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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
新课程标准 考向预测
1．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响． 2．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 命题角度 1．“五点法”作图及图象变换 2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 3．三角函数的综合问题
核心素养 直观想象、数学建模
【基础梳理】
基础点一　y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝______ f＝＝______ ωx＋φ φ
基础小测
1．函数y＝2sin(2x＋)的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
2．(2019湖南长沙模拟)函数y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
基础点二　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
五点法作图的步骤
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为．
基础小测
1．用五点作图法作y＝2sin 4x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，，，， D．0，，，，
2．用五点法作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，________，________，________.
基础点三　由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
知识点睛
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
基础小测
(2020届湖南师大附中高三月考)要得到函数y＝sin(4x＋)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【考点突破】
考点一　五点法作图(高考热度：★)
[例1] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－＜φ＜)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
[例2] (2020届江西新余四中高三月考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f(x)＝Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
(2)将函数y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个对称中心为点(，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x.通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
考点微练
1. (2019·漳州八校联考)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换(高考热度：★★★)
[例3]　(2019·漳州八校联考)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
考点微练
1．(2020届贵州安顺上学期第一次联考)已知函数f(x)＝cos 2x，要得到g(x)＝cos的图象，只需将f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解题通法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．
考点三　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(高考热度：★★)
[例4]　(多选题)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
B．f(x)的图象关于点中心对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)在区间上单调递减
[例5]　(2020届山东寿光一中高三月考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_________________．
解题通法
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定．y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法：
(1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
考点四　三角函数图象、性质的综合应用(高考热度：★)
考向1　图象与性质的综合问题
[例6]　(2020届四川南充一中高三调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|<)的部分图象如图所示，若f(0)＝，且·＝－8，B，C分别为最高点与最低点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
方法点拨
研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
考向2　函数零点(方程根)问题
[例7] 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_______________．
对点变式
变式：上例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
技巧点拨
方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3　三角函数模型的应用
如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到地面的距离是________米．
方法点拨
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
基础小测
1．解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．解析：相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
基础点二　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
基础小测
1．解析：由“五点法”作图知，令4x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，，即为五个关键点的横坐标．故选C.
基础点三　由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
基础小测
解析：∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．
【考点突破】
考点一　五点法作图(高考热度：★)
[例1] 解：(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z.因为－＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
[例2]解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f(x)＝Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数f(x)的解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为点(kπ，0)，k∈Z，令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
因为函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
(3)由数据作出函数f(x)在区间上的图象如图所示，
考点微练
1.[解析]　函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．
考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换(高考热度：★★★)
[例3]　[解析]　函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A．
考点微练
1．解析：因为g(x)＝cos＝cos 2，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象，故选D.
考点三　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(高考热度：★★)
[例4]　解析：由图可知，A＝2，T＝4×＝，∴ω＝＝3.又由g＝2可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，∴φ＝－.∴g(x)＝2sin，∴f(x)＝2sin .∴f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确．
对于选项B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，∴函数f(x)图象的对称中心为(k′∈Z)，由－＝，得k′＝，不符合k′∈Z，B错误．对于选项C，令2x＋＝＋k″π(k″∈Z)，
得x＝＋(k″∈Z)，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋(k″∈Z)，当k″＝0时，x＝，故C正确．当x∈时，2x＋∈，∴f(x)在区间上单调递减，∴选项D正确．故选ACD.
[例5]　解析：由题图可知A＝.
(方法一)＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)．又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|＜，所以φ＝.故f(x)＝sin.
(方法二)以为第二个“零点”，为最低点，
列方程组解得故f(x)＝sin.
考点四　三角函数图象、性质的综合应用(高考热度：★)
考向1　图象与性质的综合问题
[例6]　解：(1)由f(0)＝，可得2sin φ＝，即sin φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝.
由题意可知，＝，＝，
则·＝－8＝－8，所以T＝π.
故ω＝2，∴f(x)＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由题意将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin
＝2sin.
∵x∈，
∴2x＋∈，sin∈.
∴当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取得最大值；
当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取得最小值－2.
考向2　函数零点(方程根)问题
[例7] 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈.
∴已知条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)．
对点变式
解析：由上例知，的取值范围是，∴－2≤m＜1，∴m的取值范围是[－2,1)．
考向3　三角函数模型的应用
解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．
又周期T＝12，所以θ＝t，
则f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40秒时，f(t)＝3－2cos ＝4.

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