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8.1.2向量数量积的运算律
课堂探究
探究一 向量数量积的计算
求平面向量的数量积时，常用到以下结论：
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．
误区警示 利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的a·b写成|a||b|．
探究二 求向量的模
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝．
【例2】 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
分析：通过数量积a·b来探求已知条件|3a－2b|＝3与目标式|3a＋b|之间的关系．
探究三 向量在几何中的应用
向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角．
【例3】 在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．
【例4】 △ABC三边长为a，b，c，以A为圆心，r为半径作圆，如图所示，PQ为直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值？
分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值．
探究四 易错辨析
易错点：向量与实数的混用
【例5】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．求a与b的夹角．
参考答案
【例1】 解析：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝．
(2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2
＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2
＝－6＋－2＝－．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝＋e1·e2＋e2·e1＋
＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．
【例2】 解析：因为|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2＝1．
又因为|3a－2b|＝3，所以(3a－2b)2＝9，
所以9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，
将|a|2＝|b|2＝1，代入有a·b＝，
而(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋6×＋1＝12，
所以|3a＋b|＝．
【例3】 证明：如图．
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=-＋·＋·
＝－＋||·||·＋||·||·
＝－＋||··||·＋||··||·
＝－＋＋＝0，
所以⊥，即AD⊥CE．
【例4】 解析：因为＝－，＋＝，
即＝－－＝－－，
所以·＝(－)·(－－)
＝－·＋·－＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·．
当与同向时，·最大且最大值为||·||＝ra．
即当与共线且同方向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．
【例5】错解析：由题意，得
即
①－②得46a·b＝23b2．即2a·b＝b2
因为b≠0，所以a＝，
把它代入②得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°．
错因分析：在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合．
正解析：因为a＋3b与7a－5b垂直，
所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0．
同理由a－4b与7a－2b垂直可得
7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0，则
①－②得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝，
代入①得|a|2＝|b|2．所以|a|＝|b|．
设a，b夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
所以θ＝60°．

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