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两角和与差的正弦、余弦及正切公式
新课程标准 考向预测
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) ． 命题 角度 1．三角函数式求值、化简 2．三角函数式求角 3．三角函数式的综合问题
核心 素养 逻辑推理 数学运算
【基础梳理】
基础点一　两角和的正弦、余弦及正切公式
1．sin(α±β)＝_______________________.
2．cos(α±β)＝_______________________.
3．tan(α±β)＝_______________________.
基础小测
1．(2020届辽宁葫芦岛六校协作体上学期11月月考)已知cos 27°＝0.891，则(cos 72°＋cos 18°)的近似值为(　　)
A．1.77 B．1.78
C．1.79 D．1.81
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
3．已知tan α＝2，所以tan(α－)＝(　　)
A． B． C． D．－3
基础点二　二倍角的正弦、余弦及正切
1．sin 2α＝_____________.
2．cos 2α＝_____________＝______________＝______________.
3．tan 2α＝______________.
知识点睛：
1．二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．
2．二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
基础小测
1．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
2．已知cos x＝，则cos 2x＝________.
【考点突破】
考点一　和差角(或二倍角)公式直接应用(高考热度：★)
[例1] 若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A． B． C．－ D．－
[例2] (2019全国卷Ⅱ，10)已知α∈(0，)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
[例3] 已知tan(α－)＝，则tan α＝________.
方法总结
1．使用两角和与差(或二倍角)的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
考点微练
1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(2020届河北邢台第二中学高三月考)已知tan(α－)＝，tan(＋β)＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A． B． C． D．1
3．已知sin α＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B． C． D．－
4．计算的值为________．
考点二　和差角(或二倍角)公式的灵活运用(高考热度：★★★)
考向1　角的变换
[例4]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
方法点拨：注意配角，β＝（α＋β）－α.
解题通法
1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．
考点微练
1．(2020届湖南师大附中高三月考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为(　　)
A． B． C．－ D．－
2．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
考向2　公式的逆用与变形
[例5] (2020届浙江嘉兴第五中学高三月考)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.
考点微练
1.＝________.
2．化简＝________.
考向3　三角函数式的综合变换
[例6] 化简： (0＜θ＜π)．
对点变式
化简： (0＜θ＜π)．
考点微练
求值：－sin 10°(－tan 5°)．
方法总结
解决三角函数式的变化类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式、弦化切或切化弦.
参考答案
【基础梳理】
基础点一　两角和的正弦、余弦及正切公式
基础小测
1．解析：(cos 72°＋cos 18°)＝(sin 18°＋cos 18°)＝2sin(18°＋45°)＝2sin 63°＝2cos 27°≈2×0.891＝1.782，所以(cos 72°＋cos 18°)的近似值为1.78，故选B.
2．解析：∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.
3．解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝.
基础点二　二倍角的正弦、余弦及正切
基础小测
1．解析：因为α是第二象限角，且tan α＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.故选C.
2．解析：∵cos x＝，∴cos 2x＝2cos2x－1＝.
【考点突破】
考点一　和差角(或二倍角)公式直接应用(高考热度：★)
[例1] 解析：因为sin α＝，cos 2α＝1－2sin2α
＝1－2×＝1－＝.
[例2] 解析：∵2sin 2α＝cos 2α＋1，∴4sin α·cos α＝2cos2α.∵α∈，∴cos α＞0，sin α＞0，∴2sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，即sin2α＝.又sin α＞0，∴sin α＝.故选B.
[例3] 解析：tan＝＝＝，解得tan α＝.
考点微练
1．解析：因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．解析：∵tan＝，tan＝，∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝1.
3．解析：∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－.
又tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.
4．解析：＝＝＝＝.
考点二　和差角(或二倍角)公式的灵活运用(高考热度：★★★)
考向1　角的变换
[例4] 解析：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－.由sin(α＋β)＝，得cos (α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－或cos β＝.
考点微练
1．解析：因为α为锐角，且cos ＝，所以sin＝＝，所以sin＝sin＝2sincos ＝2××＝.故选B.
2．解析：∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.
考向2　公式的逆用与变形
[例5] 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
考点微练
1.解析：＝＝＝＝.
2．解析：＝＝＝－1.
考向3　三角函数式的综合变换
[例6] 解析：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，
∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
对点变式
解析：∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin.
又1＋sin θ－cos θ＝2sincos ＋2sin2
＝2sin，
∴原式＝＝－cos θ.
考点微练
解析：
原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝ －sin 10°
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.

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