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8.1.2　向量数量积的概念及运算律
【学习目标】
1.平面向量的数量积．
2.投影向量的概念．
3.向量的数量积与实数的乘法的区别．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(2)向量b 在a 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
(3)向量数量积的性质有哪些？
(4)向量数量积的运算律有哪些？
二、课前小测
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝(　　)
A. B. C．1 D．－
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)
A. B. C. D.
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于________．
4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为________．
三、新知探究
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．
②当θ＝π时，向量a，b反向．
③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示]　数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示]　(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
四、题型突破
题型一 向量数量积的计算及投影
【例1】 (1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．
(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；
②(2a＋b)·(a－b)．
[思路探究]　根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
【反思感悟】
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；
(2)分别求|a|和|b|；
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
求投影的两种方法：
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.
【跟踪训练】
1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：
①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
题型二 与向量模有关的问题
【例2】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
[思路探究]　灵活应用a2＝|a|2求向量的模．
【反思感悟】
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
【跟踪训练】
2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝，则|b|＝(　　)
A. B. C．1 D．2
题型三 与向量垂直、夹角有关的问题
[探究问题]
1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示]　a⊥b a·b＝0.
2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示]　|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，
cos θ＝.
【例3】　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[思路探究]　(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．
【多维探究】
1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
【反思感悟】
1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝.　
五、达标检测
1．判断正误
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.(　　)
(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.(　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．
4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
六、本课小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝时)．
2．两非零向量a，b，a⊥b a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
参考答案
课前小测
1．答案：A
解析：a·b＝1×1×cos 60°＝.
2．答案：C
解析：由条件可知，cos θ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
3．答案：
解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝.
4．答案：2
解析：设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cos θ＝，
所以a·b＝|b||a|cos θ＝3×＝2.
题型突破
【例1】(1) 答案：
解析：设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为
|a|cos θ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1
＝2e－e1·e2
＝2－1×1×cos＝.
(2)解：①(a＋b)·(a－b)
＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，
所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2
＝200＋15－9＝206.
【跟踪训练】
1．解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3.
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
【例2】(1)答案：2
解析：|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2
＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝＝2.
(2)解：因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
【跟踪训练】
2．答案：C
解析：设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos θ，
又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝，
所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－(舍去)或|b|＝1.故选C.
【例3】(1)答案：(0,1)∪(1，＋∞)
解析：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0.
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
(2)解：由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
【多维探究】
1．解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，
∴k＜0.
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.
2．解：由已知得|e1＋ke2|＝＝，
|ke1＋e2|＝＝，
(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，
则cos＝＝，
即＝，整理得k2－4k＋1＝0，
解得k＝＝2±.　　　
达标检测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．答案：B
解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.
3．答案：
解析：设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，
又|b|＝5，所以|a|cos θ＝，
即a在b方向上的投影为.
4．解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝
＝
＝＝5.
|a－b|＝
＝
＝＝5.

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