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不等式问题的类型与解法
不等式问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然会涉及到不等式问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来不等式问题主要包括：①简单线性规划；②基本不等式及运用；③比较实数大小；④求解（或证明）不等式；⑤函数与不等式等综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答不等式5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地实施解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、若实数x，y满足约束条件 yx，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B 2 x+y1， C 4 D 6
2x-y2，
2、若x，y满足约束条件 x+2y4，则z=2x-y的最大值是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A -2 B 4 y0， C 8 D 12
x+y2，
3、若实数x，y满足约束条件 2x-y0，则z=x-2y的最大值为（ ）（成都市2019级零诊）
A -4 B 0 x+y-40， C 2 D 4
y0，
4、若实数x，y满足约束条件 x-y0，则z=3x+y的最大值为（ ）
A -3 B 3 3x+2y-50， C -4 D 4
2x-y+10，
5、若实数x，y满足约束条件 2x-y-30，则z=x+2y的最小值为（ ）
A -1 B 4 x-y+10， C 5 D 14
x+y-30，
6、若x，y满足约束条件 x-y2，则z=3x+y的最小值为（ ）（2021全国高考乙卷）
A 18 B 10 y3， C 6 D 4
x+y4，x+2y1，
7、若实数x，y满足约束条件 2x+y-1，则z=2x-3y的最小值为 （2021成都市高
x-y0，三一诊）
8、若实数x，y满足约束条件 y0，则z=3x+5y的最大值为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 10 B 8 x-y+10， C 6 D 5
x+2y-20，
2x+y-20，
9、若x，y满足约束条件 x-y-10，则z=x+7y的最大值为 （2020全国高考新课标I）
y+10，
x+y-50，
10、若x，y满足约束条件2x-y-10，则z=2x+y的最大值为 （2020全国高考新课标II）
x-2y+10，
11、若实数x，y满足约束条件 x+y0，则z=3x+2y的最大值为 (2020全国高考新
2x-y0，课标III）
x1，
12、若实数x，y满足约束条件 x-10，则z=x-2y的最小值为（ ）（成都市2020高三零诊）
A 0 B 2 x+2y-20， C 4 D 6
y0，
13、已知实数x，y满足约束条件 x+y-40，则z=x+2y的最大值为 （成都市2020 x-2y+20，高三一诊）
y0，
14、已知EF为圆+ =1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组
x-y+10，则.的取值范围为（ ）(成都市2020高三二诊)
2x+y+30，A [，13] B [4，13] C [4，12] D [，12]
y1，
15、已知实数x，y满足x+y-5 0，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020高三三诊）
A 4 y-20，B 6 C 8 D 10
x-10，
『思考题1』
（1）【典例1】是简单线性规划问题，这类问题主要包括：①在线性约束条件下求目标函数最值的问题；②含有参数的简单线性规划问题；这类问题主要包括：①目标函数是线性函数；②目标函数是非线性函数两种类型；
（2）求解在线性约束条件下求目标函数最值的问题的基本方法是：①根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，作出约束条件的可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③将各顶点坐标代入目标函数求出目标函数值；④比较各顶点目标函数值得到目标函数的最值；
（3）求解目标函数是非线性函数最值问题时，一般要结合给定代数式的几何意义来完成；常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；②表示点（x，y）到最小Ax+By+C=0的距离；③表示点（x，y）与点（a，b）的距离；④表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率；⑤表示点（x，y）与点 （a，b）连线的斜率；
（4）含参数的简单线性规划问题主要包括：①条件不等式中含有参数；②目标函数中含有参数两种类型；
（5）求解含有参数简单线性规划问题的基本方法是：①将参数视为常数，根据线性规划问题求出最优解，代入目标函数确定最值构造含参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式）；②先分离含有参数的式子，再通过观察确定含参数的式子所满足的条件。
【典例2】解答下列问题：
1、已知ABC中，点D在边BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，当取得最小值时，BD= （2022全国高考甲卷）
2、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+AC的最小值为 （成都市2019级高三一诊）
『思考问题2』
（1）【典例2】是基本不等式及运用的问题，解答这类问题需要理解基本不等式，掌握运用基本不等式解答数学问题的基本方法；
（2）理解基本不等式时，应该注意两个基本不等式各自成立的条件，①不等式若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）成立的条件归结起来为“一正，二定，三相等”； ②不等式设a，bR，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）的条件是a，bR；
（3）运用基本不等式求最值的基本方法是：①拼凑法，通过拼凑使问题中的两项满足基本不等式的条件（一正，二定，三相等）再运用基本不等式得出结果；②常数代换法，即由已知式得到常数（一般是常数1）的式子，把所求最值式子中的该常数都换成相应的式子再运用基本不等式得出结果；
（4）解答不等式与其他知识综合问题的基本方法是：①弄清问题是不等式与哪些知识的综合；②运用相应知识和基本不等式求解问题；③得出结果；
（5）求参数值或取值范围的基本方法是：①注意问题的特点；②运用基本不等式确定相应式子成立的条件；③求出结果。
【典例3】解答下列问题：
1、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级零诊）
A b2、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，则（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
3、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 14、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a（x-b）的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
5、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c6、已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）（2021成都市高三零诊）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
7、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）（2021成都市高三一诊）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
8、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用不等式知识，比较实数大小的问题，解答这类问题时需要掌握比较实数大小的基本方法；
（2）比较实数大小的基本方法是：①求差法；②运求商法；
（3）求差法的基本方法是：①求出两个实数的差；②确定两个实数差与0的大小关系；③根据设a， bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b得出两个实数的大小关系；
（4）求商法的基本方法是：①求出两个实数的商；②确定两个实数上与1的大小关系；③根据设a， bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b得出两个实数的大小关系。
【典例4】解答下列问题：
已知a，b，c为正数，且++4=3。证明：
（1）a+b+2c≤3；
（2）若b=2c，则+≥3。（2022全国高考甲卷）
2、已知a，b，c为正数，且++=1。证明：
（1）abc<；
（2）++≤（2022全国高考乙卷）
3、已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a) g(x)，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
4、已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|。
（1）当a=1时，求不等式f(x) 6的解集；
（2）若f(x)>-a，求a的取值范围（2021全国高考乙卷）。
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}--- 。
6、已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|。
（1）画出函数f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)> f(x+1)的解集。
7、设函数f(x)=ln(1+|x|-，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）（2021全国高考新课标II）
A （，1） B （-，）（1，+） C （-，） D （-，-）（，+）
8、设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d。证明：
