算能力 利用待定系数法求平面法向量的步骤
1.求平面的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如.
2.设平面的法向量为.
3.联立方程组并求解.
4.所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
典例1、[数学运算、数学建模]已知的三个顶点的坐标分别为,试求出平面的一个法向量.
解析: 解:设平面的法向量为. .
则有即解得
令,则.故平面的一个法向量为.
点拨：求平面法向量关键是选取平面内不共线的两个向量,然后建立方程组,计算求解.
推测解释能力 利用空间向量证明平行关系
1.证明线线平行
要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行.利用直线的方向向量证明直线与直线平行时，要注意向量所在的直线与所证直线无公共点.
2.证明线面平行
(1)利用共面向量法
证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量,即满足,则共面,从而可证直线与平面平行.
(2)利用共线向量法
证明直线的方向向量与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.利用直线的方向向量证明直线与平面平行时,注意向量所在直线与所证平面无公共点.
(3)利用法向量法
求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
3.证明面面平行
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明,利用直线的方向向量证明平行关系时,要注意两平面没有公共点.
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
典例2、[逻辑推理、直观想象]四棱锥,四边形是正方形,侧棱垂直于底面,是的中点.证明:平面.
解析：证明：如图所示,建立空间直角坐标系,是坐标原点,设.连接,交于点,连接,依题意得.
设平面的法向量为,
又,则有
即即令,
则所以,
故.
所以.又平面,所以平面.
点拨：证明线面平行,首先要分析出直线的方向向量和平面的法向量,再推理得到证明结果.
说明论证能力　利用空间向量证明垂直关系
1.证明线线垂直
（1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
（2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
2.证明线面垂直
（1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
3.证明面面垂直
（1）利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直.
（2）直接求解两个平面法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
典例3、[逻辑推理、数学建模]在四棱锥中,底面是正方形,底面,且是的中点.求证:平面平面.
点拨：证明面面垂直,首先建立合适的坐标系,再通过观察,表示出各点坐标,向量坐标,可以转化为线面垂直进行推测计算,也可以利用法向量互相垂直进行推理论证.证明:设,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,.
方法一 连接,交于点,连接,则点的坐标为.易知,所以,所以.
又平面,所以平面.
又平面,所以平面平面.
方法二 设平面的法向量为.
易知,
所以即令,可得平面的一个法向量为.因为底面,
所以平面的一个法向量为.
因为,所以平面平面.
分析计算能力　求空间距离的方法
1.利用空间向量求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量.
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.
(3)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
2.求点到平面的距离的方法
(1)作图法:作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)等体积法:在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法:①建系:建立恰当的空间直角坐标系.
②求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
③求向量:求出相关向量的坐标内两不共线向量,平面的法向量).
④求距离.
典例4、[数学运算、数学建模]已知在正方体中,分别是的中点,求点到的距离.
点拨：求点到直线的距离,首先建立合适的空间直角坐标系,在用坐标表示出点和线的向量的基础上,计算出点在向量上的投影向量的长度,再根据勾股定理求解.
解:以点为原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示,
设,则,
则.
,
,
在上的投影长为.
所以点到的距离.
简单问题解决能力 利用空间向量求空间角
1.求异面直线所成角的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求直线与平面所成角的步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量.
(3)求平面的法向量.
(4)设线面角为,则.
3.求二面角的步骤
向量法求两个平面夹角的步骤:
步骤一:(1)求两个平面的法向量;(2)求;(3)设两个平面的夹角为,则.
步骤二:(1)找出两个平面内与两个平面交线垂直的异面直线;(2)求出直线的方向向量;(3)求;(4)设两个平面的夹角为,则.
向量法求二面角的思路:
思路一:若分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线,则向量与的夹角就是二面角的平面角(如图所示).
思路二:设分别是二面角的两个半平面所在平面的法向量,则向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角(如图所示).
注意:二面角的取值范围是,根据两个半平面的法向量,利用公式求出,最终还需要根据图形判断为钝角还是锐角,从而求出(或其三角函数值).
若是求两个平面的夹角,则最终计算的余弦值一定取正,因为夹角为两个平面形成的不大于的角.
典例5-1、[数学运算]在直三棱柱中,依次为的中点.求与平面所成角的正弦值.
点拨：求线面角,在正确建立空间直角坐标系的基础上,用向量表示出直线的方向向量和平面的法向量,通过公式分析计算求解.
解:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.
设平面的一个法向量为,
由得令可得.设与平面所成角为,
所以,
即与平面所成角的正弦值为.
典例5-2、[数学运算、直观想象]正方形所在平面外一点平面,若,则平面与平面的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
点拨：本题考查平面与平面之间的夹角计算,利用空间向量解决问题,计算得出两个平面的法向量之后,代入公式计算求解,注意最后求得余弦值一定为非负值.
如图所示,建立空间直角坐标系,设,则.于是,取的中点,则,易知是平面的法向量,是平面的法向量,
平面与平面的夹角为.答案B
5 / 9

展开更多......

收起↑