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高考一轮复习椭圆解答题练习
一．【定值问题】
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，△AF1F2是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆O：x2+y2＝上任意一点P处的切线l交椭圆C于点M，N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
2．已知椭圆C1：（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2＝8x的焦点．
（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为（1，1），求直线MN的斜率；
（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．
3．已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|＝2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2＝k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
4．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），问直线AP与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
二．【定点问题】
5．已知椭圆C：，右顶点A（2，0），上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2＝60°，过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．
6．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，∠F1AF2＝，周长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过点A的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线AM与AN的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
7．已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．
（1）求椭圆C的方程及焦点的坐标；
（2）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8．设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
三．【定值线问题】
9．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.
10．已知点是离心率为的椭圆：（）上位于第一象限内的点，过点引轴、轴的平行线，交轴、轴于，两点，交直线于，两点，记与的面积分别为，，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．
11．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：点在定直线上．
四．【范围问题】
13．已知P（2，0）为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PA，PB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若＝2，求△OAB面积的最大值．
14．已知椭圆＝1（a＞b＞0）右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围；
15．设椭圆的离心率为，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形AMBF1面积的最大值．
16．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使|AN|＝|BN|，求△ABN的面积的最小值．
五．【同类型巩固问题】
17．如图，F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，椭圆C上有两个不同的点A，B，且A，B均在x轴上方，点P满足＝λ，＝λ．
（1）求椭圆两个焦点的坐标；
（2）判断|PF1|+|PF2|是否为常数？说明理由．
18．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p≥0）的焦点重合．C1的离心率为，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）过点M（3，0）的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．
19．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．
20．已知椭圆，点为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
六．【拔高题练习】
21．椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，△OAB面积的最大值为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x＝t交x轴于点P，其中t＞a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O，A，M，N四点共圆，求t的值．
答案解析
1．
【解答】解：（1）由A为椭圆的上顶点，△AF1F2是面积为4的直角三角形．
可得： 2c b＝4，且b＝c，
解得：b＝c＝2，所以a2＝2b2＝8，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）当切线l的斜率不存在时，其方程x＝±，
将x＝代入椭圆的方程：+＝1得y＝±，设M（，），N（，），
又P（，0），所以 ＝﹣，
同理可得x＝﹣，也有 ＝﹣，
当切线l的斜率存在时，设方程为：y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线l与圆O：x2+y2＝相切，所以＝，即3m2＝8+8k2，联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
x1+x2＝﹣，x1x2＝，
又因为 ＝（+） （+）＝||2﹣（+） + ＝﹣||2+ ，
又 ＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝++m2＝，
因为3m2＝8+8k2，
所以 ＝0，
综上所述： ＝﹣．
2．
【解答】解：（1）抛物线C2：y2＝8x的焦点（2，0），则c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，
∴椭圆的标准方程：，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，两式相减得：＝﹣ ，
由MN的中点为（1，1），则x1+x2＝2，y1+y2＝2，
∴直线MN的斜率k＝＝﹣，
∴直线MN的斜率为﹣；
（2）由椭圆的右焦点F2（2，0），当直线AB的斜率不存在或为0时，+＝+＝，
当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y化简整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，
