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《2.1直线的倾斜角与斜率》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.
难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.
三、教科书编写意图及教学建议
本节内容包括直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式的推导，以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系.
为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.通过一点和一个方向可以确定一条直线，教科书引人倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；然后通过具体实例，由特殊到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角；把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线的斜率的概念；推导过两点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于直线的位置可以由点与斜率唯一确定，在点确定的前提下，可以由它们的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系.
教学时，要让学生认识到对确定直线位置的几何要素的刻画是按照“方向→倾斜角→倾斜角的正切值→斜率→直线上任意两点纵横坐标的差商”过程展开的.这个过程是对“直线”这个几何研究对象逐步代数化的过程，把“形”逐步转化为“数”，用“数”表示“形”.这个过程是解析几何研究几何图形的基本过程，它是不断深化、不断精致的过程.教科书正是按照这个过程展开本节的内容.
2.1.1倾斜角与斜率
为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如何表示？”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？
学生对于代数化并不陌生，如点与坐标的对应，函数的解析式与其图象的关系，等等，其实用数、式子表示图形就是代数化的一个侧面.教学时，可以结合这些知识让学生初步了解“代数化”的含义.解析几何的学习，就是在点与坐标一一对应的基础上，用代数方法刻画直线的几何特征，得到直线的斜率，进而建立直线的方程，把直线完全代数化，用方程研究与直线有关的问题.
教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.通过表示这些几何要素，建立直线上点的坐标满足的代数关系式，通过代数关系式研究直线.与欧氏几何不同的是，现在教科书把直线这个几何图形作为一个研究对象，而在欧氏几何中，直线是原始概念，对它的“定义”是描述性的.我们不研究它自身的几何性质，只是由直线出发，得到射线、线段、角等几何图形.教学时，要引导学生认识解析几何和欧氏几何对同一个研究对象不同的研究方法.这种不同的研究方法，反映了解析几何的特点：从图形的几何特征出发，建立图形的代数表达，用代数方法研究图形的几何性质.
1.确定直线位置的几何要素：点、方向
在平面直角坐标系中，点用有序数对表示.对于函数，解析式、表格、图象都是它的表示形式，它是满足某种对应关系的点的集合.学生对于解析式与图象之间的关系有一定的认识，但对于如何表示平面直角坐标系中的图形，如直线，从直线出发，建立直线上的点的坐标满足的关系式，还没有系统的认识.教学时，要引导学生回顾点与坐标的一一对应，函数解析式、表格与图象之间的关系，通过上述具体事例，帮助学生认识“数”与“形”的结合.
两点确定一条直线，是几何学中的一个基本事实.两点显然是确定直线位置的几何要素.两点确定了，经过这两点的直线也就唯一确定了.教学中可以提问学生，能直接用这两个点的坐标刻画这条直线吗？当然无法直接建立任意两点的坐标与直线几何特征的关系，也就是说，无法用坐标直接表示这条直线.此时，需要我们“另辟蹊径”，考虑确定直线位置的其他几何要素.由于在平面直角坐标系中考虑问题，平面直角坐标系本身是一个工具，它有原点、轴、轴等要素.因此教科书在“思考”栏目中提出问题：“如何利用坐标系确定它的位置？”也就是如何利用坐标系中的这些要素确定直线的位置.
回顾以前的学习，无论是在平面向量，还是在空间向量中，我们都学习了直线的方向向量.除了点之外，方向是直线的一个重要属性，也是确定直线位置的重要几何要素.一点和一个方向也唯一确定一条直线.两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，因为在平面直角坐标系中，经过一点的直线有无数条，它们的区别在于其方向不同.
虽然这是两种确定直线位置的几何要素，但是教科书把这两种方式统一起来.如教科书中的描述：设为直线上的任意两点，则是这条直线的方向向量，这样两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
根据习惯，以及平面直角坐标系的定义，容易想到，当直线水平时，把直线的方向确定为与轴正向相同，更方便；同样，当直线铅直时，把直线的方向确定为与轴正向相同，更方便.当直线既不水平，又不铅直时，可以定义直线向上的方向为这条直线的方向.这样，在平面直角坐标系中，给定一点，再加上上述定义的直线的方向，这条直线就唯一确定了.
2.直线的倾斜角：定量刻画直线的方向
直线的方向确定后，如何定量刻画这个方向，是接下来要考虑的问题.此时教科书提出问题，当直线的方向不同时，如何表示这些直线的方向？
在平面直角坐标系中，任意一条直线必定和轴相交、平行或重合，因此这条直线和轴必定形成一个角.我们知道，在欧氏几何中，无论是平行还是相交，两条直线的位置关系都可以用角度来刻画，这启发我们用这条直线和轴形成的角表示这条直线的方向，加上这条直线经过一个定点，就可以在平面直角坐标系中刻画一条直线的位置.定点和方向这两个几何要素缺一不可.教学时，可以让学生思考，如果直线只有方向相同，是什么情况？如果直线只经过一个定点，又是什么情况？两种情况下直线都不确定：第一种情况是一簇平行直线，第二种情况是一簇相交直线.
