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《直线和圆的方程》总体设计
直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.
以上是《标准（2017年版）》对本章内容的整体定位，也是本章编写的指导思想.
一、本章学习目标
1.直线的方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（3）能根据斜率判断两条直线平行或垂直.
（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一般式.
（5）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
（6）探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2.圆的方程
（1）回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
二、本章知识结构框图
三、内容安排
本章内容包括两部分.第一部分是直线的方程，包括“2.1直线的倾斜角与斜率”“2.2直线的方程”“2.3直线的交点坐标与距离公式”3节；第二部分是圆的方程，包括“2.4圆的方程”“2.5直线与圆、圆与圆的位置关系”2节.
本章第1节“直线的倾斜角与斜率”，主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜率之间的关系，过两点的直线斜率公式，以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置关系，为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）；然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角；把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线斜率的概念；建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系.
直线的方程是在直角坐标系中对直线的代数刻画.第2节“直线的方程”包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.点斜式方程是其他所有方程的基础，它是在经过两点的直线斜率公式的基础上，利用给定的点和斜率建立直线上任意一点所满足的代数关系.它一方面表示直线上的点满足这个关系式，另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率.而一般式方程揭示了任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.
第3节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程，判断两条直线的位置关系，求出两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离.而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式.教科书用向量方法得出平面上两点间的距离公式.对于点到直线的距离公式，教科书给出了两种推导方法，两种方法各有所长，在比较中可以体会坐标法与向量法的异同.而两条平行线间的距离可以转化为点到直线的距离求出，是点到直线的距离公式的“推论”.
圆是本章研究的第二类图形.虽然圆与直线是两类图形，但研究方法是一致的，即根据确定圆的几何要素，建立圆的方程，运用圆的方程研究与圆有关的几何性质.第4节“圆的方程”包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分内容，教科书从确定圆的几何要素：圆心、半径出发，根据两点间的距离公式，得到圆的标准方程.把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程.圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
本章最后一节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.本节综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系，以及一些简单的数学问题和实际间题.图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形之间的位置关系；也可以综合运用几何方法和代数方法，这种综合是充分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后得到图形之间的位置关系.
本章还安排了“方向向量与直线的参数方程”“笛卡儿与解析几何”“坐标法与数学机械化”等选学内容，目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几何定理机器证明的杰出贡献.
本章中，过两点的直线斜率公式是建立直线方程的基础，两点间的距离公式是建立圆的标准方程的基础，两个公式是本章内容的基础.在此基础上建立的直线的方程、圆的方程，以及运用它们研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离、直线与圆、圆与圆的位置关系等，它们是本章的重点.用向量方法推导点到直线的距离公式，以及对直线与直线的方程，圆与圆的方程之间关系的认识，学生理解可能会有一定的困难，它们是本章的难点.
本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法.坐标法是解析几何最基本的研究方法，它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想.
四、课时安排
本章教学时间约需16课时，具体分配如下（仅供参考）
2.1直线的倾斜角与斜率 约2课时
2.2直线的方程 约3课时
2.3直线的交点坐标与距离公式 约4课时
2.4圆的方程 约2课时
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 约3课时
小结 约2课时
五、本章编写思考
1.突出坐标法，让学生初步感悟用坐标法研究几何图形性质的程序性和普适性
几何图形的性质主要指图形的形状、大小和位置关系等.研究几何图形的性质有很多方法.在以往的学习中，常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究它们.这种借助图形的直观，在一些基本名词（如点、直线、平面等）基础上，以一些公理与公设为依据，运用同一律、矛盾律和排中律，以及大前提、小前提、结论的“三段论”式的逻辑规则，经过一定的推理，导出一系列命题的研究方法，常常称为综合法.本章采用了一种新方法---坐标法研究几何图形的性质.
在用坐标法研究几何图形性质的过程中，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹.点是构成图形的基本元素，在平面直角坐标系中，用有序数对表示，一个有序数对表示唯一的一个点，也就是说，点与有序数对一一对应.直线和圆是平面上最简单的非封闭图形和“曲线型”封闭图形.实际上，从更高的观点（图形分类）、更广阔的角度（射影几何）看，直线和圆是一类图形：直线是半径“无穷大”的圆，直线和圆上任意一点的曲率相同，只不过，直线上任意一点的曲率为0，圆上任意一点的曲率是其半径的倒数.用点的坐标刻画直线和圆的儿几何特征，就得到它们的点满足的规律，这个规律用代数表达式表示，就建立了直线和圆的方程.由直线（圆）上每一个点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线（圆）上，确立了直线（圆）与其方程之间的关系：直线（圆）可以由方程表示，相应的方程表示直线（圆）.从而，可以由直线和圆的方程研究与它们相关的几何性质.这种研究几何图形性质的过程，教科书用一个非常形象的词“三步曲”来概括：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
“三步曲”说的是坐标法解决几何问题的程序性.普适性是指一旦直线和圆的方程确定，那么它们的主要几何性质，如距离、角度等原则上可以由它们的方程得到，而综合法处理这些问题时有时需要很强的技巧，往往“就事论事”.
