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《空间向量的应用》知识探究
探究点1直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
定义:轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是:.
2.直线的斜率
(1)定义:倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用表示.即
.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,0;当时,不存在.
(2)过两点的直线的斜率公式:.
要点辨析
1.过两点的直线的斜率公式中注意下面四点
(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为.
(2)与的顺序无关.
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得.
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
2.直线的倾斜角就是轴正向与直线向上方向之间所成的角.
3.两直线垂直,则两直线斜率乘积为.
4.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制.
学科素养: 熟练利用图象寻找两直线的倾斜角的关系，体现逻辑推理、直观想象的学科核心素养.
典例1[概括理解能力]若两直线的倾斜角和斜率分别为和,则下列四个命题中正确的是( )
A.若,则两直线的斜率:
B.若,则两直线的斜率:
C.若两直线的斜率:,则
D.若两直线的斜率:,则
解析: 本题主要考查对直线的斜率与倾斜角之间的关系的理解、正切函数的单调性及其应用等知识的运用.
当时,满足,但是两直线的斜率;
当时,直线的斜率不存在,无法满足;若直线的斜率,满足,但是,不满足;
若两直线的斜率,结合正切函数的单调性可知.答案
探究点2 直线的方程
1.点斜式:,直线斜率为,且过点.
2.斜截式:,直线斜率为,直线在轴上的截距为.
3.两点式:,即不包含平行于轴或轴的直线,当写成的形式时,方程可以表示任何一条直线.
4.截距式:,其中直线与轴交于点,,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式.
5.一般式:不全为0).
要点辨析
1.特殊的直线方程
(1)平行于轴的直线:(为常数);平行于轴的直线:(为常数).
(2)直线的点斜式方程,当直线的倾斜角为时,,直线的方程是;当直线的倾斜角为时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因为上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是.
2.求直线方程的常用方法
(1)直接法:根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程.
(2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程.
3.直线在轴上的截距是直线与轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离.
学科素养:根据具体要求，用不同形式的直线方程解决简单问题，体现数学运算、直观想象的核心素养.
典例2-1 [推测解释能力]直线的方程为0,若满足且,则直线不经过的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析: 本题主要考查直线的几何要素,通过直线的斜率和截距推测直线的位置.
依题意可知该直线的斜率为轴上截距为0,所以该直线过一、二、三象限.答案
典例2-2 [分析计算能力]的三个顶点分别为,求:
(1)边所在直线的方程;
(2)边上中线所在直线的方程;
(3)边的垂直平分线的方程.
解析: 解:(1)因为直线经过和两点,所以由两点式得的方程为,即.
(2)设边的中点的坐标为,则.则边的中线过点两点,由截距式得所在直线的方程为,即.
(3)由(1)知,直线的斜率,则的垂直平分线的斜率.由(2)知,点的坐标为.由点斜式得直线的方程为,即.
点拨：本题考查直线方程的五种形式的灵活运用,关键在于求直线方程的方法的选取, 并进行分析计算即可求出方程.
探究点3 直线系方程
1.平行直线系
平行于已知直线是不全为0的常数)的直线系:(为常数).
2.过定点的直线系
(1)斜率为的直线系:,直线过定点;
(2)过两条直线的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.
3.垂直直线系
垂直于已知直线是不全为0的常数)的直线系:
要点辨析
对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等形式，利用参数属于R，则恒等式系数为0，列出关于x,y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标；特殊直线法是取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过解两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.
学科素养: 由直线的方程结合图形特点，推导出直线系方程，体现逻辑推理、数学运算的核心素养.
典例3、[概括理解能力]证明:直线是参数且过定点,求出定点坐标.
解析：解法1:(恒等式法)直线方程化为:,
解得
∴直线是参数且过定点.
∴直线是参数且过定点.
解法2:(特殊直线法)取得0,联立解得,将代入检验满足方程,
∴直线是参数且过定点.