由于有必修第一册“第五章 三角函数”中定义始边固定，终边变动的任意角的经验，同时为了研究问题的方便，教科书用轴正向作为角的始边，这条直线向上的方向作为角的终边，即用轴正向与直线向上的方向之间所成的角定量刻画这条直线的方向.这个角是存在的、确定的，而且是唯一的.教科书把这个角定义为直线的倾斜角.教学时，可以提出这样的问题：“选取直线向下的方向与轴正向所成的角定量刻画这条直线的方向可以吗？有什么不方便？”通过回答上面的问题，进一步认识上述定义的简洁性.
显然，直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于轴正向位置的刻画.根据直线倾斜角的定义，可以定义其范围：当直线与轴平行或重合时，由于水平直线的方向向右，规定水平直线的倾斜角为.因此，直线的倾斜角的取值范围为
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这样，在平面直角坐标系中，如果直线的方向相同，那么它们的倾斜程度就相同，倾斜角就相等，也就是说，每一条直线都有唯一的倾斜角.教学时，可以向学生提出问题：“直线的倾斜角为180°可以吗？说说你的理由.”通过这样的问题，强化对倾斜角范围的认识.
在解析几何中，常把图形看成点的轨迹.有了上述关于方向、倾斜角和倾斜程度的描述，教学时，可以提出下面的问题：直线可以看作点运动形成的轨迹，那么点如何运动才能形成直线？直线上点的规律是什么？不难得出，直线上的点满足：经过其上任意两点，直线的方向不变、倾斜程度不变、倾斜角不变.也就是说，当点运动形成直线时，直线的倾斜角始终保持不变，这就是点运动变化形成直线过程中的不变性.简言之，经过直线上任意两点的直线是重合的，是一条直线.这为从代数角度刻画直线的倾斜角，进而给出斜率的概念奠定了基础.
3.用倾斜角的正切值进一步量化直线的倾斜程度
虽然我们用倾斜角刻画了直线的方向，但是倾斜角与直线上点的坐标尚未建立任何联系.为此，教科书指出：“由两点确定一条直线可知，直线由点唯一确定.所以，可以推断，直线的倾斜角一定与两点的坐标有内在联系.”
直线由两点唯一确定，两点由它们的坐标唯一确定.如何建立直线的倾斜角与其上两点坐标之间的联系呢？教科书给出了一个“探究”，目的是通过三个循序渐进的问题，逐步引导学生用直线上两点的坐标刻画直线的倾斜角.教学时，结合以前学习的正切函数的概念，向量法求解正切函数的值，由正切函数的值得到倾斜角的值，容易解决这个问题.这个“探究”分为三个层次，第一个层次是由经过原点的直线上的另一个具体点（包括原点共两个点）的坐标刻画直线的倾斜角；第二个层次是由不经过原点的直线上两个具体点的坐标刻画直线的倾斜角；第三个层次是由经过直线上任意两点的坐标刻画直线的倾斜角.显然，这三个问题的层次性很强，由特殊到一般，由具体到抽象，其中第一个问题是基础，逐层递进；由于平移后直线的倾斜角不变，后面两个问题都可以转化为第一个问题，即转化为通过原点的直线.运用向量方法，结合正切函数的定义，可以得出结论.
两个层次的问题，对于学生来说，虽然没有难度，但学生需要认识问题的立意.问题的目的不仅仅是求个角度，而是通过直线上两点的坐标定量刻画这条直线的倾斜角，把直线的倾斜程度代数化.对于第三个层次，是一般化表示两个点，需要分类讨论，教科书用向量做工具，在具体例子的基础上，一般化得出倾斜角的正切值与直线上任意两点坐标之间的关系，也就是纵坐标与横坐标的差商.用向量方法推导，推导过程和结论都具有一般性，即无论向量的方向如何，结论相同.
当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°，两点的纵坐标相等，此时仍然有.
4.用直线上任意两点纵横坐标的差商表示倾斜角的正切值：斜率
倾斜角的正切值显然是定量刻画直线的几何特征---倾斜程度的量，而且可以用直线上任意两点的坐标唯一表示.教科书把这个量定义为直线的斜率.倾斜角的正切值是对直线倾斜角的进一步刻画，用坐标表示斜率是对倾斜角的完全代数刻画.
