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向量的数量积难点突破
【知识体系】
【难点突破】
难点突破一 平面向量数量积的运算
例1 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)
A. B.
C. D.3
[方法技巧]
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.　
[强化训练]
1、已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
2、设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于________．
难点突破二 向量的夹角及垂直问题
例2 (1)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
[方法技巧]
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．　
[强化训练]
1、设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________．　
2、已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角的大小为________．
难点突破三 向量的长度(模)与距离的问题
例3　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)
A．2　　　　 B．4
C．6　　　　 D．8
[方法技巧]
解决向量模的问题常用的策略
(1)应用公式：|a|＝(其中a＝(x，y))．
(2)应用三角形法则或平行四边形法则．
(3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.　
[强化训练]
1、已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
参考答案
例1【解析】　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D，设C(1，m)，E(x，y)，所以＝，＝，
因为AD⊥CD，所以·＝0，即×＋＝0，解得m＝，即C(1，)，因为E在CD上，所以≤y≤，由∥，得(x－1)＝(y－)，即x＝y－2，因为＝(x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因为函数f(y)＝4y2－5y＋6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min＝4×－5×＋6＝.
所以·的最小值为，故选A.
【答案】　A
[强化训练]
1、解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6.
答案：6
2、解析：＝＋＝＋，
＝－＝－＋，
所以·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9.
答案：9
例2【解析】　(1)因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
(2)设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，
即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
所以19＝4＋9＋12cos θ，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.
【答案】　(1)B　(2)C
[强化训练]
1、解析：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．
由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，
即m＋1＝0，得m＝－1.
答案：－1
2、解析：因为非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
答案：135°
例3【解析】　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
【答案】　A
[强化训练]
1、解析：选D.因为a·(a－b)＝8，
所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，
所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.

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