点拨：本题是证明直线系过定点问题,可用恒等式法和特殊直线法.
探究点4 两直线平行与垂直
1.当时,
(1).
(2).
(3)与重合.
(4)与相交.
2.一般地,当不全为不全为0时,
(1)或者
(2).
(3)与重合.
(4)与相交,此判断方法适用所有直线.
要点辨析
1.注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
2.对于直线,也可以表示为方程组
此判断方法排除中有等于零的情况,当中有等于零的时侯方程较简单,两条直线的位置关系更容易确定.在判断两直线的位置关系时,比例式与的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.
学科素养：熟练掌握两直线平行与垂直的判定方法，体现数学运算的学科核心素养.
典例4-1、[分析计算能力]已知两直线和为何值时与满足下列条件:(1)相交;(2)平行.
解析：解:(1)和相交,应满足,得且.
当且时,和相交.
(2),应满足得或,当时,两直线重合.
只有当时,.
点拨：本题可以利用两直线平行与垂直的判定方法来分析计算求值.
典例4-2、[分析计算能力]求两条垂直直线和的交点坐标.
解析：解:由直线与互相垂直,得,所以.
当时,成为.
联立两条直线的方程,得到方程组
解方程组,得
所以,两条直线相交于点.
点拨：本题可以利用两直线垂直的判定方法和列方程组来计算出两直线的交点坐标,考查学生的分析计算能力.
探究点5距离问题
1.两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,则.
2.点到直线距离公式:一点到直线的距离.
3.两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
对于来说:.
要点辨析
1.应用点到直线的距离公式应注意直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
2.利用点到直线距离公式求直线方程时,要考虑直线方程的斜率是否存在.
3.直接利用两平行线间的距离公式,必须注意两直线方程中的系数对应相等.
学科素养：掌握几种距离公式，体现数学建模、逻辑推理、数学运算的学科核心素养.
典例5、[综合问题解决能力]已知直线恒过定点.
(1)若直线经过点且与直线垂直,求直线的方程;
(2)若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3,求直线的方程.
解析：解:(1)直线可化为,
由可得所以点的坐标为.
设直线的方程为,
将点代入方程可得,所以直线的方程为,
(2)①当直线斜率不存在时,因为直线过点,所以直线方程为,
符合原点到直线的距离等于3;
②当直线斜率存在时,设直线方程为,
即.
因为原点到直线的距离为3,所以,
解得,
所以直线的方程为.
综上,直线的方程为或.
点拨：本题可以利用点到直线的距离公式结合垂直的直线系方程和过定点的直线系方程、两条直线的交点坐标的知识点进行综合解题.
探究点6　共线问题
已知三点A,B,C，若直线AB,AC的斜率相同，则A,B,C三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.
要点辨析
判断三点共线的方法：
对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在：
(1)若都不存在，则三点共线.
(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线.
注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在，解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论.
学科素养：解决三点共线问题，体现数学运算、逻辑推理的核心素养.
典例6、[分析计算能力]若三点共线,则实数__________.
解析：由题意得.
三点共线,,
,解得.答案
点拨：由三点共线构造两条直线的斜率相等,问题便转化为解方程.再经过计算即可求解.
探究点7 坐标法解决问题
坐标法解决问题的一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系.
（2）设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标.
（3）利用已学的坐标公式列出方程(组),通过计算得出代数结论.
（4）反推回去,得到几何问题的结论.
要点辨析
1.坐标法
坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法
2.坐标法的基本思路
学科素养：利用坐标法解题，体现直观想象、逻辑推理的学科核心素养.
典例7、[说明论证能力]中,是边上任意一点与不重合),且.求证:为等腰三角形.
点拨：利用坐标法解题,首先要建立合适的直角坐标系,用坐标表示有关的量,通过代数运算,把结果转化成几何关系.
证明：如图,作,垂足为,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立直角坐标系.
设,0),
因为,
所以d),
即d).
又,故,
即.
所以,
即为等腰三角形.
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