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几何体外接球或内切球问题的类型与解法
立体几何外接球（或内切球）问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是立体几何外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、高档难度的问题。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来立体几何外接球（或内切球）问题主要包括：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；③已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答立体几何外接球（或内切球）的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面
D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、已知求O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在求O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）（2022全国高考乙卷）
A B C D
3、已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36，且3l3
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A [18，] B [，] C [，] D [18，27]
（理）在四棱锥P—ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=6，AB=1,AD=,若E，F分别为AB，PD的中点，经过C，E，F三点的平面与侧棱PA相交于点G，若四棱锥G—ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A B C D 2
（文）在三棱锥P—ABC中， PA底面ABC，PA=AC=2，ABC=,若三棱锥P—ABC的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 1 B C D 2
5、（理）在三棱台ABC—的六个顶点都在球O的球面上，A=B=C=，ABC和分别是边长为和2的正三角形，则球O的体积为（ ）
A B C 36 D
（文）已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在球O的球面上，SA=SB=SC=，ABC是边长为的正三角形，则球O的半径长为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A B C 2 D 3
6、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，AC=BC=1，则三棱锥O—ABC的体积为（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
7、在三棱锥P—ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB=1，AC=，三棱锥P—ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为 ；若点M，N分别是ABC与PAC的重心，直线MN与球O的表面相交于D，E两点，则线段DE的长度为 （本小题第一空2分，第二空3分）（2021成都市高三一诊）
8、在三棱锥P—ABC中，已知PA=AB=AC=2，PAB=，BAC=，D是线段BC上的点，BD=2DC，ADPB，若三棱锥P—ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 1 B C D
9、（理）如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上滑动，且B=C=x，现将 AB， CA分别沿AB，CA折起使点， 重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，现有以下结论：①AP 平面PBC；②当B，C分别为，的中点时，三棱锥P—ABC的外接球的表面积为6；③x的取值范围为（0，4-2）；④三棱锥P—ABC体积的最大值为。则正确结论的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）如图，在边长为2的正方形A中，边，的中点分别为B，C，现将 AB， BC， CA分别沿AB，BC，CA折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，则三棱锥P—ABC的外接球体积为 （2020成都市高三一诊）
（理科图） （文科图）
10、在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围上（，）；③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为。
（理）其中正确结论的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）其中所有正确结论的编号是（）（2020成都市高三三诊）
A ①② B ②③ C ①②④ D ①③④
11、已知三棱锥P—ABC的三个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=，则球O的体积为（ ）（2019全国高考
新课标I（理））
A 8 B 4 C 2 D
12、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧 1
视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 1 2
球面上，则该球的体积为（ ）（2018成都市高三二诊） （正视图） （侧视图）