上一版教科书中利用“坡度”这个直观的生活实例，建立了倾斜角的正切值与与直线上任意两点坐标之间的关系.可以说，两种方式各有特点.现在教科书这种处理方式是从数学内部逻辑联系的角度考虑，挖掘与已有知识的联系，特别是与向量的联系，建立角度与坐标两者之间的逻辑关系.联系的本质是：两点和一点一个方向都能唯一确定一条直线，两者具有内在一致性，可以利用方向向量，把这两者之间的一致性表示出来.通过“坡度”的实例引出斜率的处理方式：铅直高度与水平宽度两个量的比刻画倾斜程度（坡度），虽然可以为建立铅直与水平两个方向的“差商”提供经验支持，但是具有明显的不方便之处，当直线的倾斜角是钝角时，按照生活常识其坡度仍然是正数.也就是说，倾斜角互补的两条直线的坡度是一样的.此时无法建立倾斜角与纵横坐标差商之间一一对应的关系，不利于表达问题.教学时，结合“边空”中的表述，让学生思考这两种方式的差异，体会数学自身逻辑表达的完备性，感受数学内部的力量.
至此，对直线几何特征的刻画告一段落.教学时，要引导学生回顾刻画直线几何特征的完整过程：方向→倾斜角→倾斜角的正切值→斜率→直线上任意两点纵横坐标的差商，感受在平面直角坐标系中如何刻画直线的几何特征，建立直线几何特征的坐标表示，把直线代数化.
随着后续的学习，学生会逐渐发现直线的斜率是非常重要的量.有了过两点的直线的斜率公式后，可以用它判断两条直线平行或垂直，建立直线的方程，等等.
推导得出过两点的直线的斜率公式后，教科书给出了“思考”问题：（1）由于，所以已知直线上两点，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序无关.（2）当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式不适用，因为分母为0，式子无意义.教学时，上述两个问题都可以由学生自己思考完成.对于倾斜角为90°的直线，无法用斜率来刻画它.教学时，要特别注意，倾斜角为90°的直线，由于斜率不存在，在用斜率讨论问题时，要考虑斜率不存在的情况，此时要转化为倾斜角为90°的情况进行讨论.
教学时，让学生结合正切函数的取值特点及单调性，回答当直线的倾斜角在其范围内变化时，其斜率的变化情况.学生可能会有些陌生，此时教师要加强引导，回顾正切函数的取值特点及单调性.当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率仍然是随着倾斜角的增大而增大.除了90°之外，直线的倾斜角与它的斜率是一一对应的.教学时，切忌喧宾夺主，把正切函数的单调性作为教学的重点，而忽视本节主要内容：过两点的直线斜率公式的推导.
5.建立直线的方向向量与斜率的关系
在斜率公式的建立过程中，我们用直线上两点纵横坐标的差商刻画了直线的倾斜角，进而得到了直线倾斜角的正切值：斜率.而直线上两点纵横坐标的差也就是这条直线的方向向量的纵横坐标.这说明利用直线的方向向量可以表示斜率；反之，也可以用斜率表示直线的方向向量.教学时，要引导学生回顾必修第二册“第六章 平面向量及其应用”中，如何在平面直角坐标系中用坐标表示直线的方向向量.建立直线的方向向量与斜率的关系，可以多角度认识斜率和方向向量，斜率可以用纵横坐标的差商表示，它是一个数；由于斜率与方向向量对应，而方向向量可以用坐标表示，它是一个有序数对，所以也可以用表示方向向量的坐标刻画直线的斜率.
在用直线的斜率表示它的方向向量时，由于直线的方向向量不唯一，不同的方向向量可以用不同的坐标形式表示出来.这些表示形式上的不同，本质上是直线方向向量的模（长度）不同.为了考虑问题的方便，若直线的斜率为，我们常常用或表示直线的方向向量（其中）.尽管直线的方向向量有很多变式，但万变不离其宗，变的是向量的模，不变的“宗”是直线斜率.
教学时，需要注意的是，直线的斜率是一个数，而其方向向量的坐标表示是一个有序数对，形式上虽然不一样，但实质是一致的.
6.例1的教学
例1分为两步，第一步是根据两点的坐标，直接求经过两点的直线的斜率，是过两点的直线斜率公式的直接应用，目的是让学生了解公式的结构；第二步由斜率的正负以及正切函数的取值规律，可以得到直线的倾斜角是锐角或钝角，它是由斜率判断倾斜角，目的是让学生进一步认识倾斜角与斜率的关系.教学时，要适当复习正切函数的概念和性质，包括自变量的取值范围，函数值的取值规律，区间上的单调性，等等.至于角度是用角度制，还是用弧度制，没有特别的要求，两种度量值都可以.
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