例如，“2.5直线与圆、圆与圆的位置关系”中的“例6已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系.”（图1）
这是典型的用坐标法通过求轨迹方程，“翻译”轨迹方程，从而判断动点轨迹形状的问题.虽然直观上可以判断轨迹的形状是条封闭的曲线，但很难想到是一个圆，更无法想到这个圆的圆心以及半径长.坐标法为解决这类问题提供了普适的方法，而且这种方法完全是程序性的.用综合法解决这一问题需要应用三角形内角、外角平分线以及圆周角的性质等内容，综合性很强，有一定难度.
2.强调两点间的距离公式、过两点的直线斜率公式的基础地位
距离和角度是欧氏几何中两个基本的度量.平面解析几何的研究对象是平面几何图形，刻画距离和角度是平面解析几何的基本任务.两点间的距离公式、过两点的直线斜率公式是平面解析几何中刻画距离和角度的两个基本公式，这两个公式在平面解析几何的学习中具有基础地位，它们是几何图形代数化的起点和重要工具.
用坐标法刻画两点间的距离，本质上是把二维平面中线段的长度问题，转化为一维数轴上线段的长度来解决.通过平面直角坐标系，把关于直角三角形的勾股定理用坐标表示，得到两点间的距离公式.圆是到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）.动点在运动变化中，不变的是定长（半径），这个定长就是两点间的距离.刻画这个距离的过程实际上就是建立圆的方程的过程.运动变化中的不变性，就是规律，这个规律就是圆的几何特征：半径保持不变.
以后学习椭圆、双曲线、拋物线等圆锥曲线，建立它们的方程，关键也是利用两点间的距离公式.
一点和一个方向可以唯一确定一条直线，而方向可以用角度刻画.在平面直角坐标系中研究直线，直线的几何特征是经过其上任意两点，直线的倾斜角不变，这就是直线上的点在运动变化过程中保持不变的东西.而倾斜角无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，这时需要转化，倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画.这种定量刻画为研究直线带来方便.教科书把直线倾斜角的正切值定义为直线的斜率.这样，斜率完全刻画了直线的几何特征，并用表示这条直线的一个方向向量.
因为利用两条直线斜率的关系可以判断它们平行或垂直的位置关系，为了突出过两点的直线斜率公式的基础地位，教科书在建立直线方程之前先安排用它判断两条直线平行或垂直的问题.
3.突出点斜式方程在直线方程中的核心地位
推导过两点的直线斜率公式本质上是建立直线的点斜式方程的过程，而点斜式方程是建立其他所有形式直线方程的基础，其他形式的直线方程都可以作为点斜式方程的“变式”或推论.
诚如前面所述，直线的斜率完全刻画了直线的几何特征，但它还不是直线上的点满足规律的一般表达.我们需要建立直线上任意一点中与之间的关系，这个关系是斜率公式的一个“变式”或推论.因为经过直线上任意两点的直线是同一条直线，它们的斜率相等.由确定直线位置的几何要素，一点和斜率唯一确定一条直线.教科书由此出发，把变形，得到过点，斜率为的直线的方程，也就是直线的点斜式方程.
直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，它的形式与初中学习的一次函数解析式完全类似.在一次函数的学习中，我们只知道是常数，但是并没有说明它们的几何意义.现在教科书给出了的几何意义：表示直线的斜率，表示直线在轴上的截距.
两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，变化的依据是两点确定一条直线可以转化为一点和斜率唯一确定一条直线，而斜率可以由过这两个已知点的坐标求得，转化的关键是处理直线上任意一点的坐标与两个已知点的坐标之间的关系，即用两个已知点的坐标表示任意一点的坐标，从而建立直线的两点式方程.在两点式方程中，截距式方程是其特例，其特别之处在于这两点是直线与两条坐标轴的交点，它在具体问题中用途广泛.
无论是点斜式方程、两点式方程，其表达式都具有明显的几何意义，由方程的形式能够直接发现直线所过定点、斜率，以及两个已知点.另外，它们都是二元一次方程.为了在一般意义下研究直线的方程，教科书探讨了二元一次方程的一般表达式与直线的关系.一方面，任意一个二元一次方程，当时，都可以写成点斜式方程的形式；当时，表示垂直于轴的直线，从而任意一个二元一次方程都表示一条直线.另一方面，由于二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.这样，在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程表示直角坐标平面上一条确定的直线：反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.