A B 8 C D 24
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=求出外接球的体积。
【典例2】解答下列问题：
1、已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 100 B 128 C 144 D 192
2、在三棱锥P—ABC中，已知PA平面ABC，PA=AB=BC=2，AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 4 B 10 C 12 D 48
3、若矩形ABCD的对角线交点为，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且O
=，则球O的表面积的最小值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C 32 D 48
4、（理）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则直三棱柱的侧面积为 。
（文）已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC-的所有顶点都在球O的表面上，且AB=AC=1,若球O的表面积为3，则这个直三棱柱的体积是 （2020成都市高三二诊）
5、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，圆为ABC的外接圆，若圆的面积为4，AB=BC=AC=O，则球O的表面积为（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A 64 B 48 C 36 D 32
6、已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）（2020全国高考新课标II卷）
A B C 1 D
7、在三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，BAC=，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）(2018成都市高三一诊)
A 10 B 18 C 20 D 9
8、（理）三棱柱ABC—中，AB=BC=AC，侧棱A底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为 ；
（文）三棱柱ABC—中，棱AB，AC，A两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为（ ）（2019成都市高三三诊）
Ａ　 　　　Ｂ　　 　　　Ｃ　　 2　　　Ｄ　　　　 4
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=4求出外接球的表面积。
【典例3】解答下列问题：
1、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 （2020全国高考新课标III） P
2、如图，P—ABC是棱长为a的正四面体，
O E求该正四面体内切球O的表面积。 A C
〖思考问题3〗 B
（1）【典例2】是已知几何体的内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题，解答这类问题的关键是求出内切球的半径；
（2）解答已知几何体内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题的基本方法是：①设几何体内切球的球心为O，半径为R；②以几何体的各个面为底面，球心O为顶点，把原几何体分割成几个以内切球半径为高的棱锥；③根据各个棱锥体积之和等于原几何体的体积得到关于内切球半径R的方程；④求解方程求出内切球的半径R；⑤由公式：=（或=4）求出内切球的体积（或表面积）。
几何体外接球或内切球问题的类型与解法
立体几何外接球（或内切球）问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是立体几何外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、高档难度的问题。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来立体几何外接球（或内切球）问题主要包括：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；③已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答立体几何外接球（或内切球）的问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面
D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①球定义与性质；②正方体定义与性质；③正投影等腰与性质；④直线平行平面判定定理及运用；⑤直线垂直平面判定定理及运用；⑥平面垂直平面判定定理及运用；④球的体积公式及运用。
【解题思路】根据正方体和正投影的性质，确定三棱锥—MN在平面DC上的正投影图形，从而判断结论①的正确与错误；根据直线平行平面的判定定理，结合问题条件判定直线MN是否与平面D平行，从而判断结论②的正确与错误；取BC的中点E，连接AE，
E，BN，根据直线垂直平面和平面垂直平面的判定定理可以证明AE平面MNB，从而证明平面AEMNB，可以判断结论③的正确与错误；根据球的性质，运用球的体积公式求出三棱锥M—NFB外接球的体积，从而判断结论④的正确与错误，就可得出选项。
【详细解答】如图，取C的中点G，连接NG，N，G， 三棱锥—MN在平面DC上的正投影为三角形GN，N===G，三角形GN是等腰三角形，结论①正确；如图，连接NG，MG，显然NG//平面D，但不能证明MG//平面D，从而不能证明平面MNG//平面D，也不能证明MN//平面D，结论②错误；如图，取BC的中点E，连接AE，BN相交于点H，在RtABE与RtBCN中，AE===BN，AB=BC=2， RtABERtBCN，EAB=NBC，EAB+ABH =，AEBN，BM平面ABCD，AE平面ABCD， AEBM，BN，BM平面BMN，BN BM =B，AE平面BMN，AE平面AE，平面AE平面BMN，③结论正确；如图取BN的中点，过点作K//BM,，则三棱锥M—NFB外接球的球心O在K上，连接OB，在RtBO中，B=BN=，O=BM=，三棱锥M—NFB外接球的半径r=OB=，三棱锥M—NFB外接球的体积==，结论④正确。其中正确结论的个数是3，D正确，选D。