（1）若ab>cd，则+>+；
（2）+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件（2020全国高考新课标II）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求解不等式（或不等式的证明）的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义，掌握求解不等式（或不等式证明）的基本方法；
（2）求解不等式问题主要包括：①求解含绝对值的不等式；②求解一元一次不等式；③求解一元二次不等式；④求解分式不等式；⑤求解无理不等式；
（3）求解不等式的基本方法是：①分辨问题属于哪种类型；②运用求解该类型不等式的基本方法对不等式实施解答；③得出不等式的解集；
（4）证明不等式的基本方法是：①比较法；②分析法与综合法；③反证法（或换元法）；④放缩法；⑤利用函数的方法证明不等式。
（5）比较法证明不等式的理论依据是：①设a，b∈R，1》a＞ba-b＞0；2》a＜ba-b＜0；3》a=ba-b=0；②设a，b∈R，1》＞1a-b＞0；2》＜1a-b＜0；3》=1a-b=0。
比较法的基本方法是：①求差法；②求商法；
（6）分析法的基本思路是从所证明的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分必要条件条件，从而把证明不等式问题转化为判定这些充分必要条件是否成立的问题，如果能够肯定这些充分必要条件都成立，那么就可以判断原不等式成立；
（7）综合法的基本思路是利用已经证明过的不等式（或不等式的性质），由不等式（或不等式的性质）的条件出发，推导出所要证明的不等式；
（8）运用分析法证明不等式时应注意三个问题：①寻找使不等式成立的充分必要条件时，往往是先寻找不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否是充分条件；②在解决不等式的证明问题时，通常是分析法与综合法联合起来使用；③在具体处理不等式的证明问题时，一般是用分析法寻找证明的思路，用综合法叙述证明不等式的过程；
（9）反证法证明的基本方法是：①假设命题的距离不成立（或结论的反面成立）；②由假设出发，通过推证得出与题设（或某定理，公理，哲理）矛盾；③得到结论成立；
（10）换元法是通过引进辅助元，把分散的条件联系起(或者把隐含的条件显现出来，或者把条件与结论联系起来，或者转化为熟悉的问题)来证明不等式方法，运用换元法证明不等式时，一定要注意新元成立的条件和整体置换的数学思想。
（10）放缩法的基本方法是：①在证明不等式A＞B（或A【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
2、（理）已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
3、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）（理）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（文）若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，求a的取值范围（成都市2019级高三一诊）
4、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）（理）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（文）若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，证明：g(a)< 32
5、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
6、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+7、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
8、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
9、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数（2020成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（文）当a=2时，证明： f(x)-
(x) x+对任意的x[1,2]都成立。
10、（理））已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
11、（理）已知函数f(x)=sin xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)= 的单调性（2020全国高考新课标II）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
不等式问题的类型与解法
不等式问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然会涉及到不等式问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来不等式问题主要包括：①简单线性规划；②基本不等式及运用；③比较实数大小；④求解（或证明）不等式；⑤函数与不等式等综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答不等式5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地实施解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、若实数x，y满足约束条件 yx，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B 2 x+y1， C 4 D 6
【解析】 2x-y2，
【考点】①不等式表示平面区域定义与性质；②可行域定义与性质；③目标函数最优解定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据不等式表示平面区域和可行域的性质，求出=约束条件的可行域，运用目标函数最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法求出z=x-2y的最大值就可得出选项。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y C
由x=y=，得 x=，由x+y=1，得 x=1，由x=y， A
x+y=1， y=， 2x-y=2， y=0， 2x- y=2， 0 B x
得 x=2，A（，），B（1，0），C（2，2），当目标函数z=x-2y经过点A时，z=2
y=2， +=，当目标函数z=2x+y经过点B时，z=21+0=2，当目标函数z=2x+y经过点C时，z=22+2=6，6>2>，z=2x++y的最大值为6，D错误，选D。
2、若x，y满足约束条件 x+2y4，则z=2x-y的最大值是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A -2 B 4 y0， C 8 D 12
【解析】 x+y2，
【考点】①确定不等式表示平面区域的基本方法；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定不等式表示平面区域和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件，得到实数x，y满足的约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法求出目标函数z=3x+y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出实数x，y满足的约束条件的可
行域如图所示，联立x+y=2与x+2y=4解得：x=0， A
y=2，A（0，2），联立x+y=2与y=0解得：x=2，
y=0，B（2，0），联立x+2y=4与y=0解得：x=4， 0 B x C
y=0，C（4，0），当x=0，y=2时，z=2x-y=20-2=0-2=-2；当x=2，y=0时，z=2x-y=22
-0=4-0=4；当x=4，y=0时，z=2x-y=24-0=8-0=8，z=2x-y的最大值为8， C正确，选C。
3、若实数x，y满足约束条件 2x-y0，则z=x-2y的最大值为（ ）（成都市2019级零诊）
A -4 B 0 x+y-40， C 2 D 4
【解析】 y0，
【考点】①不等式表示平面区域定义与性质；②可行域定义与性质；③目标函数最优解定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据不等式表示平面区域和可行域的性质，求出约束条件的可行域，运用目标函数最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法求出z=x-2y的最大值就可得出选项。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由2x-y=0，得 x=，由2x-y=0，得 x=0，由x+y-4=0， A
x+y-4=0， y=， y=0， y=0， y=0， 0 B C x
得 x=4，A（，），B（0，0），C（4，0），当目标函数z=x-2y经过点A时，z=-2=-4，
y=0，当目标函数z=x-2y经过点B时，z=0-20=0，当目标函数z=x-2y经过点C时，z=4-20=4，z=x-2y的最大值为4，D错误，选D。
4、若实数x，y满足约束条件 x-y0，则z=3x+y的最大值为（ ）
A -3 B 3 3x+2y-50， C -4 D 4
【解析】 2x-y+10，
【考点】①简单线性规划定义与性质；②确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；③确定二元一次不等式组表示可行域的基本方法；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定二元一次不等式表示平面区域和确定二元一次不等式组表示可行域的基本方法求出约束条件的可行域，运用求目标函数最优解的基本方法就可求出z=3x+y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由
3x+2y-5=0，解得：x=，A（，），由x-y=0， A B
2x-y+1=0， y=， 3x+2y-5=0， 0 x
解得：x=1，B（1，1），由2x-y+1=0，解得：x=-1, C
y=1， x-y=0， y=-1,C（-1，-1），当目标函数z=3x+y经过点A时，z=3+1=， 当目标函数z=3x+y经过点B时，z=31+11=4，,当目标函数z=3x+y经过点C时，z=3 (-1)+1 (-1)=-4，-4＜＜4， z=3x+y的最大值为4，D正确，选D。