4.充分发挥平面向量及其方法在研究几何图形性质方面的作用
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量方法的运用突出了几何直观与代数运算之间的融合.向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.
本章通过直线的方向向量引入直线的倾斜角概念；通过向量方法由具体到一般讨论直线上两点的坐标与直线倾斜角的正切值之间的关系，进而得到过两点的直线斜率公式；建立直线斜率与其方向向量，或（其中）之间的关系；运用直线的方向向量与斜率的关系推导两条直线垂直与它们的斜率之积等于的关系；特别是运用向量方法推导点到直线的距离公式.在“探究与发现 方向向量与直线的参数方程”中，教科书通过直线的方向向量，建立了直线的参数方程，明确参数方程中参数的意义.
5.在强调坐标法特点的基础上，充分利用图形的几何性质简化运算
多边形和圆是初中阶段学习的两类基本图形，通过直线和圆的方程，原则上可以研究有关多边形和圆的距离、角度等所有几何性质方面的问题.但是，有时完全运用代数方法，通过代数运算，很难一路通畅地解决问题，这时需要充分利用图形的几何性质简化运算.在用方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系的有关问题中尤其如此.
在直线与圆的位置关系的研究中，教科书通过表示直线的二元一次方程与表示圆的二元二次方程联立，通过方程组的解判断它们之间的位置关系；也可以通过圆心到直线的距离判断它们之间的位置关系.一个依据的是两类图形公共点的个数，另一个依据的是半径与圆心到直线距离的大小关系，两种方法殊途同归，都可以判断直线与圆的位置关系.只不过第一种方法需要用二次方程解决，第二种方法只需要运用一次方程，一次方程的运算量一般来说小于二次方程的运算量.在圆与圆的位置关系的研究中，利用圆的几何性质的方法更加明显，如圆心距、两圆相交时两圆圆心所在直线垂直平分两园的公共弦，等等，利用这些性质都可以达到简化运算的目的.
在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的研究中，教科书还重点关注了相切这一特殊的位置关系.相切常常与优化问题有关，很多优化问题可以转化为相切问题，如最短距离、最大角度，等等.
六、本章教学建议
1.在建立直线的方程、圆的方程的过程中认识曲线与方程之间的关系
一般地，在解析几何中把研究的图形称为曲线，曲线用方程表示，曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石.虽然教科书正文中没有明确提出曲线与方程的关系，但是两者的对应关系在直线的点斜式方程、圆的标准方程的建立过程中都有所体现.如用过两点的直线斜率公式得到关于直线的代数关系式后，教科书指出，直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，坐标满足关系式的每一个点都在直线上.同样，用两点间的距离公式得到关于圆的代数关系式后，教科书指出，若点在圆上，则点的坐标满足方程；反过来，若点的坐标满足方程，就说明点与圆心间的距离为，即点在圆上.
从大的范围看，曲线与方程之间的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系，有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的思想.
2.关注直线、圆的方程的一般形式与特殊形式的互相转化，提高数学运算等素养
直线和圆的方程形式多种多样，但直线的方程都是二元一次方程，圆的方程都是二元二次方程，它们都是关于的二元方程.在直线各种形式的方程中，当斜率存在或表达式有意义时，一般式方程与其他形式的方程可以互化.一般式方程几何意义不明显，其他形式的方程正如其名称一样，具有明显的几何特征，它们反映了确定直线位置的几何要素.转化的目的是发现确定直线位置的几何要素：一点和斜率，或两个点；认识方程表示一条直线，是直线方程的一般形式.
圆的一般方程中，的系数相等，不含二次项.由于方程可化为，当时，它表示以为圆心，为半径的圆.圆的一般方程与标准方程虽然形式不同，但本质上是一致的，两者之间可以互相转化.由圆的标准方程可以直接得到圆心的位置和圆的半径，而圆的一般方程无法直接得到其圆心位置和半径，要得到其圆心位置和半径，需要把圆的一般方程转化为准方程.圆的一般方程代数特征明显，但是圆的两个典型几何特征：圆心、半径无法直接体现.在圆的标准方程和一般方程的转化中，涉及配方等二次式的恒等变形，这对数学运算提出了较高的要求，而代数式的恒等变形，是数学运算能力的重要表现.
3.注意复习平面几何、三角函数、平面向量等知识
解析几何的内容比较综合，它通过方程的运算和几何图形性质的研究发展学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，需要综合运用平面几何、三角函数、平面向量等知识.
