资源简介

《直线的方程---直线的点斜式方程》教材分析
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：直线点斜式方程的建立.
难点：对二元一次方程表示一条直线，一条直线可以用二元一次方程表示的认识.
三、教科书编写意图及教学建议
直线的方程是对平面直角坐标系中直线的代数刻画.点斜式方程是其他所有形式方程的基础，实际上，它是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达式是方程：一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的点都在这条直线上.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率；而一般式方程揭示的是任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程；在斜率存在的前提下，一般式方程也可以化为点斜式方程或两点式方程.
上节教科书通过斜率对直线相对于轴的倾斜程度进行了代数刻画，并运用斜率判断直线平行或垂直的位置关系.解析几何的核心是通过建立几何对象的方程，通过方程研究几何对象的性质.在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率（或倾斜角），就能唯一确定一条直线，也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的.这个确定的关系式就是直线的方程.教科书循着这种思路建立直线的点斜式、两点式方程.
2.2.1直线的点斜式方程
1.建立直线的点斜式方程
从几何角度看，给定一点和倾斜角，则经过点，且倾斜角为的直线就唯一确定了，即任意一点是否在直线上，完全由和倾斜角确定：直线就是由满足的倾斜角为的点所组成.从代数角度看，直线上点的坐标与点的坐标及之间有确定的关系，即.教学时，要引导学生分别从几何角度、代数角度认识直线，也就是哪些是“形”，哪些是“数”，“形”与“数”的关系是什么.
直线的斜率完全刻画了直线相对于轴的倾斜程度，但它还不是直线上点满足规律的一般表达.我们需要建立直线上任意一点中与之间的关系，这个关系是斜率公式的一个“变式”，它把特殊的点转化为一般的点，把特定的点转化为任意的点.教学时，要强调建立直线上所有点的代数表达，突出直线上点的任意性.经验表明，许多学生对“设是直线上的任意一点”的含义并不理解，教学时要注意根据上述分析加强引导.
因为经过直线上任意两点的直线是同一条直线，所以它们的斜率相等.而过任意一点与点的直线的斜率，把变形，就得到过点，斜率为的直线的方程，这样就建立了直线的点斜式方程.之所以称其为点斜式，是因为直线由一点和斜率唯一确定.
由于点也在直线上，当然它的坐标满足直线的方程，把它们代入方程后，两边都为0，显然相等.这就是“边空”中问题的答案.
由上不难看出，推导过任意两点的直线斜率公式是建立直线点斜式方程的基础.这也是教科书为什么先讲直线的倾斜角与斜率，然后讲直线的方程的缘由.因为没有对直线几何特征的代数刻画，没有斜率，我们无法建立直线的方程.
很显然，点斜式方程的前提是斜率存在.如果斜率不存在，就无法用点斜式方程表示直线，如与轴平行或重合的直线方程的表示，实际上，此时的表示更为简洁.
2.直线的方程与方程的直线的关系
一般地，解析几何中研究的图形称为曲线，曲线用方程表示.曲线与方程的关系是解析几何的基石.虽然教科书正文中没有明确提出曲线与方程的关系，但是其思想渗透在相关内容中.教科书在得到关于直线的代数关系式后指出，直线上每一个点的坐标都满足关系式；反过来，坐标满足关系式的每一个点都在直线上.这就是曲线的方程、方程的曲线中所说的“纯粹性”与“完备性”，也只有满足了纯粹性与完备性，我们才可以说，方程是直线的方程，直线是方程的直线.这样，直线与方程就对一一应了，即方程就是直线，直线就是方程，通过方程得到的性质就是直线的性质.在具体的可题中，“直线的方程”和“方程的直线”可以不做严格区分，例如，可以说“直线”.
对“纯粹性”与“完备性”的表述不是“绕口令”，它表达的是点、直线与坐标、方程之间的关系：点在直线上，坐标满足方程；坐标满足方程，点在直线上.教科书在后续讲述圆、椭圆、双曲线和抛物线的方程时，还会反复提及.教学时，我们需要逐步认识曲线与方程的关系，学生对于它的理解不是一蹴而就的.
3.例1的教学
例1是建立直线的点斜式方程，其中斜率由直线的倾斜角求得.虽然由一点和斜率（或倾斜角）可以唯一确定一条直线，但在实际操作画这条直线时，很难做到.我们需要根据“点”和“斜率”先建立直线点斜式方程，然后把方程的一个解作为坐标确定另外一个点.两点确定后直线就可以画出了.教科书要求画出这条直线的目的也在于此.
4.斜截式方程
斜截式方程是点斜式方程的一个特例，特别之处在于“截”.“截”是什么？“截”指的是截距，即直线与轴交点中的.教学时要提醒学生注意，截距不是距离，截距可正可负，甚至为0，而距离不能为负.斜截式方程仍是点斜式方程，只不过斜截式方程中的“点”为直线与轴的交点，这个点在轴上，比较特殊.
5.关于第61页的“思考”
教科书安排第61页“思考”的目的是引导学生建立直线的方程与一次函数之间的联系.对于，从函数的角度看，它表示的是自变量与因变量之间的对应关系；而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系.因此，一次函数和直线的斜截式方程比较，它们所讨论的问题是不一样的.但是，一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，都是；一次函数的图象是一条直线，与方程的直线重合.因此，我们可以利用直线方程的观点解释一次函数图象的特点.一次函数及的图象所对应的三条直线，它们的斜率不同，分别为；它们在轴上的截距也不同，分别为
6.例2的教学
斜截式方程中的几何意义分别是直线的斜率，直线在轴上的截距.在此基础上，我们容易得出例2的答案.教学时需要注意的是，只有斜率相等不能保证直线平行，还要说明它们过两个不同的点，否则有可能重合.
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