5、若实数x，y满足约束条件 2x-y-30，则z=x+2y的最小值为（ ）
A -1 B 4 x-y+10， C 5 D 14
【解析】 x+y-30，
【考点】①可行域定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=x+2y的最小值就可得出选项。 y A
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， B
联立2x-y-3=0，与x-y+1=0，得x=4，y=5， C
A（4，5），联立x+y-3=0，与x-y+1=0， 0 x
得x=1，y=2，B（1，2），联立x+y-3=0，与
2x-y-3=0，得x=2，y=1，C （2，1）， 当目标
函z=x+2y 的图像经过点A时，z=x+2y=4+25=14，当目标函z=x+2y 的图像经过点B时，z=x+2y=1+22=5，当目标函z=x+2y 的图像经过点C时，z=x+2y=2+21=4，4<5<14，z=x+2y 的最小值为4，B正确，选B。
6、若x，y满足约束条件 x-y2，则z=3x+y的最小值为（ ）（2021全国高考乙卷）
A 18 B 10 y3， C 6 D 4
【解析】 x+y4，
【考点】①确定不等式表示平面区域的基本方法；②可行域定义与性质；③确定可行域的基本方法；④最优解定义与性质；⑤求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】（1）根据确定不等式表示平面区域的基本方法和可行域的性质，运用确定可行域的基本方法，得到约束条件的可行域，利用最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法，求出z=3x+y的最小值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由
x+y=4，解得：x=3，x+y=4，解得：x=1，x-y=2，解得： B C
x-y=2， y=1， y=3， y=3， y=3， A
x=5，A（3，1），B（1，3），C（5，3），当目标函 0 x
y=3，数的图像过点A时，z=33+1=9+1=10；当目标函
数的图像过点B时，z=31+3=3+3=6；当目标函数的图像过点C时，z=35+3=15+3=18，6
<10<18，z=3x+y的最小值,6，C正确，选C。
x+2y1，
7、若实数x，y满足约束条件 2x+y-1，则z=2x-3y的最小值为 （2021成都市高
【解析】 x-y0，三一诊）
【考点】①简单线性规划的定义与选择；②确定二元一次不等式表示的平面区域的基本方法；③确定二元一次不等式组表示的可行域的基本方法；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定二元一次不等式表示的平面区域和确定二元一次不等式组表示的可行域的基本方法求出约束条件的可行域，运用求目标函数最优解的基本方法就可求出z=2x-3y的最小值。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由 y
x+2y=1，解得：x=-1，A（-1，1），由x+2y=1，解 A
2x+y=-1， y=1， x-y=0， B
得：x=,B（，），由2x+y=-1，解得：x=-, C 0 x
y=, x-y=0， y=-,C（-，-），当目标函数z=2x-3y经过点A时，z=2(-1)-31=-5, 当目标函数z=2x-3y经过点B时，z=2-3=-，当目标函数z=2x-3y经过点C时，z=2(-)-3(-)=,-5＜-＜, z=2x-3y的最小值为-5。
8、若实数x，y满足约束条件 y0，则z=3x+5y的最大值为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 10 B 8 x-y+10， C 6 D 5
【解析】 x+2y-20，
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=3x+5y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由x-y+1=0，得A（0，1），B（-1，0），C A
x+2y-2=0，（2，0）当x=0，y=1时，z C 0 B x
=3x+5y=30+51=5，当x=2，y=0时，z=3x+5y=32+50=6，，z=3x+5y 的最大值为6，C正确，选C。 2x+y-20，
9、若x，y满足约束条件 x-y-10，则z=x+7y的最大值为 （2020全国高考新课标I）
【解析】 y+10，
【考点】①可行域定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法，就可求出z=x+7y的最大值。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由2x+y-2=0，解得：x=1，2x+y-2=0，解得：
x-y-1=0， y=0， y+1=0，
x=， x-y-1=0，x=0， A（1，0），B（0， 0 A x
y=-1， y+1=0， y=-1，-1）， C（，-1）， B C
当目标函数z=x+7y的图像经过点A时，z=1+0=1，当目标函数z=x+7y的图像经过点B时，z=0-7=-7，当目标函数z=x+7y的图像经过点C时，z=-7=-，-7<-<1，z=x+7y的最大值为1。 x+y-50，
10、若x，y满足约束条件2x-y-10，则z=2x+y的最大值为 （2020全国高考新课标II）
【解析】 x-2y+10，
【考点】①可行域定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法，就可求出z=2x+y的最大值。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由x+y-5=0，解得：x=2，x+y-5=0，解得： A
2x-y-1=0， y=3，x-2y+1=0， B C
x=3， 2x-y-1=0， x=1， A（2，3），B（3， 0 x
y=2， x-2 y+1=0， y=1，2）， C（1，1），
当目标函数z=x+7y的图像经过点A时，z=4+3=7，当目标函数z=x+7y的图像经过点B时，z=6+2=8，当目标函数z=x+7y的图像经过点C时，z=2+1=3，3<7<8，z=2x+y的最大值为8。
11、若实数x，y满足约束条件 x+y0，则z=3x+2y的最大值为 (2020全国高考新
【解析】 2x-y0，课标III）
【考点】①确定不等式表示 x1，
平面区域的基本方法；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定不等式表示平面区域和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件，得到实数x，y满足的约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法就可求出z=3x+2y的最大值。 y
【详细解答】作出实数x，y满足的约束条件的 B
可行域如图所示，联立x+y=0与x=1解得：x=1， 0 1 x
y=-1，A（1，-1），联立2x-y=0与x=1解得： A
x=1，y=2，B（1，2），当x=1，y=-1时，z=3x+2y=31+2（-1）=3-2=1；当x=1，y=2时，z=3x+2y=31+22=3+4=7，z=3x+2y的最大值为7。
12、若实数x，y满足约束条件 x-10，则z=x-2y的最小值为（ ）（成都市2020高三零诊）
A 0 B 2 x+2y-20， C 4 D 6
【解析】 y0，
【考点】①不等式表示的平面区域的定义与求法；②不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；③最优解的定义与求法。
【解题思路】运用求不等式表示的平面区域，不等式组表示的平面区域（可行域）的求法，结合问题条件求出约束条件的可行域，利用最优解的求法求出问题的最优解就可得出选项。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x+2y-2=0，得 x=1， x+2y-2=0，得 x=2， x-1=0
x-1=0， y=， y=0， y=0， A x+2y-2=0
A（1，）， B（1，0），C（2，0），当目标 0 B C
函数经过点A时，z=1-2=1-1=0；当目标函数经过点B时，z=1-20=1-0=1；当目标函数经过点C时，z=2-20=2-0=2，z=x-2y的最小值为0，A正确，选A。
13、已知实数x，y满足约束条件 x+y-40，则z=x+2y的最大值为 （成都市2020 【解析】 x-2y+20，高三一诊）
【考点】①确定不等式表示的 y0，
平面区域的基本方法；②确定不等式组表示的平面区域的基本方法；③目标函数最优解的定义与性质；④求在线性约束条件下目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据平面区域的定义与性质，由线性约束条件确定可行域，运用求最优解的基本方法就可求出Z=x+2y的最大值。 y0， y
【详细解答】 实数x,y满足约束条件 x+y-4 0， A
x+y-4 =0， x-2y+20，
作出可行域如图所示，由x-2y+2=0，得A（2，2）， B 0 C
B（-2，0），C（4，0），当Z=x+2y过点A时，Z=2+22=6；当Z=x+2y过点B时，Z=-2+20=-2；当Z=x+2y过点C时，Z=4+20=4，6>4>-2，Z=x+2y的最大值为6。
14、已知EF为圆+ =1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组
x-y+10，则.的取值范围为（ ）(成都市2020高三二诊)
2x+y+30，A [，13] B [4，13] C [4，12] D [，12]
【解析】y1，
【考点】①圆定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积定义与性质；④不等式表示的平面区域的定义与求法；⑤不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；⑥最优解的定义与求法。
【解题思路】根据圆和向量数量积的性质，运用向量坐标运算的法则和基本方法得到关于x，y的函数，由求不等式表示的平面区域和不等式组表示的平面区域（可行域）的基本方法，利用求最优解的基本方法求出.的最小值和最大值，从而求出.的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设E（0，-1），F（2，-1），作出 y
实数x，y满足约束条件的可行域如图所示，联 C B
立 x-y+1=0与2x+y+3=0解得：x=-，y=-，
A（-，-），联立x-y+1=0与y=1解得： A E F
x=0，y=1，B（0，1），联立2x+y+3=0与y=1解得：