2、已知求O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在求O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）（2022全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①球定义与性质；②四棱锥定义与性质；③四棱锥体积公式及运用。
【解答思路】根据球和四棱锥的性质，结合问题条件，得到当且仅当四棱锥的底面为正方形时，四棱锥的体积才能取得最大值，从而求出四棱锥高关于底面边长的表示式，运用四棱锥体积公式得到关于底面边长的函数，利用求函数最值的基本方法求出四棱锥的高，就可得出选项。 O
【详细解答】由题意知，当且仅当四棱锥的底面为正方形时，
四棱锥的体积才能取得最大值，如图，设四棱锥底面正方形
的边长为x，底面正方形的外接圆圆心为，半径为r，连 D C
接O，A，在RtOA中，r=AC=x，OA=1， A B
h= O= ，==
，当且仅当=1-，即=时，取得最大值，此时h= O= = =，C正确，选C。
3、已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36，且3l3
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A [18，] B [，] C [，] D [18，27]
【解析】
【考点】①球定义与性质；②正四棱锥定义与性质；③四棱锥体积公式及运用。
【解答思路】设正四棱锥侧棱与高的夹角为，根据球和正四棱锥的性质，结合问题条件，得到正四棱锥高，底面边长关于的表示式，由l的取值范围求出的取值范围，运用四棱锥体积公式得到正四棱锥关于的函数，利用求函数值域的基本方法求出正四棱锥体积的取值范围，就可得出选项。 S
【详细解答】如图，设侧棱与高的夹角为，正四棱锥
外接球的球心为O，半径为R，底面正方形的外接圆圆 O
心为，半径为r，连接O，A，OA， = D C
=36，R=3，在SOA中，OS=OA=3，SA=l， A B
cos==，l=6cos，A=AB=lsin=6sincos，S=lcos=6 cos ，=AB=72 sincos，=. S=24 sincos.6 cos =144 sin（1- sin），令x=sin，3l3， cos=，
x=sin，=f(x)=144（-2+），x [，]，（x）=144
（6-8+2x）=288x（3-4+1）=288x（3-1）（-1），由（x）=0解得：x=-或x=-1，或x=，或x=1， x [，]， x=，当x [，）时，（x）>0，当x（，]时，（x）<0，函数f(x)在[，）上单调递增，在（，]单调递减，= f()= 144(-+)=，f()=144（-+）=，f()=144（-+）=，>，=，函数f(x)的值域为[，]，该正四棱锥体积的取值范围是[，]，C正确，选C。
（理）在四棱锥P—ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=6，AB=1,AD=,若E，F分别为AB，PD的中点，经过C，E，F三点的平面与侧棱PA相交于点G，若四棱锥G—ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A B C D 2
（文）在三棱锥P—ABC中， PA底面ABC，PA=AC=2，ABC=,若三棱锥P—ABC的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 1 B C D 2
【解析】
【考点】①四棱锥定义与性质；②几何体外接球定义与性质；③求几何体外接球半径的基本方法。
【解题思路】（理）设四棱锥外接球的半径为r，根据四棱锥和几何体外接球的性质，结合问题条件，将圆柱的高表示成关于r的式子，得到圆柱侧面积关于r的函数，运用球函数最值的基本方法求出圆柱侧面积的最大值就可得出选项。（文）设三棱锥外接球的半径为r，如图，取AC的中点D，过点D作OD//PA，连接OA，根据三棱锥和几何体外接球性质，结合问题条件，得到点D是底面ABC外接圆的圆心，从而得到点O是三棱锥P—ABC外接球的球心，运用直角三角形性质求出OD的值，就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，设圆柱底面圆的半径为r，连接AC， P
BD相交于点H，过点H作HO//PA,连接OA， 底面AB
CD是矩形，，AB=1,AD=, AC==2, AH F
=1, E，F分别为AB，PD的中点，经过C，E，F O
三点的平面与侧棱PA相交于点G，GA=PA=2，在 A D
RtOAH中，AH=1，OH=AG=2=1，r=OA B H C
==，B正确，选B。
（文）如图，取AC的中点D，过点D作OD//PA， P
连接OA，设三棱锥P—ABC外接球的半径为r， ABC
=, PA底面ABC，PA=AC=2，在RtOAH中， AD O
=1, OD=PA=1，OA==，三棱锥P—ABC A D
外接球的半径r=，B正确，选B。 B C
5、（理）在三棱台ABC—的六个顶点都在球O的球面上，A=B=C=，ABC和分别是边长为和2的正三角形，则球O的体积为（ ）
A B C 36 D
（文）已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在球O的球面上，SA=SB=SC=，ABC是边长为的正三角形，则球O的半径长为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A B C 2 D 3
【解析】
【考点】①正三棱台定义与性质；②正三角形定义与性质；③直角三角形定义与性质；④几何体外接球球定义与性质；⑤求几何体外接球半径的基本方法；⑥球的体积公式及运用。
