资源简介

7.1.2弧度制及其与角度制的换算
【学习目标】
1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．
2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．
3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
【学习重难点】
重点： 弧度的角概念的理解，弧度制与角度制的互化．
难点： 弧度的角概念的理解．
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)1弧度的角是如何定义的？
(2)如何求角α的弧度数？
(3)如何进行弧度与角度的换算？
(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．下列各种说法中，不正确的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2．若一扇形的圆心角为π，半径为20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　　 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度．
①60°＝________，150°＝________；
②＝________，＝________．
4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________，面积S＝________．
二、新知精讲
1．角的单位制
(1)角度制：
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．
(3)角的弧度数的求法：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝．
[点睛]　(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3．5 rad可写成α＝－3．5．而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
2．角度与弧度的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0．017 45 rad 1 rad＝°≈57．30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
3．弧度制下的弧长与扇形面积公式
公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式
角度制 l＝ S＝
弧度制 l＝|α|·r S＝ lr＝|α|r2
[点睛]　(1)在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．
(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．
(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．
(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．
三、题型探究
题型一 角度与弧度的换算
[例1]　设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－．
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
[归纳总结]
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
[活学活用]
将下列角度与弧度进行互化：
(1)π； (2)－； (3)10°； (4)－855°．
题型二 用弧度制表示终边相同的角
[例2]　已知角α＝－2 018°．
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．
[归纳总结]
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[活学活用]
已知α＝－800°．
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈．
题型三 扇形的弧长公式及面积公式
题点一：利用公式求弧长和面积
1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为．求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积．
题点二：利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．
[归纳总结]
弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[提醒]　运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
五、达标检测
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位
2．－690°化为弧度是(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C．－ D．－
3．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，那么该弧所对的圆心角是原来的(　　)
A．倍 B．2倍
C．倍 D．3倍
4．与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)
5．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．
六、本课小结
1. 什么是角度制，什么是弧度制？怎么进行角度与弧度的互化？
2. 扇形的弧长及面积的计算公式.
参考答案
课前预习
1．解析：根据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关．
答案：D
2．解析：因为扇形的圆心角为π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝αR2＝80π cm2，故选B．
答案：B
3．解析：根据角度与弧度的互化公式知
60°＝，150°＝，＝30°，＝120°．
答案：①　　②30°　120°
4．解析：因为α＝60°＝，r＝1，所以l＝α·r＝，
S＝r·l＝×1×＝．
答案：　
题型探究
[例1]　[解]　(1)∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π．
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
(2)β1＝＝×＝144°．
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°．
∴k＝－1或k＝0．
∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°．
β2＝－＝－×＝－330°．
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°．
∴k＝0或k＝1．
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°．
[活学活用]
1. 解析：(1)π＝×180°＝15 330°．
(2)－＝－×180°＝－105°．
(3)10°＝10×＝．
(4)－855°＝－855×＝－．
[例2]　[解析]　(1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×＝，
所以α＝－12π＋，故α是第二象限角．
(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋，k∈Z，
又－2π≤θ＜4π，所以k＝－1,0,1，
将k的值分别代入θ＝2kπ＋，k∈Z，
得θ＝－，，．
[活学活用]
2. 解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π．
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z．
又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋＝－．
题点一：利用公式求弧长和面积
1．解析：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝．
(2)由(1)得扇形的面积S＝××＝．
题点二：利用公式求半径和弧度数
2．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，
依题意有
由①②，得r＝2，所以l＝8－2r＝4，θ＝＝2．
故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad．
题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋，
0＜r＜5．
当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2．
故该扇形的面积的最大值为 cm2，及取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm．
达标检测
1．解析：由1弧度的概念知选项D正确．
答案：D
2．解析：因为1°＝，所以－690°＝－690×＝－π．
答案：C
3．解析：设圆的半径为r，弧长为l，则该弧所对圆心角的弧度数为，若将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则该弧所对圆心角的弧度数变为＝3·，即该弧所对的圆心角变为原来的3倍．
答案：D
4．解析：因为与角α终边相同的角为α＋k·360°(k∈Z)，所以与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，其中最小正角是60°，化为弧度为．
答案：
5．解析：设圆的半径为r，
如图，AC＝AB＝1，∠AOC＝1，
因此sin 1＝＝，
故r＝，
所以弧长l＝|α|·r＝．

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