x=-2，y=1，C（-2，1），=（-x，-1-y），=(2-x，-1-y），.=-2x++2y+1，当x=-，y=-时，.=-2（-）++2（-）+1= ；当x=0，y=1时，.=0-20+1+21+1=4；当x=-2，y=1时，.=4-2（-2）+1+21+1=12，.的最大值为12，当x=-，y=时， .=-2（-）++2+1=
<4，.的最小值为，即.的取值范围是[，12]，D正确，选D。
15、已知实数x，y满足x+y-5 0，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020高三三诊）
A 4 y-20，B 6 C 8 D 10
【解析】 x-10，
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件得到已知不等式组可行域，运用最优解的性质和求最优解的基本方法求出z=2x+y的最大值就可得出选项。
【详细解答】作出不等式组的可行域如图所示， y A（1，4）
由x+y-5 0，得A（1，4），由x+y-5 0，得
x-10， y-20， B（3，2）
B（3，2），①当x=1，y=4时，z=2 1+4=2+4=6，
②当x=3，y=2时，z=2 3+2=6+2=8，z=2x+y的 0 x
最大值为8，C正确，选C。
『思考题1』
（1）【典例1】是简单线性规划问题，这类问题主要包括：①在线性约束条件下求目标函数最值的问题；②含有参数的简单线性规划问题；这类问题主要包括：①目标函数是线性函数；②目标函数是非线性函数两种类型；
（2）求解在线性约束条件下求目标函数最值的问题的基本方法是：①根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，作出约束条件的可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③将各顶点坐标代入目标函数求出目标函数值；④比较各顶点目标函数值得到目标函数的最值；
（3）求解目标函数是非线性函数最值问题时，一般要结合给定代数式的几何意义来完成；常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；②表示点（x，y）到最小Ax+By+C=0的距离；③表示点（x，y）与点（a，b）的距离；④表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率；⑤表示点（x，y）与点 （a，b）连线的斜率；
（4）含参数的简单线性规划问题主要包括：①条件不等式中含有参数；②目标函数中含有参数两种类型；
（5）求解含有参数简单线性规划问题的基本方法是：①将参数视为常数，根据线性规划问题求出最优解，代入目标函数确定最值构造含参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式）；②先分离含有参数的式子，再通过观察确定含参数的式子所满足的条件。
【典例2】解答下列问题：
1、已知ABC中，点D在边BC上，ADB=，AD=2，CD=2BD，当取得最小值时，BD= （2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①平面直角坐标系定义与性质；②建立平面直角坐标系的基本方法；③两点之间距离公式及运用；④基本不等式及运用。
【解答思路】如图，根据平面直角坐标系的性质和建立平面直角坐标系的基本方法，距离平面直角坐标系D—xy，设BD=x（x>0）,运用两点之间的距离公式得到关于x的函数，利用基本不等式求出当取得最小值时，x的值，就可求出当取得最小值时，BD的值。
【详细解答】如图，过点D作DEBC于点D，以D为原点， y
，分别为X轴，Y轴的正方向，建立平面直角坐标系 E A
D—xy，设BD=x（x>0）, ABC中，点D在边BC上，
ADB=，AD=2，CD=2BD，C（2x，0），B（-x，0）， B D x C
A（1，），|AB|= ，|AC|= ，
= = =4-=4- 4-2，当且仅当x+1=，即x=-1时，取得最小值为4-2， 当取得最小值时，BD=x=-1。
2、如图，已知三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且=m，=n，其中m，n（0，+），有下列命题：①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；②当ACBD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ为正方形；③当m=1时，截面的周长与n无关；④当ACBD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1，其中假命题的个数为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②三棱锥截面定义与性质； ③平行四边形定义与性质；④正方形定义与性质；⑤判断命题真假的基本方法；⑥基本不等式及运用。
【解题思路】根据三棱锥和三棱锥截面的性质，运用平行四边形，正方形的性质，基本不等式和判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，三棱锥A—BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，=n， MN//AC//PQ，MQ//BD//NP，四边形MNPQ是平行四边形， ①正确；对②， ACBD， 四边形MNPQ是矩形，=n，=，=，MN=AC，MQ=BD，=m， MN=AC= BD，=，对任意的m，都存在n=m，使得截面MNPQ为正方形，②正确；对③，当m=1时，=1，AC=BD，截面MNPQ是菱形，MN=AC=BD，MQ=BD，截面MNPQ的周长为2（MN+MQ）=2（+）BD=2BD与n无关，③正确；对④， ACBD，且AC=BD=2，截面MNPQ是矩形，MN=AC= ，MQ=BD= ，=MN.MQ
==1，当且仅当n=，即n=1时，截面MNPQ的面积的
最大值为1，④正确，四个命题中没有假命题，A正确，选A。
3、（理）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为 。
（文）在ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+AC的最小值为 （成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①角平分线定义与性质；②三角形面积公式及运用；③三角函数定义与性质；④求三角函数最值的基本方法；⑤基本不等式及运用。
【解题思路】（理）如图，根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB关于AC的表示式，从而得到AB+2AC关于AC的三角函数解析式，运用求三角函数最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。（文）如图，根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB关于AC的表示式，从而得到AB+2AC关于AC的三角函数解析式，运用求三角函数最值的基本方法和基本不等式就可求出AB+2AC的最小值。
【详细解答】（理）如图，在ABC中， BAC=，AD是BAC 的平分线，交边BC于点D，=AB.ACsin=AB.AC= A
+=AB.ADsin+AC.ADsin=AB+ B D C
AC， AB(AC-2)= AC，2AC= AB(AC-2)，AB=，AB+2AC
= + 2AC=， 设t= AC-2，则AC-1=t+1，AC=t+2， AB+2AC
===2t+6+6+26+4，当且仅当2t=，即t=AC-2
=，也就是AC=2+，AB=2+2时，AB+2AC取得最小值6+4。
（文）如图，在ABC中， BAC=， A
AD是BAC 的平分线，交边BC于点D，
=AB.ACsin=AB.AC=+=AB B D C
.ADsin+AC.ADsin=（AB+AC）， AB+AC= ，
AB+AC0，或AB+AC4（）， AB+AC >0，AB+,AC4（），
当且仅当AB=AC时， AB+AC取得最小值4（）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是基本不等式及运用的问题，解答这类问题需要理解基本不等式，掌握运用基本不等式解答数学问题的基本方法；
（2）理解基本不等式时，应该注意两个基本不等式各自成立的条件，①不等式若a＞0，b＞0，则≥（当且仅当a=b时取“=”号）成立的条件归结起来为“一正，二定，三相等”； ②不等式设a，bR，则+≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）的条件是a，bR；
（3）运用基本不等式求最值的基本方法是：①拼凑法，通过拼凑使问题中的两项满足基本不等式的条件（一正，二定，三相等）再运用基本不等式得出结果；②常数代换法，即由已知式得到常数（一般是常数1）的式子，把所求最值式子中的该常数都换成相应的式子再运用基本不等式得出结果；
（4）解答不等式与其他知识综合问题的基本方法是：①弄清问题是不等式与哪些知识的综合；②运用相应知识和基本不等式求解问题；③得出结果；
（5）求参数值或取值范围的基本方法是：①注意问题的特点；②运用基本不等式确定相应式子成立的条件；③求出结果。
【典例3】解答下列问题：
1、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级零诊）
A b【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1，2、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，则（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③同角三角函数基本关系及运用；④正切三角函数定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解答思路】（理）构造函数f(x)=1--cosx， x[0，]，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间[0，]的单调性，从而可以比较a，b的大小；由同角三角函数的基本关系得到关