【解题思路】（理）根据正三陵台，正三角形和之间三角形的性质，运用求几何体外接球半径的基本方法，结合问题条件求出球O的半径，利用球的体积公式求出球O的体积就可得出选项。（文）根据正三陵锥，正三角形和直角三角形的性质，运用求几何体外接球半径的基本方法，结合问题条件求出球O的半径就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，设ABC，外接圆的 A E D C
圆心分别为E，，取BC，，E的中点分别 O
为D，，O，连接AD，，O，D，
EMBED Equation.DSMT4 ABC和分别是边长为和2的正
三角形，AD==，=2=3，==2， A=B
=C=， D= = ， E==3， O= E
=3=1，R=O ==， ==，B正确，选B。
（文）如图，设ABC外接圆的圆心为， S
三棱锥S—ABC外接球的球心为O，半径为R，取
BC的中点为D，连接AD，SD，S，AO， O
ABC是边长为的正三角形，AD= A D C
=，A=AD==1，D=AD= B
6、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，AC=BC=1，则三棱锥O—ABC的体积为（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①球的定义与性质；②三棱锥的定义与性质；③三棱锥体积公式及运用。
【解答思路】根据球和三棱锥的性质，结合问题条件求出三棱锥O—ABC的高，运用三棱锥体积公式求出三棱锥O—ABC的体积就可得出选项。 E
【详细解答】如图，取AB的中点D，过点D作 O
DE平面ABC，球心O在DE上，连接OA，在 C
RtODA中，DA=AB==，OA A D B
=1，OD==，=11=，==，A正确，选A。
7、在三棱锥P—ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB=1，AC=，三棱锥P—ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为 ；若点M，N分别是ABC与PAC的重心，直线MN与球O的表面相交于D，E两点，则线段DE的长度为 （本小题第一空2分，第二空3分）（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①三棱锥的定义与性质；②球的定义与性质；③三角形重心的定义与性质；④求球面上两点之间距离的基本方法。
【解题思路】如图，设AC的中点为 ，根据三棱锥和球的性质，结合问题条件，在
RtOA中，运用勾股定理求出OA的值就可得到球O的半径R的值；运用三角形重心的性质确定点M，N，利用求球面上两点之间距离的基本方法就可求出线段DE的长度。
【详细解答】如图，设AC的中点为 ，过作O//PA， P O
连接OA， PA平面ABC，ABBC，PA=AB=1， N C
AC=，在RtOA中，A= ，O=， A H M B
OA==，球O的半径为；连接B，P， OM，ON，过点N作NH//O交A于点H， M，N分别是ABC与PAC的重心，点M，N分别在线段B，P上，MH//AB，M=B==，OM==，ON =OA==,NH=O==,MN==，ON+MN=OM，
DE===,线段DE的长度为。
8、在三棱锥P—ABC中，已知PA=AB=AC=2，PAB=，BAC=，D是线段BC上的点，BD=2DC，ADPB，若三棱锥P—ABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 1 B C D
【解析】
【考点】①三棱锥的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③等腰三角形的定义与性质；④余弦定理及运用；⑤直线垂直平面判定定理及运用；⑥平面垂直平面判定定理及运用；⑦球的定义与性质；⑧求几何体外接球半径的基本方法。
【解题思路】根据余弦定理，结合问题条件求出BC的值，从而得到BD的值，证明ADAB，运用直线垂直平面的判定定理和平面垂直平面的判定定理，性质定理，结合问题条件证明直线AD平面PAD，得到平面PAB平面ABC，从而证明直线PA平面ABC，确定出平面ABC外接圆的圆心，过点作直线O平面ABC，利用直角三角形的性质求出三棱锥P—ABC外接球的半径就可得出选项。
【详细解答】如图取BC的中点E，连接AE，延长AE至时AE=E，过点作直线O平面ABC，连接B，C，OC，在ABC中， AB=AC=2， BAC=，
EMBED Equation.DSMT4 BC==2， D是线段BC上 P
的点，BD=2DC，ABC= (-)=，AD O
===DC，DAC A C
=，DAB=，ADAB， ADPB， AB， B
PB 平面PAB，AB PB=B，直线AD平面PAB，直线AD 平面ABC，平面PAB平面ABC，PAB=， PAAB，平面PAB平面ABC=AB，PA平面PAB，直线PA平面ABC，A=C=AB= AC=B=2，点是平面ABC外接圆的圆心，在RtOC中，O=PA=1，C=2，OC=R，R==，D正确，选D。
9、（理）如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上滑动，且B=C=x，现将 AB， CA分别沿AB，CA折起使点， 重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，现有以下结论：①AP 平面PBC；②当B，C分别为，的中点时，三棱锥P—ABC的外接球的表面积为6；③x的取值范围为（0，4-2）；④三棱锥P—ABC体积的最大值为。则正确结论的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）如图，在边长为2的正方形A中，边，的中点分别为B，C，现将 AB， BC， CA分别沿AB，BC，CA折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，则三棱锥P—ABC的外接球体积为 （2020成都市高三一诊）
