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2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
看下面几个问题
[师]大家知道两点确定一条直线，那么经过一点有多少条直线？
[生]无数条．
[师]那么再给出什么条件就可确定一条呢？
[生]倾斜程度．(方向)
[师]那么我们今天就将开始学习反应直线倾斜程度的两个量——倾斜角和斜率．
1．倾斜角的相关概念
(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan α.
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝.
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°.
3．直线的方向向量坐标
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　)
(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　)
(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　)
(4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　)
[提示]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)
A．0°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.]
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A． B． C．1 D．
A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.]
4．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是________．
　[由斜率公式可得＝1，
解之得m＝.]
直线的倾斜角
【例1】　求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)
[解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
①　　　　　　②　　　　　　　　③
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[跟进训练]
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α　　　　　　 B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
故选D.]
直线的斜率
【例2】　(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)
A．1 B．5 C．－1 D．－5
(2)(教材P55练习T5改编)经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________.
(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．
[思路探究]　(1)利用公式k＝(x1≠x2)＝tan α；
(2)利用方向向量的共线求解；
(3)利用公式k＝tan α(α≠90°)．
(1)D　(2)2　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.
(2)由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2.]
(3)[解]　直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴k＝tan 30°＝，k＝tan 120°＝－.
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
[跟进训练]
2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．
4　[依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1.
kAC＝＝＝－1，
kBC＝＝，
由题意得kAC＝3kBC，
∵－1＝3×，解得m＝4.]
直线的倾斜角和斜率的综合
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示]　斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
[提示]　当k＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角；
当k＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角；
当k＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.
3．直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大吗？
[提示]　不是，在内，k随α的增大而增大，在内，k也是随α的增大而增大．
【例3】　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[思路探究]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
1．[变条件]本例中，三点坐标不变，其它条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围．
[解]　如例题中图所示，
根据斜率公式得kAB＝＝－，
kBP＝＝1，
∴直线l的斜率的取值范围为.
2．[变条件]本例中，A、B两点坐标不变，其它条件去掉，在直线y＝－1上求一点P，使PA、PB的斜率互为相反数．
[解]　∵点P在直线y＝－1上，∴可设点P(x，－1)．
又条件可知kPA，kPB一定存在．
由斜率公式得kPA＋kPB＝＋＝0，
解得x＝.
故所求P点坐标为.
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　　　 B．－2
C．2 D．不存在
B　[由直线的斜率公式，得k＝＝－2.]
2．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
C　[直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90°＜α＜180°，选C.]
3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是________．
　[依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.]
4．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
60°或120°　[有如图两种情况：
①　　　　　　　②
第一种情况倾斜角α＝90°－30°＝60°，
第二种情况倾斜角α＝90°＋30°＝120°.]
5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．
[解]　l2的斜率为k2＝＝1，∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
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