于x的函数h(x)的解析式，根据正切三角函数的性质性质，得到函数h(x)在区间（0，）的单调性，从而可以比较b，c的大小，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）构造函数f(x)= （x+1）=， x（0，+），根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间（1，+）上单调递减，从而得到f(8)> f(9)> f(10)，利用比较实数大小的基本方法得出a，b与0的大小关系，就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数 f(x) =1--cosx， x[0，]，g(x)= （x）=-x+sinx，（x）=-1+cosx0在[0，]上恒成立，函数g(x)= （x）=-x+sinx 在[0，]上单调递减， 对任意的x[0，]，g(x)= （x） g(0) =-0+0=0，函数f(x) 在[0，]上单调递减， f ()=1-- cos=- cos=a-b< f(0)=1-0-1=0，ax恒成立， 函数h（x）= >1在（0，）恒成立，即c>b， 综上所述，c>b>a， A正确，选A。（文）设函数 f(x) = （x+1）=， x（0，+），（x）=<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减， f(8)> f(9)> f(10)，=10，n= ， b= -9= -9< -9=9-9=0, b< 0，a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0，综上所述， a>0>b ， A正确，选A。
3、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小关系就可得出选项。
【详细解答】实数a，b满足2>2>1， 2>b>a＞1，B正确，选B。
4、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a（x-b）的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②比较实数大小的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数极值定义与性质；⑥运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据对数的性质，运用比较实数大小和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到实数a，b，c的大小关系，就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的式子，从而求出a，b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a=2ln1.01=ln=ln1.0201，1.0201>1.02， a=2ln1.01> b=ln1.02，
设f(x)=2ln(1+x)-+1，（x）=-=>0在（0，2）上恒成立，函数f(x) 在（0，2）上单调递增， f(0)=2ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x（0，2）时，f(x)>0恒成立，a>c，设g(x)=ln(1+2x)- +1，（x）=-
=<0在[0，+）上恒成立，函数g(x)在[0，+）上单调递减， g(0)
=ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x[0，+）时，g(x)<0恒成立，c>b，综上所述， b作出函数f(x)的 大致图像如图（1）所示，由图
知0图（2）所示，由图知b， (图1) (图2)
D正确， 选D。
5、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a6、已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）（2021成都市高三零诊）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法；②对数的定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，ac= f(e)= =e>0，，c>a，可以排除B，A正确，选A。
7、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）（2021成都市高三一诊）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②指数的定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==2021＞，0＜b=ln=ln2＜，a＞b，可以排除D；c=＞1，c＞b，可以排除A；2021＜2020， a= =2021＜2020＜2＜1，可以排除B，C正确，选C。
8、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②函数单调性定义与性质；③对数定义与性质；④指数定义与性质；⑤偶函数定义与性质；⑥比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数图像和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于直线x=1对称，[1，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定ln2，0.03，的大小，就可得出且在求出a，b，c的大小关系。（文）根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称，[0，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()=<-2，<<2， b=f(0.1)< c=f()『思考问题3』
（1）【典例3】是运用不等式知识，比较实数大小的问题，解答这类问题时需要掌握比较实数大小的基本方法；
（2）比较实数大小的基本方法是：①求差法；②运求商法；
（3）求差法的基本方法是：①求出两个实数的差；②确定两个实数差与0的大小关系；③根据设a， bR，1》a-b＞0 a＞b；2》a-b＜0 a＜b；3》a-b=0 a=b得出两个实数的大小关系；
（4）求商法的基本方法是：①求出两个实数的商；②确定两个实数上与1的大小关系；③根据设a， bR，1》＞1 a＞b；2》＜1 a＜b；3》=1 a=b得出两个实数的大小关系。
【典例4】解答下列问题：
已知a，b，c为正数，且++4=3。证明：
（1）a+b+2c≤3；
（2）若b=2c，则+≥3。（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②柯西不等式及运用；③证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据不等式的性质，运用基本不等式就可证明a+b+2c≤3；（2）根据不等式的性质，运用基本不等式，结合问题条件就可证明结论。
【详细解答】（1）（++4）（1+1+1）≥，++4=3,，9≥
，a，b，c为正数，a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c，即a=b=1，c=时，等号成立；（2）由（1）知，b=2c，且a+b+2c≤3，0=+≥≥3。
2、已知a，b，c为正数，且++=1。证明：
（1）abc<；
（2）++≤（2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①不等式定义与性质；②柯西不等式及运用；③证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据不等式的性质，运用基本不等式就可证明abc<；（2）根据不等式的性质，运用基本不等式，结合问题条件就可证明结论。
【详细解答】（1）a，b，c为正数，1=++≥3≥3，当且仅当a=b=c=时，等号,成立，≤，abc<；（2）a，b，c为正数，b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，当且仅当a=b=c=时，等号分别成立，++≤
≤，≤++≤
≤，++≤。
3、已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a) g(x)，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①绝对值定义与性质；②分段函数定义与性质；③已知函数解析式，作函数图像的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据绝对值的性质，把函数f(x)，g(x)化为分段函数，运用分段函数的性质和已知函数解析式作函数图像的基本方法，就可画出y=f(x)和y=g(x)的图像；（2）根据（1）中y=f(x)和y=g(x)的图像，运用求解不等式的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1） f(x)=|x-2|=x-2，x2，g(x)=|2x+3|-|2x-1|=-4，x<- ，画出y=f(x)和
2-x，x<2， 4x+2，-x<，y=g(x)的
4，x，图像如图所示；
（2）函数f(x+a)的图像是函数f(x)的图像沿X轴向左（或）向右平移|a|个单位长度而得到，
由（1）中的图像可知，若函数f(x)的图像沿X y y=g(x)
轴向右平移，显然与题意不符，函数f(x)的图 3
像应沿X轴向左平移，从图像得到要满足： y= f(x+a) 2 y= f(x)
f(x+a) g(x)，必有f(+a) g()，+a 1
-24，a6-，若f(x+a) g(x)， -2 -1 0 1 2 3 x
则a的取值范围[，+）。
4、已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|。
（1）当a=1时，求不等式f(x) 6的解集；
（2）若f(x)>-a，求a的取值范围（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①绝对值定义与性质；②分段函数定义与性质；③求解不等式的基本方法；④求分段函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据绝对值的性质，把函数f(x)化为分段函数，运用分段函数的性质和求解不等式的基本方法，就可求出不等式f(x) 6的解集；（2）根据（1）中y=f(x)和y=g(x)的图像，运用求解不等式的基本方法，就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，①当x<-3时， f(x) 6，-2x-26，x-4；②当-3x<1时， f(x) 6，46，此时不等式无解；③当x1时， f(x) 6，2x+26，x2，综上所述，当a=1时，不等式f(x) 6的解集为（--4] [2，+）；（2） f(x)>-a，|x-a|+|x+3|>-a，|x-a|+|x+3||x+3-x+a||a+3|,
f(x)>-a，|a+3|>-a，a+3-，即若f(x)>-a，则a的取值范围是（-，+）。
5、设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1（2020全国高考新课标III）。