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②三棱锥定义与性质；③直线垂直平面的定义与判断；④求三棱锥外接球表面积的基本方法；⑤求三棱锥体积的基本方法；⑥求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）对①根据三棱锥的定义与性质，结合直线与平面垂直的定义与判断方法就可得出结果；对②运用三棱锥外接球表面积的计算公式和求三棱锥外接球表面积的基本方法就可得出结论；对③根据三棱锥体积的计算公式，结合求三棱锥体积的基本方法可以得到
结果；对④运用三棱锥的条件公式，把三棱锥的体积表示成含某个参数的式子，在运用求函
数最值的基本方法可以得出结论。（文）根据三棱锥的定义与性质，结合问题条件求出三棱锥外接球的半径，运用三棱锥外接球体积的计算公式和求三棱锥外接球体积的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（理）如图，APC是AC， P
沿AC折起得到 EMBED Equation.DSMT4 APPC，同理可得APPB， A
PBPC =P，PB，PC平面PBC， AP B D E O
平面PBC，①正确；B，C分别是， C
的中点，A是边长为2的正方形， B=C=1，PB=PC=1，取BC的中点D，过点D作DO平面PBC，垂足为D，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，在RtBDO中，BD=BC = =，BO=AP=1，R=OB === ， =4=6②正确； B=C=x，B=C=2-x4-2x> BC=x， 4>（+2）x， x<4-2，BPC，当x=2-x，即x=1时，=的最大值是，④正确，C正确，选C。（文）如图，取BC的中点D，过点D作DO平面 P
PBC ，垂足为D，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半 A
径为R，B，C分别是，的中点，四边形 B D O
A是边长为2的正方形， B=C=1， C
PB=PC=1，在RtBDO BD=BC= =，BO=AP=1，
R=OB=== ， ===。
10、在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围上（，）；③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为。
（理）其中正确结论的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
（文）其中所有正确结论的编号是（）（2020成都市高三三诊）
A ①② B ②③ C ①②④ D ①③④
【解析】
【考点】①三棱锥的定义与性质；②点在平面上投影的定义与性质；③证明直线垂直平面的基本方法；④余弦定理及运用；⑤求三棱锥外接球体积的基本方法；⑥求三棱锥外接球表面积的基本方法。
【解题思路】对①，运用直角三角形和三棱锥的性质，结合问题条件得到PA=PB=PC，从而①正确；对②，运用直角三角形的性质和余弦定理，结合问题条件得到0【详细解答】如图，连接BD，三棱锥P—ABC中，
ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D， O E
DP=DC=1，BD=DC=1，PA=PB=PC= A D C
=，①正确；0=<，=，④正确，C正确，选C。
11、已知三棱锥P—ABC的三个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=，则球O的体积为（ ）（2019全国高考
新课标I（理））
A 8 B 4 C 2 D
【解析】
【考点】①正三棱锥的定义与性质；②正三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积公式进行计算得出结果； P
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，设
正三角形ABC外接圆的圆心为，连接P，设外接 E O
球的球心为O，连接AO，ABC是边长为2的正 C
三角形，D，F分别BC，AB的中点，AD=CF=2 A F B
=，A=，PA=PB=PC，ABC 是正三角形，P—ABC是正三棱锥，PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，EF//PB，EFAC，CEF=，ACCE=C，AC，EC平面PAC，EF平面PAC，PB平面PAC，APB=，PA=PB=PC=，PD =1，P==，设外接球的半径为R，在RtA
O中，AO=R，O=-R，A=，=+，=+，R=，=== D正确选D。
12、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧 1
视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 1 2
球面上，则该球的体积为（ ）（2018成都市高三二诊） （正视图） （侧视图）
A B 8 C D 24
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②四棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；
【解题思路】运用长方形的性质和四棱锥的性质，结合问题条件求出外接球的半径，利用球的体积公式通过运算就可求出该球的体积；
【详细解答】如图，连接AC，BD相交于点，过作E平面ABCD，设四棱锥P-ABCD
的外接球的球心为O，半径为R，连接CO，四边 P
形ABCD是长方形，AB=2，BC=1，BD== O
， D=，在RtOD中，OD=R， A D
O= PA=，D=，=+， B C
=+，R=，=== C正确，选C。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=求出外接球的体积。
【典例2】解答下列问题：
1、已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 100 B 128 C 144 D 192
【解析】
【考点】①球定义与性质；②正三陵台定义与性质；③球表面积公式及运用。
【解题思路】如图，设球心为O，底面外接圆半径分别为 ， ，球O的半径为R，根据
