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4.5.2 用二分法求方程的近似解
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设函数，用二分法求方程的近似解时，取区间，算得，，，则方程的根落在区间( )
A. B. C. D. 不能确定
某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在下次应计算的函数值为( )
A. B. C. D.
用二分法求方程 在内的近似解，则近似解所在的区间为( )
A. B. C. D.
若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
下列函数能用二分法求零点的是( )
A. B.
C. D.
用二分法求函数的零点近似值为精确度为，( )
A. B. C. D.
在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
设，某学生用二分法求方程的近似解精确度为，列出了它的对应值表如下：
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为( )
A. B. C. D.
以下每个图象表示的函数都有零点，能用二分法求函数零点的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是 ．
已知函数的图象如图所示，其中可以用二分法求零点的零点个数为 ．
用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算的的值为
若函数的一个零点正数附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
则方程的一个近似解精确度为
已知图象连续不断的函数在区间内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值精确度为，则应将区间至少等分的次数为 ．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数．
证明方程在区间内有实数解；
使用二分法，取区间的中点三次，指出方程的实数解在哪个较小的区间内．
本小题分
已知函数．
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值精确度；若没有零点，说明理由参考数据：，，，，，
本小题分
已知函数在区间上单调，且有一个零点．
求实数的取值范围
若，用二分法求方程在区间上的根．
本小题分
已知函数为上的连续函数．
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题．
根据零点存在性定理判定方程的近似解所在的区间．
【解答】
解：根据，，得到，
所以零点在．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的零点存在性定理，由与的值异号得到函数在区间内有零点，再根据二分法的定义即可求出在下次应计算的函数值．
本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点存在性定理的应用．
【解答】
解：，，，
在区间内函数存在一个零点
该同学在下次应计算的，即，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查零点判定定理的应用，直接利用零点判定定理以及二分法求根的方法，即可判断．
由“方程在内近似解”，设函数，可得，，，，即可求得结果．
【解答】
解：设函数，在其定义域内单调递增，
因为，，，
由零点存在性定理知，在区间内必有根，
利用二分法得，
由零点存在性定理知，方程的根在区间．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数性质，二分法求零点的定义，考查了分析能力，属于基础题．
先根据函数存在零点，得到的图象与轴有交点，不能用二分法求该函数的零点，则的图象与轴有且仅有一个交点，根据即可求解．
【解答】
解：二次函数存在零点，
的图象与轴有交点，
又不能用二分法求函数的零点，
的图象与轴有且仅有一个交点，
，解得．
即的取值范围是．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二分法求函数零点所需要的前提条件．
根据二分法的定义，函数必须是连续函数，且函数在零点两侧的函数值异号，从而可得结论．
【解答】
解：对于：恒成立，故不能用二分法求零点；
对于：恒成立，故不能用二分法求零点；
对于，，，，，
故能用二分法求零点；
对于：恒成立，故不能用二分法求零点，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点存在性定理和二分法求函数的近似解，是较难题．
根据二分法计算步骤计算即可，注意精确度要求．
【解答】
解：易知函数在上单调递增，
又，，
所以，得函数零点在区间内，精确度为；
，得函数零点在区间内，精确度为；
，得函数零点在区间，精确度为；
，得函数零点在区间，精确度为；
，得函数零点在区间，精确度为；
，
函数的零点的近似值为，
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可求出第二次所取的区间，利用同样的方法即可求得第三次所取的区间．
本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题．在解答的过程当中充分体现了二分法解答问题的规律、数据的分析和处理能力．属基础题．
【解答】
解：第一次所取的区间是，
第二次所取的区间可能为，；
第三次所取的区间可能为，，，
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．
先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案．
【解答】
解；由题中参考数据可得根在区间内，
故通过观察四个选项，符合要求的方程的近似解可以为和，故B、符合题意．
故选BC．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二分法求方程的近似解，其中熟练掌握二分法求方程近似根的适用范围是解答本题的关键，属于基础题．
根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值，可判断各选项．
【解答】
解：根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象进行分析可知，选项A，，都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．
故选ABD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二分法的应用，注意二分法分析函数零点的步骤，属于基础题．
根据题意，令，求出、、的值，由二分法的步骤分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，令，
，，，，
所以下一个有根的区间是．
故答案为：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二分法、函数的零点存在性定理，属于基础题．
结合函数的零点存在性定理，根据用二分法求零点的条件是零点附近的函数值要异号即可得出答案．
【解答】
解：用二分法求零点时零点附近的函数值要异号，
由的图象可以直观看出，可以用二分法求零点的零点个数为．
故答案为：．

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了二分法的应用，属于基础题．
由，其中一个零点；第二次应计算中点函数值．
【解答】
解：，
其中一个零点；
第二次应计算的的值为；
故答案为：；．

13.【答案】可以是之间的任意一个数
【解析】
【分析】
按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于时，只需从该区间上任取一个数即可．
本题考查了二分法求近似根的解法步骤，在解题时要注意先判断该解区间是否单调，然后再进行计算，此类题计算量较大，要避免计算错误．
【解答】
解：设近似根为，因为，其对称轴为，且，，所以原函数在区间上是单调增函数；
因为，所以；
取，，，；
取，，又，；
取，，又，，
取，，又，，此时；
所以可以是之间的任意一个数．
故取．
故答案为：可以是之间的任意一个数

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二分法，根据二分法求方程的近似根和精确度的定义，每次的区间长度是上一次的一半可得第次的区间长度为，结合条件计算结果即可．
【解答】
解：由 ，得 ，故的最小值为．

15.【答案】证明：因为，，
所以．
由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解．
解：取，得，
所以，下一个有解区间为；
再取，得，
所以，下一个有解区间为；
再取，得，
所以，下个有解区间为．
综上所述，所求的实数解在区间内．
【解析】本题考查了函数零点存在性定理和用二分法求方程的近似解，属于拔高题．
利用零点存在性定理即可；
利用二分法进行判断即可．
16.【答案】解：函数区间上是增函数，
理由如下：令，
由于，
即，
故函数在区间上是增函数；
是增函数，
，，
函数在区间内有且仅有一个零点，
，
，
函数的零点在内，
，
零点的近似值为．
函数的零点近似值取区间中的任意一个数都可以
【解析】本题考查了函数单调性的定义，零点存在定理，二分法等知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．
由条件利用函数的单调性的定义即可说明；
结合函数的单调性，由零点存在定理，得到函数在区间内有且只有一个零点，再根据二分法即可求出函数零点的近似值．
17.【答案】解：若，则，与题意不符，
由题意得，
即，或，
由解得，由无解，
实数的取值范围为．
若，则，
可得：在上连续，且是单调的，
，，，
函数的零点在上，又，
方程在区间上的根为．

【解析】本题考查函数零点存在性定理以及二分法，属于中档题．
由函数零点存在性定理可得，从而解得的取值范围；
首先写出，再计算，，，由函数零点存在性定理可得函数的零点在上，由，可得结果．
18.【答案】解易知函数在区间上单调递减，
在区间上存在零点，
，
实数的取值范围是．
存在．当时，，易求出，．
，在区间上单调递减，
函数在上存在唯一零点．
，
，
．
此时，
，
，
．
此时，
，，
．
此时，
，，
．
此时，满足精确度，停止二分，
所求区间为．
【解析】根据函数零点存在定理即可求出的范围；
根据二分法的定义，一步步的即可求出．
本题考查了函数零点存在定理和二分法，考查了运算求解能力．
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