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}--- 。
【解析】
【考点】①完全平方式及运用；②数学反正法及运用；③运用反证法证明结论的基本方法；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据完全平方式，结合问题条件，得到=+++2ab+2bc+2ca，=0，从而得到ab+bc+ca=-（++），运用abc=1得到a，b，c均不为0，就可证明结论；（2）根据数学反证法，运用基本不等式和反证法证明结论的基本方法就可得出结论。
【详细解答】=+++2ab+2bc+2ca，a+b+c=0， ab+bc+ca=-（+
+）， abc=1， a，b，c均不为0，-（++）<0， ab+bc+ca<0；（2）设a， a+b+c=0， -a-b=c, c=-a-b >2
>2=，与假设矛盾， max{a，b，c}--- 。
6、已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|。
（1）画出函数f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)> f(x+1)的解集。
【解析】
【考点】①绝对值定义与性质；②分段函数定义与性质；③已知函数解析式，作函数图像的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据绝对值的性质，把函数f(x)化为分段函数，运用分段函数的性质和已知函数解析式作函数图像的基本方法，就可画出函数f(x)的图像；（2）根据函数f(x+1)的图像是函数f(x)的图像沿X轴向左平移一个单位而得到的图像，结合图像，运用求解不等式的基本方法，就可求出不等式f(x)> f(x+1)的解集。
【详细解答】（1）当x<-时， f(x)=|3x+1|-2|x-1|=-x-3，当-x<1时，f(x)=|3x+1|-2|x-1|=5x-1，当x1时，f(x)=|3x+1|-2|x-1|=x+3，作出函数f(x)的图像的图像如图所示；（2）函数f(x+1)
的图像是函数f(x)的图像沿X轴向左平移一个 y f(x)
单位而得到的图像，由在同一直角坐标系函数 f(x+1)
f(x)的图像和函数f(x+1)的图像可知，要使不
等式f(x)> f(x+1)成立，x的取值范围是（-， -1 0 1 x
-），不等式f(x)> f(x+1)的解集为（-，-）。
7、设函数f(x)=ln(1+|x|-，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）（2021全国高考新课标II）
A （，1） B （-，）（1，+） C （-，） D （-，-）（，+）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④判断函数单调性的基本方法；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，得到函数f(x)为偶函数；运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，得到函数f(x)在（0，+）上单调递增；利用求解不等式的基本方法，求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R关于原点对称，f(-x)=ln(1+|-x|- = ln(1+|x|-= f(x)，函数f(x)为偶函数，且函数f(x) 在（0，+）上单调递增， f(x)>f(2x-1)，|x|>|2x-1|，f(2x-1)成立的x的取值范围是（，1），A正确，选A。
8、设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d。证明：
（1）若ab>cd，则+>+；
（2）+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①完全平方式及运用；②充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（1）根据完全平方式，得到=a+b+2，=c+d+2，结合问题条件得到>，从而证明结论；（2）根据充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，分别从充分条件，必要条件进行证明，就可得出结论。
【详细解答】=a+b+2，=c+d+2，a+b=c+d，ab>cd，>，+>+；（2）①充分性，当+>
+时，=a+b+2>=c+d+2，a+b=c+d，>， ab>cd，=-4ab，=-4cd，a+b=c+d，-
=-4ab+4cd=4（cd-ab）<0，<，|a-b|<|c-d|；②必要性，当|a-b|<|c-d|时，<，-4ab<-4cd，-4ab<-4cd， ab>cd，由（1）可知，
若ab>cd，则+>+，综上所述，+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求解不等式（或不等式的证明）的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义，掌握求解不等式（或不等式证明）的基本方法；
（2）求解不等式问题主要包括：①求解含绝对值的不等式；②求解一元一次不等式；③求解一元二次不等式；④求解分式不等式；⑤求解无理不等式；
（3）求解不等式的基本方法是：①分辨问题属于哪种类型；②运用求解该类型不等式的基本方法对不等式实施解答；③得出不等式的解集；
（4）证明不等式的基本方法是：①比较法；②分析法与综合法；③反证法（或换元法）；④放缩法；⑤利用函数的方法证明不等式。
（5）比较法证明不等式的理论依据是：①设a，b∈R，1》a＞ba-b＞0；2》a＜ba-b＜0；3》a=ba-b=0；②设a，b∈R，1》＞1a-b＞0；2》＜1a-b＜0；3》=1a-b=0。
比较法的基本方法是：①求差法；②求商法；
（6）分析法的基本思路是从所证明的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分必要条件条件，从而把证明不等式问题转化为判定这些充分必要条件是否成立的问题，如果能够肯定这些充分必要条件都成立，那么就可以判断原不等式成立；
（7）综合法的基本思路是利用已经证明过的不等式（或不等式的性质），由不等式（或不等式的性质）的条件出发，推导出所要证明的不等式；
（8）运用分析法证明不等式时应注意三个问题：①寻找使不等式成立的充分必要条件时，往往是先寻找不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否是充分条件；②在解决不等式的证明问题时，通常是分析法与综合法联合起来使用；③在具体处理不等式的证明问题时，一般是用分析法寻找证明的思路，用综合法叙述证明不等式的过程；
（9）反证法证明的基本方法是：①假设命题的距离不成立（或结论的反面成立）；②由假设出发，通过推证得出与题设（或某定理，公理，哲理）矛盾；③得到结论成立；
（10）换元法是通过引进辅助元，把分散的条件联系起(或者把隐含的条件显现出来，或者把条件与结论联系起来，或者转化为熟悉的问题)来证明不等式方法，运用换元法证明不等式时，一定要注意新元成立的条件和整体置换的数学思想。
（10）放缩法的基本方法是：①在证明不等式A＞B（或A【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 (x) ，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可得出f(x)的单调性；（2）构造函数g(x)= f(x)+1,根据参数分类讨论已知和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数g(x)的最大值，由g(x)的最大值小于0得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取
值范围；（3）构造函数u（x）=x--2lnx(x>1)，根据函数证明不等式的基本方法，得到函数
u（x）>0在（1，+）上恒成立，从而得到x->2lnx在（1，+）上恒成立，设x=，容易得到->2ln=ln(1+)，从而得到> ln(1+)=ln ，运用求和公式就可证明结论。
【详细解答】（1）当a=1时，函数f(x)=x-， (x)= + x-= x，令 (x)=0解得x=0，当x（-，0）时， (x)<0，当x（0，+）时， (x)>0，函数f(x)
在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；（2）设函数g(x)=f(x)+1= x-+1（x>0），（x）=+ ax-，（0）=1+0-1=0，设函数h（x）=（x）=+ ax-，（x）=a+ a+ x-=a(ax+2)-，（0）=2a-1，①当
2a-1>0，即a>时， h（0）= =>0，存在>0，使得当
x（0，）时，有>0，（x）>0，函数g(x)在（0，）上单调递增，
g()> g(0)=0-1+1=0，与题意不符；②当2a-10，即a时，（x）=+ ax-
=----0，, 函数g(x)在（0，+）上单调递减， g(x)< g(0)=0-1+1=0，综上所述，当x>0时，f(x)<-1，则实数a的取值范围是
（-，]；（3）设函数u（x）=x--2lnx(x>1)，（x）=1+-=>0在（1，+）上恒成立，函数u（x）在（1，+）上单调递增， u（x）> u（1）=1-1-0=0，
设x= ，->2ln=ln(1+)，> ln(1+)=ln ，
>=ln(------)=ln(n+1)，
++------+>ln(n+1)（n）。
2、（理）已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）根据运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(2a)+f(2a)>4（+）。
【详细解答】（1）(x)=2a - = ，①当a>0时，令(x)=0解得：x=， x（0，）时，(x)<0，x（，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；②当a=0时，(x)=- <0（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减；③当a<0时，(x)=<0（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x)在（0，+）上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；
（2） f(x)= 2ax-lnx，，（0<<）满足f()=f()， 2a-ln= 2a-ln，
=2a， f(2a)+f(2a)>4（+）， ln(2a)+ln(2a)<0，
<，a>0， f(2a)+f(2a)>4（+）， <， <
，ln->0，2ln+->0，设=t，0<<，t(0，1)，f(2a)+f(2a)>4（+），2lnt+-t >0在(0，1)上恒成立，设g(x)=2lnx