球和正三陵台的性质，结合问题条件，求出 ，的值，从而求出球O的半径R，运用球表面积的公式求出球的表面积就可得出选项。
【详细解答】如图，设球心为O，底面外接圆半径分别为 ， ，球O的半径为R， 正
三棱台的高为1，上下底面的边长分别为
3和4， =3=3，
EMBED Equation.DSMT4 =4=4 ，
+=1，R=5，即球O的表面积=4=100，
A正确，选A。
2、在三棱锥P—ABC中，已知PA平面ABC，PA=AB=BC=2，AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 4 B 10 C 12 D 48
【解析】
【考点】①球定义与性质；②直角三角形定义与性质；③直线垂直平面性质定理及运用；④球表面积计算公式及运用。
【解题思路】根据球和直角三角形的性质，结合问题条件求出球的半径，运用球表面积的计算公式通过运算求出该球的表面积就可得出选项。 P
【详细解答】如图，取AC的中点D，过点D作 O
DO平面ABC，垂足为D，连接OC， AB A D
=BC=2，AC=2，AB+BC=4+4=8=AC， B C
ABC=，点D是ABC外接圆的圆心， PA平面ABC，PA=2，设球的半径
为R，在RtODC中，OD=PA=1，R=OC，CD=AC=，R==
=，该球的表面积为=4=12，C正确，选C。
3、若矩形ABCD的对角线交点为，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且O
=，则球O的表面积的最小值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C 32 D 48
【解析】
【考点】①矩形的定义与性质；②几何体外接球的定义与性质；③求几何体外接球半径的基本方法；④求表面积的计算公式与计算方法。
【解题思路】运用矩形性质，几何体外接球的性质和求几何体外接球半径的基本方法，结合问题条件求出几何体外接球的半径，利用球表面积的计算公式通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，连接OC，设AB=x，矩形 ABCD的周长为4，BC=2
-x，AC=+，在RtOC中，
O=，C=-AC， =OC=C O
+ O=AC+O=-x+13 D C
=+88，当且仅当x= A B
时，=0+8=8为最小，=4的最小值为48=32，C正确，选C。
4、（理）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则直三棱柱的侧面积为 。
（文）已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC-的所有顶点都在球O的表面上，且AB=AC=1,若球O的表面积为3，则这个直三棱柱的体积是 （2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①直三棱柱定义与性质；②几何体外接球定义与性质；③求球表面积的基本求法；④求直三棱柱侧面积的基本方法；⑤求直三棱柱体积的基本方法。
【解题思路】（理）设直三棱柱的棱长为x，运用直三棱柱的性质，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程求出x的值，利用直三棱柱侧面积的公式通过运算就可得出直三棱柱的侧面积。（文）如图，设直三棱柱的棱长为x，运用直三棱柱性质，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程求出x的值，利用直三棱柱体积公式通过运算就可求出直三棱柱的体积。
【详细解答】如图，分别取BC， 的中点D，，设直三棱柱的棱长为x，外接球的半径为R，底面外接圆的圆心分别为，，连接，取的中点为O，连接OA，
在RtO A中，OA=R，O=x，A
=x= x，=+=， O
=4==28，=12， O
=3x.x=3=312=36，直三棱柱的 A D C
侧面积为36。（文）如图，分别取BC， B
的中点D，， 设直三棱柱的棱长为x，外接球
的半径为R，底面外接圆的圆心分别为D，，
连接D，取 D的中点为O，连接OB， O
在RtO DB中，OB=R， A D C
OD=x， BD= =，=+，=4=4（+）=3，=1，=111=，直三棱柱的体积是。
5、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，圆为ABC的外接圆，若圆的面积为4，AB=BC=AC=O，则球O的表面积为（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A 64 B 48 C 36 D 32
【解析】
【考点】正三角形的定义与性质；②正三角形外接圆的定义与性质；③求几何体外接球半径的基本方法；④求球表面积计算公式与基本方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三角形外接圆的性质，结合问题条件求出外接圆的半径，从而求出球O的半径，利用球表面积公式通过运算就可得出球O的表面积。
【详细解答】如图，连接OA，设圆的半径为r， O
球O的半径为R，圆为ABC的外接圆，圆 C
EMBED Equation.DSMT4 的面积为4，r=A=2，AB=BC=AC=O A B
， AB=BC=AC=O =r=2，在RtA O中，OA=R，O=2，A=2，
R==4，=4=416=64，A正确，选A。
6、已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）（2020全国高考新课标II卷）
A B C 1 D
【解析】
【考点】正三角形的定义与性质；②求几何体外接球半径的基本方法；③求球表面积计算公式与基本方法；④求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】运用正三角形的性质和正三角形外接圆的性质，结合问题条件求出球O的半径和正三角形的边长，利用直角三角形的性质通过运算就可得出球心O到平面ABC的距离。
【详细解答】设正三角形的边长为x，正三角形外接圆
的圆心为，球O的半径为R，连接OA，如图， O
