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专题4.5 函数的应用（二）
一、考情分析
二、考点梳理
【知识点1 二分法求方程的根的近似值】
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
【知识点2 方程的根与函数的零点】
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
(一)、 二分法求零点所在区间
例1．（1）、（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【变式训练1-2】、（2022·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
(二)、 函数的零点个数与方程的根个数
例2．（1）、（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测）函数在上的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）、（2021·咸丰春晖学校高一月考）定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式训练2-1】、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】、（2022·安徽·模拟预测）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(三)、 嵌套函数的零点问题
例3、（1）、（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或或 D．或
（2）、（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式训练3-1】、（2021·全国高三专题练习）已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2022·天津·一模）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(四) 函数的应用
例4．（1）、（2022·全国·高一单元测试）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
（2）、（2022·四川泸州·三模）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
【变式训练4-1】、（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公式为：（：工程预付款起扣点，：承包工程合同总额，：工程预付款数额，：主要材料及构件所占比重）．某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（ ）
A．12% B．15% C．18% D．21%
例5、（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.
【变式训练5-1】、（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·陕西·西安中学模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
2．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚 王亚平 叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：） 火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是_________.
6．（2023·全国·高三专题练习）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为；刹车距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速（约），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保留两位有效数字）．
7．（2022·全国·高一课时练习）若物体的初始温度为，环境温度为，则经过tmin后物体的温度满足（k为常数）.若经过hmin后物体的温度满足，则称h为半衰期，经测定.
(1)求k的值；
(2)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等茶水降至60℃时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在20℃的环境温度下，用85℃的水泡制该绿茶，大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感？（附：，）
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专题4.5 函数的应用（二）
一、考情分析
二、考点梳理
【知识点1 二分法求方程的根的近似值】
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。]
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
【知识点2 方程的根与函数的零点】
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
(一)、 二分法求零点所在区间
例1．（1）、（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.
【详解】令，显然单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：B
（2）、（2023·全国·高三专题练习）零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理依次判断各个选项即可.
【详解】由题意知：在上连续且单调递增；
对于A，，，内不存在零点，A错误；
对于B，，，内不存在零点，B错误；
对于C，，，则，内存在零点，C正确；
对于D，，，内不存在零点，D错误.
故选：C.
【变式训练1-1】、（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
【变式训练1-2】、（2022·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．
故选：B
(二)、 函数的零点个数与方程的根个数
例2．（1）、（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测）函数在上的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由函数的单调性与零点存在性定理判断
【详解】易得函数在上单调递增，
又，所以，
故函数在上有唯一的零点，
故选：B
（2）、（2021·咸丰春晖学校高一月考）定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】
由奇函数的性质周期函数的性质结合函数在上的解析式，确定函数的零点.
【详解】
∵当时，，
又函数为奇函数，∴
∴当时，，，
∵
∴函数是周期函数，且周期为4，，
∴
∴ 函数在的零点有4个，即，
∴函数在的零点有4个，又函数在的零点有2,3,4，
∴函数在区间上的零点个数为11个，
故选：B.
【变式训练2-1】、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
【变式训练2-2】、（2022·安徽·模拟预测）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.
【详解】解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
(三)、 嵌套函数的零点问题
例3、（1）、（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或或 D．或
【答案】D
【分析】依题意函数的零点即为方程的根，对分四种情况讨论，结合函数图形即可得解；
【详解】解：依题意函数的零点即为方程的根，
①当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），
而对应2个根，所以需要对应3个根，
所以，即，解得；
②当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），而对应2个根，
对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，
从而，，，所对应2、2、1个根，
即共5个根，所以满足题意；
④当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，（，，），
而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，
所以不满足题意；
综上可得实数的取值范围为或；
故选：D
（2）、（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0 2 3 4，
由于关于x的方程有7个不同实数解，
则关于u的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.
所以且.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2021·全国高三专题练习）已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
方程左边先进行因式分解得，作出函数的图象如图所示，可得，解不等式即可得到答案；
【详解】
,
或，
作出函数的图象如图所示，
当，，
，解得：，
故选：A.
【点睛】
本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别要有1个交点和3个交点.
