资源简介

8.1.3向量数量积的坐标运算
学习目标
1.理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算．
2.理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.
学习重难点
重点：
1.平面向量的数量积的坐标表示．
2.利用数量积的坐标表示解决模及向量的夹角问题．
难点：用两个向量的坐标判断垂直关系.
学习过程
一、考点精讲
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
向量 垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0
[点睛]　公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
二、典例剖析
题型一 平面向量数量积的坐标运算
[典例1]　(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
[方法技巧]
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[活学活用]
1．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.
2．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
题型二 向量的模的问题
[典例2]　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
[方法技巧]
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　　　　　　
[活学活用]
3．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
题型三 向量的夹角和垂直问题
[典例3]　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．
[方法技巧]
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
5、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
题型四 平面向量的数量积问题
[典例4]　已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
[方法技巧]
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解；
(2)坐标法：利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2求解；
(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．
[活学活用]
6、如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
三、随堂检测
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)
A．垂直　　　　　　　　 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
2．(高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C. D．－
3．已知A(3,1)，B(6,1)，C(4,3)，D为线段BC的中点，则向量与夹角的余弦值为________．
四、本课小结
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
参考答案
典例剖析
[典例1]　[解析]　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
[答案]　(1)C　(2)A
[活学活用]
1．解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.
答案：1
2．解析：设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
[典例2]　[解析]　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.
[答案]　A
(2)设a＝(x，y)，
则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.　①
由a⊥b，解得2x－3y＝0. ②
由①②，解得或
∴a＝(6,4)或a＝(－6，－4)．
∴a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，
∴|a＋b|＝.
[活学活用]
3．解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝
＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
4．解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：8
[典例3]　[解析]　(1)∵a·b＝－2－8＝－10，
∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
[答案]　C
(2)设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．
∵(a＋c)∥b，
∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1.　①
又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0.　②
联立①②，得方程组解得
故c＝.
[活学活用]
5、解析：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m，n的夹角为.
[典例4]　[解析]　[法一　定义法]
如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
[法二　坐标法]
如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴＝(－3,0)，＝(0,4)，
＝(3，－4)．
∴·＝－3×0＋0×4＝0，
·＝0×3＋4×(－4)＝－16，
·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
[法三　转化法]
∵||＝3，||＝4，||＝5，
∴AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＋·＋·＝·(＋)
＝·
＝－||2＝－25.
[活学活用]
6、解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则由已知条件，可得＝，＝.
故cos∠DOE＝＝＝.
法二：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴||＝，||＝，
·＝2＋2＝1，
∴cos∠DOE＝＝.
答案：
随堂练习
1．解析：a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
答案：A
2．解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.
答案：B
3．解析：∵D(5,2)，＝(1,2)，＝(－2，－1)，
∴·＝1×(－2)＋2×(－1)＝－4，
∴cos θ＝＝－.
答案：－

展开更多......

收起↑