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8.1.1向量数量积的概念
学习目标
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2.掌握数量积公式，理解其几何意义及投影的定义．
学习重难点
重点：平面向量数量积的定义．
难点：
1.平面向量数量积的定义的理解．
2.理解平面向量数量积的几何意义.
学习过程
一、考点精讲
1．向量数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件 向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义 a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ
记法 a·b＝|a||b|cos θ
(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛]　(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
设两个非零向量a，b，它们的夹角为θ.
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
[点睛]　(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]　对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
二、典例剖析
题型一 向量数量积的运算
[典例1]　(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
2．△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，求·.
题型二 与向量的模有关的问题
[典例2]　(1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，
但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝.
[活学活用]
2、已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
题型三 两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
题点二：证明两向量垂直
2．已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
三、易错解析
向量线性运算与数量积运算应用不当致误
[典例]　在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
[错因与防范]　1.解答本题常出现的错误是，未能用平行四边形法则、数乘向量的几何意义和向量加法的三角形法则，将，用，表示，或表示不正确，或数量积定义或|a|2＝a2应用不当．
2．在以几何图形为背景的数量积运算问题中，通常要恰当选择基底，表示有关向量，转化为基向量之间的运算，达到简化运算的目的．向量数量积运算中要特别注意a·b＝|a||b|cos θ，|a|2＝a2等知识的应用.
四、达标检测
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
2．(高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的投影是________．
4．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
五、本课小结
1、向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
2、求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值
3、向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，
但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝.
参考答案
典例剖析
[典例1][解]　(1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
[活学活用]
1．解析：(1)由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
答案：0　－16　－16
2．解析：·＝·(－)＝·－·，
∵在上的投影为||，
∴·＝||·||＝2.
同理，·＝||·||＝.
∴·＝－2＝.
[典例2]　[解析]　(1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，
从而|b|＝＝.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
[答案]　(1)　(2)3
[活学活用]
2、解析：由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2
＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
题点一：求两向量的夹角
1．解析：选A　设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.
题点二：证明两向量垂直
2．证明：∵|a＋tb|＝＝＝，
∴当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．解析：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝.
故当m＝时，c与d垂直．
易错解析
[解析]　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因为E为CD的中点，所以＝，
所以＝＋＋
＝－＋＋＝－.
所以·＝(＋)·(－)
＝2＋·－2
＝1＋×1×||cos 60°－||2＝1，
所以||－||2＝0，解得||＝.
即AB的长为.
[答案]　
达标检测
1．解析：由向量数量积的运算性质知A、C、D错误．
答案：B
2．解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
3．解析：向量a在向量b方向上的投影是|a|cos 60°＝4×＝2.
答案：2
4．解析：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.

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