【变式训练3-2】、（2022·天津·一模）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别画出、的图象，采用换元法令，考虑中的取值可使有6个解时对应的的取值范围
【详解】令，作出，图象如下：
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有四个零点，故A错误
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有两个交点
故当时，函数有三个零点，故C错误
当时，，
与的图象只有一个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有四个零点，故B错误
当时，，
与的图象有三个交点；与的图象有三个交点
故当时，函数有六个零点，故D正确
故选：D
(四) 函数的应用
例4．（1）、（2022·全国·高一单元测试）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
【答案】10
【分析】设平均每天所支付的总费用为y元，求出的表达式利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】设平均每天所支付的总费用为y元，
则
，
当且仅当，即时取等号，故该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．
故答案为：10.
（2）、（2022·四川泸州·三模）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
【答案】B
【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，
所以，
又水温从75℃降至45℃，所以，即，
所以，
所以，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.
故选：B.
【变式训练4-1】、（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
【答案】6.6
【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】设h后血液中的药物量为mg，
则有，
令得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公式为：（：工程预付款起扣点，：承包工程合同总额，：工程预付款数额，：主要材料及构件所占比重）．某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（ ）
A．12% B．15% C．18% D．21%
【答案】B
【分析】设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的，根据所给公式得到方程，解得即可；
【详解】解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的，
则由，得，解得，
故选：B．
例5、（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.
【答案】(1)13分钟
(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.
【分析】（1）由题意列方程求解
（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值
（1）
由题意可得，解得.
设经过分钟，这杯茶水降温至，则，
解得（分钟）.
故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.
（2）
设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，
当时，取得最大值3400万元；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.
【变式训练5-1】、（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
【答案】(1)，．(2)
【分析】（1）依题意函数过点和，根据所选模型利用待定系数法计算可得；
（2）将代入（1）中函数解析式，求出预测值，即可判断更合适的模型，可得，两边取对数，最后根据对数的运算性质求出的范围，即可得解.
（1）
解：依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）
解：若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·陕西·西安中学模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【分析】根据二分法基本原理满足判断即可.
【详解】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
2．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】利用判别式直接判断.
【详解】要使关于x的一元二次方程有实数根，
只需，解得：.
对照四个选项，只有A符合题意.
故选：A
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚 王亚平 叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：） 火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】将火箭的最大速度8100代入中，结合对数、指数运算即可求得答案.
【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100代入中，
得：，即，
所以，故，
故选:B
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．
【答案】1
【分析】解法一，将函数的零点转化为函数与图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；
解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.
【详解】解法一：令，可得方程，即，
故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故函数只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵，，
∴，
又的图象在上是不间断的，
∴在上必有零点，
又在上是单调递增的，
∴函数的零点有且只有一个，
故答案为：1
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】作出函数的图象得出在时有4个不等实根，因此换元后二次方程在上有两个不等的实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．
【详解】作出函数的图象，如图所示，在时，有4个不同的实根，
令，则方程化为，原方程有8个不同的实根，则方程在上有两个不等的实根，
记，
由，解得．
故答案为：．
6．（2023·全国·高三专题练习）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为；刹车距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速（约），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保留两位有效数字）．
【答案】
【分析】依题意求出反应距离，刹车距离，即可得到路程，再根据速度、路程、时间的关系计算可得；
【详解】解：依题意当小汽车最大限速（约）时，
反应距离，刹车距离，
所以停车距离为，
又路口宽度为，所以，
所以时间；
故答案为：
7．（2022·全国·高一课时练习）若物体的初始温度为，环境温度为，则经过tmin后物体的温度满足（k为常数）.若经过hmin后物体的温度满足，则称h为半衰期，经测定.
(1)求k的值；
(2)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等茶水降至60℃时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在20℃的环境温度下，用85℃的水泡制该绿茶，大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感？（附：，）
【答案】(1)
(2)8min
【分析】（1）根据半衰期建立方程组，可求解的值；
（2）明确题目中各个参数的含义，代入可求答案.
（1）
由题意，知，所以，解得.
（2）
设刚泡好的茶水大约需要放置amin才能达到最佳饮用口感，
由题意，可知，，，所以，解得，
所以刚泡好的茶水大约需要放置8min才能达到最佳饮用口感.
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