+-x ， (x)= --1==-<0在(0，1)上恒成立， 函数g(x)
在（0，1）上单调递减，对任意的x（0，1），都有g(x)> g(1)= 2ln1+1-1=0，2lnt-t
+>0在(0，1)上恒成立， f(2a)+f(2a)>4（+）。
3、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）（理）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（文）若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，求a的取值范围（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤运用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运用参数的分类法则与方法和导函数判断函数的单调性的基本方法分别判断函数f(x)在区间[0，]上的单调性，利用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)在区间[0，]上的最值；（2）（理）根据不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax-
axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，
设函数g(x)= - ax，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数g(x)= - ax在区间（0，+）上的最大值就可得出实数a的取值范围。（文）根据不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立， sinx- 2ax- cosx+10在区间（，）
上恒成立，设函数g(x)= sinx- 2ax- cosx+1，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函
数g(x)= sinx- 2ax- cosx+1在区间（，）上的最大值就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a时，（x）=cosx-2a0在区间[0，]上恒成立， 函数f(x) 在区间[0，]上单调递减，= f(0)=0-0=0，= f()=0-2a=-2a；（2）（理）关于x的不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax- axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，设g(x) = - ax，（x）=-a=-a，设h(x)= ，t=2cosx+1， t[-1，3]，当t=0时，h(t)= = h(0)=0；当t 0时，h(t)= =
= ， h(t) [-1，0）（0，]， h(x) [-1，]，（x）>0，
①当a时，（x）=-a 0在区间（0，+）上恒成立， 函数g(x) 在（0，+）上单调递减， 0，（）=0-a=-a<0，（0，），使（）=0，且x（0，）时，（x）>0，x（，）时，（x）<0，函数g(x)在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，=g（）> g（0）=0-0=0，与题意不符，综上所述，若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，则实数a的取值范围是[，+）。（文）f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立， 2a在区间（，）上恒成立，设g(x) = ，x（，）, （x）=
=，设h(x)=xcosx+xsinx-sinx+cosx-1，(x)= -xsinx+xcosx
=x(cosx-sinx)<0在区间（，）上恒成立，函数h(x)在（，）上单调递减， h()
=cos+sin-sin+cos-1=0+-1+0-1=-2<0，（x）
=<0在（，）上恒成立，函数g(x) 在（，）上单调递减，当x（，）时，有g(x) < g()==，a，若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，则实数a的取值范围是[，+）。
4、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）（理）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（文）若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，证明：g(a)< 32
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数最值定义与性质；⑤运用函数导函数求函数最值的基本求法；⑥运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运用参数分类讨论的原则和基本方法，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）（理）根据g(x)< f(x)， g(x)- f(x)<0，（3a+1）-x-2sinx+2>0,设函数h(x)= （3a+1）-x-2sinx+2,从而问题转化为证明：当a>0时，函数h(x)>0在（0，+ ）上恒成立，当a>0时，函数h(x)在（0，+ ）上的最小值大于零，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出当a>0时，函数h(x)在（0，+ ）上的最小值并证明其大于零就可证明当a>0，x>0时，g(x)< f(x)。（文）根据<2a得到0【详细解答】（1）（x）=6+6ax-12=6（x+2a）（x-a），①当a>0时，x（-，
-2a）（a，+）时，（x）>0，x（-2a，a）时，（x）<0，函数f(x)在（-，-2a），（a，+）上单调递增，在（-2a，a）上单调递减；②当a=0时，（x）==60在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；③当a<0时，x（-，a）（-2a，+）时，（x）>0，x（a，-2a）时，（x）<0，函数f(x)在（-，a），（-2a，+）上单调递增，在（a，-2a）上单调递减，综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，-2a），（a，+），单调递减区间为（-2a，a）；当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为（-， +）；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，a），（-2a，+），单调递减区间为（a，-2a）；（2）（理） g(x)< f(x)， g(x)- f(x)<0，3a+-x-2sinx+2>0, a>0，3a+-x-2sinx+2>0在（0，+ ）上恒成立，-x-2sinx+20在（0，+ ）上恒成立，①当x1时，-x=x（x-1）0，-2sinx+2=-2（sinx-1）0，-x-2sinx+20成立；②当00在（0，1）上恒成立，函数u（x）在（0，1）上单调递增，当x（0，1）时，u（x）< u（1）=2-2cos1-1=1-2cos1<1-2cos<0，（x）<0在（0，1）上恒成立，函数h(x) 在（0，1）上单调递减， 当x（0，1）时，h(x) > h(1)=1-1-2sin1+2=2 -2sin1>2-2sin>0， 综上所述，当a>0，x>0时，不等式3a+-x-2sinx+2>0恒成立，即当a>0，x>0时，g(x)< f(x)。（文）<2a， 00， g(a)= f(2a)= 4<4<32；②当1a<2时，由（1）知，函数f(x)在（， 2a）上单调递增， g(a)= f(2a) =16 +12 -24=4<48<32， 综上所述，若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，则g(a)< 32。
5、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数极值的定义与性质；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑥用函数导函数证明不等式的基本方法；⑦求曲线过某点的切线方程的基本方法；⑧求直线与曲线公共点的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 ，运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）根据函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），得到函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，从而得到g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，构造函数G（x）= x+ f(x)>-x f(x)，运用函数导函数证明不等式的基本方法就可证明：g(x)<1。（文）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 (x)，运用参数的分类法则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数的单调性；（2）根据求曲线过某点的切线方程的基本方法求出先求出曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程，运用函数导函数求直线与曲线的公共点的基本方法就可求出切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标。
【详细解答】（理）（1）= ln(a-x)- ，x=0是函数y=x f(x)的极值点，
=ln(a-0)-0=lna=0，即a=1；（2）由函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），①当01， ln(1-x)>0， x f(x)<0，函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，设函数G（x）= x+ ln(1-x)- x ln(1-x)，x（-，0）（0，1），（x）=1-- ln(1-x)+ =-ln(1-x)， x（-，0）时，（x）<0，x（0，1）时，（x）>0，函数G（x）在（-，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当x（-，1）（0，1）时，> G（0）=0+0-0=0， g(x)= <1。（文）（1） (x)=3-2x+a，