△＝（﹣8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣8）＝32（k2+1）＞0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
则m＝＝，同理可得：，
∴＝（+）＝，
综上可知：是定值．
3．
【解答】解：（1）由题意，F1（﹣，0），F2（，0），根据椭圆定义|PF1|+|PF2|＝2a，
所以2a＝+＝4，
所以a2＝4，b2＝a2﹣c2＝1
椭圆C的方程；
（用待定系数法，列方程组求解同样给分）
（2）设直线AB：y＝kx+m，（km≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
△＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，
因为k1k2＝k2，所以 ＝k2，
即km（x1+x2）+m2＝0（m≠0），解得k2＝，
|OA|2+|OB|2＝x12+x22+y12+y22＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2＝5，
所以|OA|2+|OB|2＝5为定值．
4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，b＝1，结合a2＝b2+c2，解得，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1 （k≠2），代入，得
（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，
由已知△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则，，
从而直线AP与AQ的斜率之和：
＝＝．
5．
【解答】解：（1）由题意得：a＝2，
∵∠F1BF2＝60°，
∴∠OBF2＝30°，|OB|＝b，|OF2|＝c，
∴|BF2|＝a，∴，∴，，
∴椭圆方程为．
（2）设直线AD：y＝k（x﹣2）（k≠0），*
令x＝0，则y＝﹣2k，∴E（0，﹣2k），
将*代入，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，
设D（xD，yD），则，∴，
所以，
设P（xP，yP），∵P为AD的中点，
∴，，
∴，
设存在Q（x0，y0）使得OP⊥EQ，则，，
∴，即，对任意的k≠0都成立，
∴，∴，
∴存在使得OP⊥EQ．
6．
【解答】（1）解：由，
∴，①
又△AF1F2的周长为，
∴，②
联立①②，解得，
∴椭圆方程为；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，x1＝x2，y1＝﹣y2，
得x1＝2，此时M，N重合，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l方程：y＝kx+m，
交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由．
，
依题：，
∵y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
∴，
∴．
∴直线l方程为：y＝kx+m＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，
则过定点（2，﹣1）．
7．
【解答】解（1）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，
解得a2＝3，
所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；
（2） 设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0），
则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx
因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），
因为直线AM与椭圆+y2＝1联立：
，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，
可得xM＝﹣，yM＝+1＝，
即M（﹣，），因为B（0，﹣1），
直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，
联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，
由题意可得Q（﹣12k，3），
设T（x0，y0），
所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），
由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，
所以（x0﹣，y0﹣3） （x0+12k，y0﹣3）＝0，
可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，
要使①成立，
，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，
所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．
8．
【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以△＞0，，
所以，＝，
因为，
所以（x1，y1﹣1） （x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），
所以直线l过定点（0，2）．
9．
【解析】（1）由题意，且，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立方程
整理得，，
由，，即.
直线的方程为.①
过且与轴垂直的直线的方程为.②
联立①②可得.
点在定直线上.
10．
【解析】（1）设，轴，轴，，，，，
，，
，
，又，，
解得：，，故椭圆的方程为．
（2）①当直线斜率存在时，设其方程为：，设，，
联立，得，，
由韦达定理得，，．
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为．
联立消去得，整理得
，
所以直线，的交点一定在直线上；
②当直线的斜率不存在时，直线，与轴重合，过点，
由①②知直线，的交点在直线上．
11．
【解析】（1）抛物线的焦点坐标为 ，
直线的方程为：，设原点到直线的距离为，
，
椭圆方程为；
（2）因为直线与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即，
，点的坐标为：，
的方程为
联立直线方程：
解得
在这条定直线上.
12．
【解析】（1）已知椭圆的离心率为，且过点，
所以，
又，则，所以，
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立得，
由题意知恒成立，
由韦达定理得，所以，
由于为线段的中点，因此，，
此时．
所以所在直线方程为，
将其代入椭圆的方程，并由，
解得，
又，
由得，
因此，点在定直线上．
13．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA kPB＝＝﹣．
又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，
又a＝2，解得b＝1．
∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，
∵＝2，∴y1＝﹣2y2，
∴+＝﹣，代入可得：m2＝．
∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，
∴S2＝m2 ＝××＝9×．
∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．
∴△OAB面积的最大值为1．
14．
【解答】解：（1）由题意：c＝1，＝，
∴a＝，b＝c＝1，
则椭圆的方程为+y2＝1；
（2）①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时，S＝|AB| |CD|＝×2×＝2
②当两直线斜率存在且都不为0时，
设直线AB方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
将其带入椭圆方程整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1﹣x2|＝
同理，|CD|＝，
则S＝|AB| |CD|＝××＝
＝＝2﹣∈[，2），
当k＝±1时，S＝
综上所述四边形面积范围是[，2]．
15．
【解答】解：（1）依题意，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4，则2a＝4，a＝2，
因为，所以c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x＝my+1，
则由，可得3（my+1）2+4y2＝12，
即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＝36m2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0，
又因为，所以四边形AMBF1是平行四边形，
设平面四边形AMBF1的面积为S，
则，
设，则m2＝t2﹣1（t≥1），
所以，因为t≥1，所以，所以S∈（0，6]，
所以四边形AMBF1面积的最大值为6．
16．
【解答】解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2＝2px上，
∴16＝4p，
解得p＝4，
∴椭圆的右焦点为F（2，0），
∴c＝2，
∵椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，
∴＝，
∴a＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝8﹣4＝4，
∴椭圆C1的方程为+＝1，
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝
∵M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，
∴k1 k2＝ ＝＝＝﹣，
解得m＝0，
∴直线l的方程为y＝kx，线段AB的中点为坐标原点，
由弦长公式可得|AB|＝＝，
∵|AN|＝|BN|，
∴ON垂直平分线段AB，
当k≠0时，设直线ON的方程为y＝﹣x，
同理可得|ON|＝＝，
∴S△ABN＝|ON| |AB|＝8，
当k＝0时，△ABN的面积也适合上式，
令t＝k2+1，t≥1，0＜≤1，
则S△ABN＝8＝8＝8，
∴当＝时，即k＝±1时，S△ABN的最小值为．
17．
【解答】解（1）由椭圆的方程：＝1可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2﹣b2＝2﹣1＝1，
所以左右焦点的坐标分别为：（﹣1，0），（1，0）；
（2）如图，连接AF1，BF2，易知＝λ，所以AF1∥BF2，
设直线AF1交椭圆于另一个点C，
设A（x1，y1），C（x2，y2），P（x，y），则B（﹣x2，﹣y2），
设直线AC：x＝ty﹣1，代入椭圆的方程可得：（2+t2）y2﹣2ty﹣1＝0，则y1+y2＝，y1y2＝，
直线AF2的方程为：x＝y+1，又x1＝ty1﹣1，即x＝（t﹣）y+1①，
同理可得，直线BF1：x＝（t﹣）y﹣1，②
由①②可得，
所以y2＝＝，x2＝9t2y2，
消t可得+＝1（y＞0），
P点轨迹为椭圆的一部分，且仍以F1，F2为焦点，
所以|PF1|+|PF2|是常数，且值为
18．
【解答】解：（1）由C1的离心率为，可得＝，所以a＝2c，
因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以a＝，p＝2a，
所以可得p＝4c，
过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4，令x＝c代入抛物线的方程：可得y2＝2p c，所以|y|＝＝2c，
即4＝2，解得c＝1，所以a＝2，p＝4c＝4
由b2＝a2﹣c2可得b2＝4﹣1＝3，
所以椭圆C1和抛物线C2的方程分别为：+＝1，y2＝8x；
（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得E（x2，﹣y2），
直线与椭圆联立：，整理可得：（4+3m2）y2+18my+15＝0，△＝182m2﹣4（4+3m2） 15＞0，可得m2＜7，y1+y2＝，y1y2＝，
直线AE 的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1），整理可得：y＝x﹣+＝x﹣＝x+＝（x﹣）
所以当x＝时，y＝0，即过定点（，0），
所以可证直线AE过定点（，0）．
19．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，则，
设P（x，y），则，
∵．
解得．
所以椭圆C的方程为．
（2）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，
得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，
因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0
即，即，
得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，
即．解得：m＝1．
直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．
又
令，∴∴
又．
20．
【解析】（1）设，，
则，
所以，
因为，所以，所以，
所以；
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆无公共点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设，即，
联立，得，
由得，
设、，则，，
设，由，得（考虑线段在轴的射影），
所以，
于是，整理得，
又，代入上式，得，所以点总在定直线上．
21．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆E的标准方程为+＝1；
（2）由题意可得P（t，0），A（2，0），t＞2，
设点B（x1，y1），C（x2，y2），M（t，yM），N（t，yN），
∵O，A，M，N四点共圆，
∴|PO| |PA|＝|PM| |PN|，
即t（t﹣2）＝|yM yN|，
设直线PB的方程为x＝ky+t，
代入椭圆方程+＝1可得（3k2+4）y2+6kty+3t2﹣12＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝，
直线BA的方程为y＝（x﹣2），当x＝t时，yM＝（t﹣2）＝（t﹣2），
直线CA的方程为y＝（x﹣2），当x＝t时，yN＝（t﹣2）＝（t﹣2），
∴yM yN＝（t﹣2）2 ＝（t﹣2）2
＝（t﹣2）2 ＝（t2﹣4），
∴t（t﹣2）＝（t2﹣4），
解得t＝6．

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