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冀东名校2022-2023学年度第一学期高三年级期中调研考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x|x2－7x＋12＝0}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，则(A∩B)∪C=
A．{0,2} B．{3,4,5}
C．{3,4} D．{0,2,3,4}
2.已知z＝(3－i)(1＋2i)，则z的虚部为
A．5　　　　　　　　 B．5i
C．－1 D．－i
3.某学校利用随机数表对某班的50学生进行抽样测试，先将50个学生进行编号，编号分别为01,02，…，50，从中抽取5个样本，下表是随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是
A．09 B．10
C．20 D．71
4.若函数f(x)＝的图象关于点(1,3)对称，则实数a＝
A．5　　　　　　　　 B．3
C．6 D．2
5.已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是
A． B．
C． D．1
6.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为
A．5 B．
C．4 D．
7.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为
A．12 B．24
C．30 D．32
8.函数f(x)＝cos x＋xsin x－x2－1零点的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.若的展开式中x3的系数是-160,则
A.a=-
B.所有项系数之和为1
C.二项式系数之和为64
D.常数项为-320
10.在数列{an}中，若an＋an＋1＝3n，则称{an}为“和等比数列”．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有(　　)
A．a2 020＝ B．a2 020＝
C．S2 021＝ D．S2 021＝
11.如图,P为椭圆C1:=1上的动点,过点P作C1的切线交圆C2:x2+y2=24于点M,N.过M,N作C2的切线交于点Q,则
A.S△OPQ的最大值为
B.S△OPQ的最大值为
C.Q的轨迹方程是=1
D.Q的轨迹方程是=1
12.已知C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，则直线PQ与平面AEF所成的角的取值可以为
A．0° B．15°
C．30° D．45°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛。已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为________
14.若tan＝－，则cos 2α的值为________
15.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a2 023的值为________
16.我国传统文化博大精深，源远流长，期中《益古演段》作为我国古代数学一部著作，主要记载已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等问题．其中有这样一个问题：如图，已知∠A＝60°，点B，C分别在∠A的两个边上移动，且保持B，C两点间的距离为2，则点B，C在移动过程中，线段BC的中点D到点A的最大距离为________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝
(1)求BC
(2)若BD为∠ABC的平分线，试求BD
18.数列{an}满足：a1＝1，点(n，an＋an＋1)在函数y＝kx＋1的图象上，其中k为常数，且k≠0．
(1)若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；
(2)当k＝3时，求数列{an}的前2n项的和S2n
19.如图①，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝4，BC＝1，∠ADC＝45°，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②．
(1)证明：平面NMC⊥平面NCD；
(2)求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值．
20.为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
单位：人
性别 核酸检测地点 合计
工作单位 社区
男 10 50 60
女 10 10 20
合计 20 60 80
(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？
(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．
21.已知椭圆C:+y2=1,点P为椭圆C上非顶点的动点,点A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点,过A1,A2分别作l1⊥PA1,l2⊥PA2,直线l1,l2相交于点G,连接OG(O为坐标原点),线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2.
(1)求的值;
(2)求△POQ面积的最大值.
22.已知函数 .
(1)若,求的单调区间
(2)记函数,若恒成立，
试求实数的取值范围.冀东名校2022-2023学年度第一学期高三年级期中调研考试
数学参考答案
一．选择题：
1－4 CAAB 5－8 ABDC
二．选择题：
9．ABC 10．BD 11．AC 12．ABC
三．填空题：
13．0.58 14．－ 15．8091 16．3
四．解答题：
17.(1)由正弦定理得＝
∴＝
∴BC＝5，
(2)由AC＝AD＝CD＝7，
可得∠ADC＝60°，
又∠ABC＝120°，
∴A，B，C，D四点共圆，∠DBC＝∠DAC＝60°，
由余弦定理得cos∠DBC＝
∴BD＝8
18.(1)由an＋an＋1＝kn＋1可得a1＋a2＝k＋1，a2＋a3＝2k＋1，a3＋a4＝3k＋1，
所以a2＝k，a3＝k＋1，a4＝2k．
又a1，a2，a4成等比数列，∴a＝a1a4，即k2＝2k，
又k≠0，故k＝2．
(2)k＝3时，an＋an＋1＝3n＋1，∴a1＋a2＝4，a3＋a4＝10，…，a2n－1＋a2n＝3(2n－1)＋1，
S2n＝4＋10＋…＋6n－2＝n＝3n2＋n．
19.(1)证明：如图，在梯形ABCD中，过点C作CH⊥DM于点H，连接CM，
由题意知，CH＝1，AM＝DM＝AD＝2．由∠ADC＝45°，可得DH＝＝1，
则HM＝DM－DH＝1，∴∠CMD＝∠CDM＝45°，
∴CM⊥CD，BC∥MH，BC＝MH．又BC＝CH，CH⊥MH，∴四边形BCHM为正方形，∴BM⊥AD．
在四棱锥N BCDM中，∵平面NBM⊥平面BCDM，平面NBM∩平面BCDM＝BM，MN⊥BM，
∴NM⊥平面BCDM．∵CD 平面BCDM，∴NM⊥CD．∵NM∩CM＝M，且NM，CM 平面NMC，
∴CD⊥平面NMC．又CD 平面NCD，∴平面NMC⊥平面NCD．
(2)在四棱锥N BCDM中，以M为原点，MB，MD，MN所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M xyz，
可得M(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，N(0,0,2)．
∵平面NBM⊥平面BCDM，平面NBM∩平面BCDM＝BM，BM⊥MD，
∴MD⊥平面NBM，∴＝(0,2,0)是平面NBM的一个法向量．
设平面NCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，∵＝(1,1，－2)，＝(0,2，－2)，
∴即取y＝1，则z＝1，x＝1，∴m＝(1,1,1)．
∴cos〈，m〉＝＝，∴平面NBM与平面NCD夹角的余弦值为．
20.(1)假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，
根据2×2列联表得，χ2＝＝≈8．889>6．635＝x0．01，
根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．
(2)由题意得，X～B，
且P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，
故E(X)＝np＝3×＝，D(X)＝np(1－p)＝3××＝．
21.(1)由题知,A1(-2,0),A2(2,0).
设P(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),(在设点的坐标时,注意题中的限制条件,并根据限制条件写出参数的范围)
则k1=,
∵,,l1⊥PA1,l2⊥PA2,∴,(x-2).
由
又点P在椭圆C上,∴+=1,∴G(-x0,-4y0),
∴k2=.
(2)根据(1)可知直线OP的方程为y=k1x直线OQ的方程为y=4k1x.
由得(4,
根据椭圆的对称性,不妨设x0>0,
则P.
由得(1+64)x2=4.
设G(xG,yG),Q(xQ,yQ),
由(1)知,x0,xG异号,∴x0,xQ异号,
∴Q.
∴点Q到直线OP的距离d=.(圆锥曲线中与面积有关的问题,常用到两点间距离公式与点到直线的距离公式求相关线段的长)
S△POQ=··
=6.
∵256≥32,∴S△POQ≤,当且仅当256时取“=”.∴△POQ面积的最大值为
22.
(1)由题意得函数的定义域为
令
则
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)
则
整理得3
则0
设
则
令
则
整理得
则
若使0
只需使0
又因为
所以
则实数的取值范围为

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