多边形和圆是义务教育阶段学习的两类基本图形，对这两类图形的研究，当时是从图形的形出发，建立图形的概念，运用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，获得这些图形的性质，即组成这些图形的要素之间的关系，如线段的大小、平行或垂直关系，等等.解析几何的研究对象与平面几何完全一样，都是几何图形.因此在本章教学和学习中，需要复习多边形、圆这两类图形的知识，其中三角形的高、中线、角平分线、三边的垂直平分线，三角形的外接圆、内切圆，垂径定理，圆的切线等知识是复习的重点.
另外，解析几何与义务教育阶段学面几何的研究方法不一样，解析几何是在平面直角坐标系中研究图形，通过点与有序数对的对应，建立曲线的方程，通过方程定量地研究曲线的性质.如在平面几何中，只知道两条相交直线相交，但是不知道具体在何处相交；而在平面直角坐标系中，可以完全量化这个交点，得到交点的坐标，进而确定交点的位置.从这个侧面说明，通过解析几何的学习，可以进一步加深和巩固对于多边形、圆两类基本图形的认识，两者是相辅相成的.
本章中角度也是重要的研究问题，角度常常涉及三角函数，如用直线倾斜角的正切值定义直线的斜率.另外，在本章，建立直线的方程，推导点到直线的距离公式时，反复运用直线的方向向量、平面向量的投影、数量积运算，等等，这些都涉及向量的知识.因此，三角函数、向量等知识是本章学习的基础，也需要不断复习巩固.
4.既重视几何图形的代数表达，也关注代数表达式的几何直观
数形结合一方面是几何图形的代数表达，另一方面是代数表达式的几何直观.它们是数形结合的两个方面，两者都不可或缺.如教科书中的问题：
（1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？
从式子的特点不难看出，当时，方程恒成立，而使同时成立的是这两个方程表示的直线的交点坐标，这样上述方程的几何意义就很明显了：经过直线的交点的所有直线.
（2）已知.求证：
，
并求使等式成立的条件；说明上述不等式的几何意义.
同样，由代数表达式
①
容易想到，是平面直角坐标系中的四个定点，它们可以表示边长为1的正方形的四个顶点；由于，所以是这个正方形内的任意一点，上式表示该点与正方形四个顶点的距离之和大于或等于的点的特征.从几何图形上看，当点是这个正方形的中心时，①式中的等号成立；当点不是这个正方形的中心时，由三角形中两边之和大于第三边可得，①式中的“”号成立.
上述两个问题说的是代数表达式的几何直观，这是数形结合的重要方面，在处理某些代数问题时，利用几何直观，发挥图形的功能，有助于代数问题的解决.
5.充分体会运用坐标法、向量法证明点到直线的距离公式时的差异
点到直线的距离公式是平面解析几何中非常重要的一个公式，它是直线方程的一个直接应用.推导这个公式有多种方法.教科书完整地给出了两种方法，一种方法是把点到直线的距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂.另一种方法是运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要有一定的整体观和构造技巧，包括与已知直线垂直的单位向量的选择，以及由向量及其投影的模表示点到直线的距离.如图2，它从点与直线上的任意一点构成的向量（参考向量）出发，通过构造与直线垂直的单位向量，得到向量在上的投影向量，把点到直线的距离转化为投影向量的模，即，进而求得点到直线的距离.
这两种方法的差异是显而易见的：
第一种方法是典型的坐标法.它是解析几何研究问题最基础、最常用的方法，即把点到直线的距离问题转化为已知点与交点之间的距离，交点的坐标可以由两条直线的方程得到，表示点到直线的距离的线段所在直线的方程可以由点斜式得到，其斜率可以由与它垂直的直线的斜率的负倒数求得.它完全通过代数运算，中间过程都是带字母系数的表达式，形式很复杂，得到最终结果需要较强的数学运算能力，这对提升学生的数学运算素养是有利的.
第二种方法是典型的向量法.用投影向量的模表示点到直线的距离，把求距离转化为向量数量积的运算，而且把点到直线的距离这个点与已知直线上的点的距离的最小值，用已知点与已知直线上任意一点构成的向量在与已知直线垂直的单位向量上的投影向量的模表示.这种方法构造性强，需要较高的思维水平以及对向量的深入认识，但是运算较为简便.这种用一般化的向量（参考向量）处理最特殊的距离（点到直线的距离）的思路给了解决此类问题的通性通法.在“空间向量与立体几何”一章中，我们有过类似的方法.
总之，两种方法各有特点，在解决问题的过程中体现了知识之间不同的联系方式.
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