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7.2.1三角函数的定义
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
【学习重难点】
重点： 会应用它求三角函数值．
难点： 理解任意角的三角函数的定义.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
预习任务二：简单题型通关
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.(　　)
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　)
(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.(　　)
2．若sin θcos θ<0，则角θ是(　　)
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
3．若角α的终边经过点P(2,3)，则有(　　)
A．sin α＝　　　　　　　　 B．cos α＝
C．sin α＝ D．tan α＝
二、考点精讲
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设α是终边在第一象限的一个任意角，在它的终边上任意取一个不同于坐标原点的点 P(x，y)，作PM⊥OX于点M，记r=.OM=x，PM=y,OP=r.
定义 正弦 sin α＝
余弦 cos α＝
正切 tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
[点睛]　(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三、题型探究
题型一 三角函数的定义及应用
[例1]　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
(2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
[归纳总结]
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
1．设θ是第三象限角，P(－4，y)为其终边上的一点，且sin θ＝y，则tan θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
2．已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值．
题型二 三角函数值符号的运用
[例2]　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)设α是第三象限角，且＝－cos，则所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[归纳总结]
对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
[活学活用]
3．给出下列各三角函数值：
①sin(－100°)；
②cos(－220°)；
③tan(－10)；
④cos π.
其中符号为负的有(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
4．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1　　　B．0　　　C．2　　　D．－2
四、达标检测
1．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sin α＋cos α＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
2．已知α为第二象限角，则sin α·cos α________0(填>，<)．
3．已知角α为第二象限角，则化简的结果为________．
五、本课小结
1.任意角的三角函数是怎么定义的？怎样利用三角函数的定义求值？
2.三角函数值符号有什么规律？
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．答案：D
3．答案：C
题型探究
[例1]　[解析]　(1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和，
故由定义知sin α＝，cos β＝－，
∴sin αcos β＝×＝－.
(2)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即 ＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
[答案]　 (1)B (2)A
[活学活用]
1．解析：选D　因为sin θ＝＝y，
所以 ＝6，解得y＝±2，
又θ是第三象限角，所以y＝－2，
所以tan θ＝＝，故选D.
2．解析：设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，|OP|＝1，
则解得或
所以sin α＝－，cos α＝或sin α＝，
cos α＝－，
于是2sin α＋3cos α＝－或2sin α＋3cos α＝.
[例2]　[解析]　(1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
(2)∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋<∴在第二、四象限．
又∵＝－cos ，∴cos <0.
∴在第二象限．
[答案]　(1)D　(2)B
[活学活用]
3．解析：选D　因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)<0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以tan(－10)<0；cos π＝－1<0.所以其中符号为负的有4个，选D.
4．解析：选C　∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
达标检测
1．解析：因为sin α＝y＝－，cos α＝x＝，所以sin α＋cos α＝－＋＝－.
答案：B
2．解析：因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α·cos α<0.
答案：<
3．解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此 ＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.
答案：sin α－cos α

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