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九年级数学上册《24.3正多边形和圆》导学案
1、认识圆的内接正多边形，以及圆的内接正多边形的半径、中心角和边心距
2、学会运用正多边形的知识来答题
重点：学会运用正多边形的知识来答题
难点：结合以前学的正多边形的内角和、直角三角形勾股定理的知识来解答正多边形与圆的题目
1、正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1、（2021 双流区模拟）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接，．
在正五边形中，，
，
，
，
，
2、（2021 成都模拟）如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为　　
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【解答】解：连接，，如图所示：
六边形是正六边形，
，
当点不在上时，，
当点在上时，，
3、（2017九上·孝义期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则∠F=（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】D
【解答】连接OA、OB，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠OAF＝90°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOB＝ ＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝ ＝54°，
∴∠BAF＝90°－54°＝36°，
∵∠ABF＝ ＝72°，
∴∠F＝180°－36°－72°＝72°，
4、（2021 上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　______　．
【答案】
【解答】解：如图
，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
5、（2021九上·临海期末）如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1=　 　度.
【答案】72
【解答】正五边形的每个内角为
∵多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图
∴△ABC、△BCD均为等腰三角形，且∠ABC=∠BCD=108°
∴
∴∠1=∠BCA+∠CBD=72°
6、（2019九上·鼓楼期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【解答】（1）解：如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）解：连接OF，设BE与DF交于G点
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
∴EG= OE=2
∴
∴FD=2FG=
1、（2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接，，
正方形内接于，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
2、（2020秋 滨海新区期末）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为　　
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接、．
六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
3、（2020秋 长春期末）如图，与正六边形的边、分别交于点、，点为劣弧的中点．若，则的半径为　　
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接，
正六边形，
，
点为劣弧的中点，
，，
是等边三角形，
．
则的半径为．
4、（2021九上·和平期末）已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为　 　 ．
【答案】4
【解答】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，
而三角形的边长就是正六边形的半径，
又∵正六边形的周长为24，
∴正六边形边长为24÷6=4，
∴正六边形的半径等于4．
5、（2021九上·鹿城月考）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为　 　________度.
【答案】36
【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，∠A＝ ×（5 2）×180＝108°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ ×（180° 108°）＝36°.
6、（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
【解答】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
本节课所学知识点
错题及错误原因
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1、认识圆的内接正多边形，以及圆的内接正多边形的半径、中心角和边心距
2、学会运用正多边形的知识来答题
重点：学会运用正多边形的知识来答题
难点：结合以前学的正多边形的内角和、直角三角形勾股定理的知识来解答正多边形与圆的题目
1、正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2、正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1、（2021 双流区模拟）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于　　
A． B． C． D．
2、（2021 成都模拟）如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为　　
A．或 B．或 C． D．
3、（2017九上·孝义期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则∠F=（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
4、（2021 上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　______　．
5、（2021九上·临海期末）如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1=　 　度.
6、（2019九上·鼓楼期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
1、（2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
2、（2020秋 滨海新区期末）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为　　
A． B． C．2 D．
3、（2020秋 长春期末）如图，与正六边形的边、分别交于点、，点为劣弧的中点．若，则的半径为　　
A．2 B． C． D．
4、（2021九上·和平期末）已知正六边形的周长是24，则这个正六边形的半径为　 　 ．
5、（2021九上·鹿城月考）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为　 　________度.
6、（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
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