资源简介

8.1.3向量数量积的坐标运算
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．
4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
二、课前小测
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.
3．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.
4．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为________．
三、新知探究
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
2.向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
3．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝＝.
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
四、题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
【反思感悟】
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
【跟踪训练】
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
题型二 向量模的坐标表示
【例2】　(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5 C．3 D．4
(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
【反思感悟】
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
【跟踪训练】
3．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
题型三　向量的夹角与垂直问题
[探究问题]
1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
[提示]　cos θ＝＝.
2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？
[提示]　由已知得a－b＝(1－x,4)．
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.
∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
【例3】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
【多维探究】
1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
【反思感悟】
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
五、达标检测
1．判断正误
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(　　)
(2)a·b＜0 a与b的夹角为钝角．(　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．(　　)
(4)||表示A，B两点之间的距离．(　　)
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
六、本课小结
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
参考答案
课前小测
1．答案：A
解析：a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.
2．答案：1　2
解析：a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.
3．答案：　
解析：因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝.
4．答案：
解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝.
题型突破
【例1】(1)答案：
解析：以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
(2)解：①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
2．答案：A
解析：由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
【例2】(1)答案：D
解析：由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D.
(2)解：①∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或e＝.
【跟踪训练】
3．解：(1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，
∴|c|＝＝.
【例3】(1)答案：B
解析：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0. ②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，
综上，||＝，D(1,1)．
【多维探究】
1．解：当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.
由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是∪.
2．解：cos＝＝，
即＝，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－或3.
达标检测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．答案：B
解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.
3．答案：－3
解析：a＋mb＝(2＋m,4＋m)，
∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，
得m＝－3.
4．解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.

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