EMBED Equation.DSMT4 ===，=9，x=3， C
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =4=16，=4，R=2，在Rt A B
A O中，OA=2，A=x=3=， O= =1，O到平面ABC的距离为1，C正确，选C。
7、在三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，BAC=，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）(2018成都市高三一诊)
A 10 B 18 C 20 D 9
【解析】
【考点】正三棱锥的定义与性质；②三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的表面积计算公式与方法。
【解题思路】运用等腰三角形的性质和三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的表面积公式进行计算得出结果。
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，延长AD到 P
，使D=AD，过作E平面ABC于， 在E E
确定三棱锥P-ABC外接球的球心O，连接OA，设外接球的 O
的半径为R，ABC是等腰三角形，BAC=， A
是ABC外接圆的圆心，在RtA O中，AO=R， B D C
O=PA=1，A=AC=2，=+，
=1+4，R=，=4=45= 20C正确，选C。
8、（理）三棱柱ABC—中，AB=BC=AC，侧棱A底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为 ；
（文）三棱柱ABC—中，棱AB，AC，A两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为（ ）（2019成都市高三三诊）
Ａ　 　　　Ｂ　　 　　　Ｃ　　 2　　　Ｄ　　　　 4
【解析】
【考点】正三棱柱的定义与性质；②正三棱柱外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的表面积计算公式与方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱柱外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的表面积公式进行计算得出结果；
【详细解答】（理）如图，取BC的中点D，连接AD，取AC的中点
E，连接BE交AD于点，过作F平面ABC于， F
在F上确定正三棱柱ABC—外接球的球心 O
O，连接AO，设外接球的半径为R，AB=BC=AC=x，正 A E
三棱柱的侧面积为3，A=，AD=BE=x， B D C
B=A=x，在RtA O中，AO=R，O=A=，A=x，=+， =+，=4=4（+）4=2，球O表面积的最小值是2。
（文）如图，取BC的中点，过作D平面
ABC于，在D确定三棱柱ABC—外接
球的球心O，连接AO，设外接球的半径为R，AB=AC O
=x，ABC是等腰直角三角形，A=x， A
棱AB，AC，A两两垂直，三棱柱的侧面积为+1， B C
A=，在RtA O中，AO=R，O=A= ，A=x，=+， =+，=4=4(+)4 =，球O表面积的最小值是， A正确，选A。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=4求出外接球的表面积。
【典例3】解答下列问题：
1、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 （2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】圆锥的定义与性质；②求几何体内切球半径的基本方法；③求球体积计算公式与基本方法。
【解题思路】运用圆锥的性质和最大球就是圆锥的内切球，结合问题条件求出内切球的半径，利用求球体积的公式通过运算就可得出该圆锥内半径最大的球的体积。 A
【详细解答】圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，
设圆锥内切球的半径为R，球心为O，圆锥底面圆的圆
心为，如图，圆锥轴截面的内切圆是内切球的大圆， O
在RtAC中，C=1，AC=3，A==2， B C
=22=2，=32+2=8，=，R=，
===，该圆锥内半径最大的球的体积为。 P
2、如图，P—ABC是棱长为a的正四面体， O E
求该正四面体内切球O的表面积。 A D C
【解析】 B
【考点】正四面体的定义与性质；②求几何体内切球半径的基本方法；③求球表面积计算公式与基本方法。
【解题思路】运用正四面体和内切球的性质，结合问题条件求出内切球的半径，利用求球表
面积的公式通过运算就可得出内切球的表面积。
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，设ABC外接圆的圆心为，内切球的球心为O，连接P，过O作OEPD于点E，正四面体的棱长为a，在RtAP中，A=a=a，AP=a， P= = a，=，OE=R，
PO=P-R=a-R，PD=AD=a，D=AD-A=a-a=a，
R=a，=4=4=，该正四面体内切球O的表面积为。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是已知几何体的内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题，解答这类问题的关键是求出内切球的半径；
（2）解答已知几何体内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题的基本方法是：①设几何体内切球的球心为O，半径为R；②以几何体的各个面为底面，球心O为顶点，把原几何体分割成几个以内切球半径为高的棱锥；③根据各个棱锥体积之和等于原几何体的体积得到关于内切球半径R的方程；④求解方程求出内切球的半径R；⑤由公式：=（或=4）求出内切球的体积（或表面积）。
O
O

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