①当=4-12a0，即a时， (x)0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当=4-12a>0，即a<时， x（-，）（，+）时， (x)
>0，x（，）时， (x)<0，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；综上所述，
当a时，函数f(x)在R上单调递增；当a<时，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；（2） f(0)=0-0+0+1=1
0，原点不在曲线y= f(x)上，设曲线y= f(x)切线的切点为（，f()）， ()=3
-2+a，曲线y= f(x)在点（，f()）处的切线方程为y-(-+a+1)=( 3-2+a)
x-( 3-2+a) ，即y=( 3-2+a)x-2++1，切线过原点，0=-2++1，
=1，曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程为y=(1+a)x，f(x)= - +ax+1=(1+a)x得：
- -x+1=0，x=-1或x=1， f(-1)=-1-1-a+1=-1-a，f(1)=1-1+a+1=1+a，曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标为（-1，-1-a）或（1，1+a）。
6、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），
运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)的单调性；（2）根据blna-a
lnb=a-b，-ln=-ln，构造函数g(x)=f(x)-f(2-x)，x（0，1），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，1）上单调递增，从而得到g(x)< g(1)，证明：+>2；利用（1）的结论证明：+【详细解答】（1）（x）=1- lnx-1=- lnx，令（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x) 在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2） blna-alnb=a-b，-ln=-ln，设=，=，由a，b为两个不相等的正数知，不妨设<，0<<1<+=-lnx(2-x)>0在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(x)< g(1)，
= f(1)-f(1)=0， g() =f()-f(2-)<0， f(2-)> f()=f()，函数f(x)在（1，+）上单调递减，2-<，+>2；①当e-1时，0<<1，+<1+e-1=e，即+x(e-x) （0，e-1）时，x(e-x)单调递减，函数G(x)在（e-1，e）上先增后减， G(x)<
max[G(e-1)，G(e)]， G(e-1)=（e-1）[1-ln(e-1)]-1<0，ln<-1显然成立，
G(x)<0在（e-1，e）上恒成立， G()<0， f()-f(e-)<0， f()函数f(x) 在（0，1）上单调递增，< e-，即+7、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数零点的定义与性质；③运用函数导函数证明不等式的基本方法；④处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法；⑤处理函数在某区间上零点问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数零点的性质就可得出函数(x)零点的个数；（2）根据运用函数导函数证明不等式和处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法，结合问题条件得到关于自变量x的新函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出新函数的最值就可得出实数a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和处理函数在某区间上零点问题的基本方法，结合问题条件就可得出函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数。
【详细解答】（理）（1）(x)=+x+a=(x+1）+a，函数(x)零点的个数方程(x+1）
=-a的根的个数，设h (x)= (x+1），（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数h (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，= h (-2)=- ， h (-1)=0，
x（-，-1）时，h (x)<0，x（-1，+）时，h (x)>0，当x -时，h (x) 0，x +时，h (x) +，①当-a0或-a=- ，即a0或a=时，函数h (x)的图像与直线y=-a只有一个公共点；②当- <-a<0，即0时，函数(x)没有零点；（2）当x（1，+）时，f(x) g(x)恒成立，当x（1，
a<+）时， x+x alnx+alnx恒成立，当x（1，+）时，x+x
（alnx）+alnx恒成立，设u(x)= x+x，当x（1，+）时，f(x) g(x)恒成立，当x（1，+）时，u(x) u(alnx)恒成立，（x）=+x+1=(x+1）+1，设G（x）=(x+1）+1，（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数,G (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，（x）（-2）=1->0，函数u(x)在R上单调递增， u(x) u(alnx)， x alnx，设M（x）= x - alnx， （x）=1- = ，①当a 1时，（x）>0在（1，+）上恒成立，函数M（x）在（1，+）上单调递增， M（x）=1-0=1>0， x alnx在（1，+）上恒成立；②当a>1时，令（x）=0解得x=a， x（1，a）时， (x)<0，当x（a，+）时， (x)>0，函数M(x)在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，= M（a）=a-alna0，解得10在（0，+）上恒成立， 函数h (x)在（0，+）上单调递增， h (1)= ln1+1-1=0， x（0，1）时，(x)= h (x)<0，x（1，+）时，(x)= h (x)>0，函数f(x)= （x-1）lnx x在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）当x[，]时，函数f(x)
与g(x)图像的公共点个数，当x[，]时，函数F（x）= f(x)- g(x)= （x-1）lnx+ a-
（a-1）x-1=（x-1）(lnx+ax+1)零点的个数，显然x=1是方程（x-1）(lnx+ax+1)=0在区间[
，]上的一个零点，设函数G（x）= lnx+ax+1，令G（x）=0得：-a= ，，函数G（x）在[，]上零点的个数，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上交点的个数，（x）==，x[，1）时，（x>0，x（1，]时，（x）<0，函数,u (x)在[，1）上单调递增，在（1，]上单调递减，= u(1) =1， u() =（-2+1）=-，u() ==，①当-a=1即a=-1时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上只有1个公共点；②当-a>1或-a<-，即a<-1或a>时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上没有公共点；③当-a<1即-1时，函数f(x) 与g(x)图像在[，]上只有1个公共点，当-18、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运
用参数的分类法则与方法和导函数判断函数的单调性的基本方法分别判断函数的单调性；
（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，运用函数导函数处理不等式问题的基本方法分别对x<1，x=1和x>1三种情况求出实数a的取值范围就可得出实数a的取值范围。（文）根据当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式（2x-1）-ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式【详细解答】（1）（x）=+（x-2）-ax+a=（x-1）-a（x-1）=（x-1）（-a），
①当a0时，-a>0在R上恒成立，x（-，1）时，（x）<0，x（1，+）时，
（x）>0，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当00，x（lna，1）时，（x）<0，函数f(x) 在（lna，1）上单调递减，在（-，lna），（1，+）上单调递增；⑧当a=e时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④当a>e时，x（-，1）（lna，+）时，（x）>0，x（1,lna）时，（x）<0，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；综上所述，当a0时，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当0e时，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，①当x（-，1）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式0，x（0，1）时，（x）<0，函数g(x) 在（-，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
=g（0）=1，a>1；②当x=1时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，e>0在R上
恒成立，a=R；③当x（1，+）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式>a在（1，+）上恒成立，设G（x）=，（x）=，令（x）=0解得：x=0或x=，0（1，+），x（1，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0