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《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》能力探究
分析计算能力 求直线的斜率
1.斜率的概念:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,即.
2.斜率取值范围的两种求法:
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
典例1、[数学运算]已知直线过点,且与以为端点的线段有公共点,则直线的斜率的取值范围是___________.
解析: 如图,因为,,
所以直线的斜率,.答案
点拨：本题采用几何法分析计算斜率的取值范围.
分析计算能力 求直线方程的方法
1.一般地,直线中的系数确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程,用待定系数法即可求解.
2.对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论:设直线与的方程分别为不同时为0不同时为0),则或.
要点辨析
1.选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
2.求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式,且.
典例2、 [数学运算]求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点,且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点,倾斜角等于直线的倾斜角的2倍;
(3)经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解析：解:(1)设直线在轴,轴上的截距均为,若,即过点和,所以的方程为,即.
若,设的方程为,
因为过点,所以,
所以,所以的方程为.
综上可知,所求直线的方程为或.
(2)由已知设直线的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为.因为,所以.
又直线经过点,因此所求直线方程为,即.
(3)由题意可知,所求直线的斜率为.
又过点,由点斜式得.
故所求直线的方程为或.
点拨：本题关联三角函数中的二倍角公式分析求得斜率,再求直线方程.
综合问题解决能力　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
1.求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.
2.求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.
在解决与直线方程有关问题的过程中要注意：
（1）不要忽略直线方程成立的条件.
（2）不要忽略斜率不存在的情况.
（3）不要忽略两直线重合的情形.
典例3、[逻辑推理]已知直线过点,且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点,为坐标原点,当面积最小时,直线的方程为____________.
解析：设直线的方程为,则,当且仅当,即时,等号成立.故直线的方程为,即.答案
点拨：本题需将函数方程推理转化为函数法和均值不等式法求最值,属于综合性问题.
概括理解能力　距离问题的常见题型及解题策略
1.求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例4、[数学运算]若分别为直线与上任意一点,则的最小值为_____________.
解析：因为,所以两直线平行,
将直线化为,
由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离,
即,所以的最小值为.答案
点拨：本题利用对两平行线间距离公式的理解进行运算解题.
综合问题解决能力 对称问题
1.一个点关于另一个点对称点的求解方法
若点和点关于点对称,则由中点坐标公式得进而求解.
2.点关于直线对称的解题方法
若两点与关于直线对称,则由方程组
可得到点关于直线l对称的点P2,的坐标(x2, y2)().
3.线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程.
(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
(3)线关于点对称的实质
“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”,只要在直线上取两个点,求出其对称点的坐标即可,可统称为“中心对称”.
典例5、[直观想象]在等腰直角三角形中,,点是边上异于的一点.光线从点出发,经,CA反射后又回到点(如图).若光线经过的重心,则的长度为（ ）
A.2
B.1
C.
D.
解析：以所在直线为轴,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知,则直线的方程为,设,由对称知识可得点关于所在直线的对称点的坐标为,点关于轴的对称点的坐标为,根据反射定律可知所在直线就是光线所在直线.由两点坐标可得所在直线的方程为,设的重心为,易知.因为重心在光线上,所以有,即.所以或,因为,所以,即.答案D
点拨：本题属于综合问题,利用坐标法和点关于直线对称的解题方法进行直观想象求对称点坐标.
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