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4.5 角的比较与补(余)角
第4章 直线与角
第1课时 角的比较
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
角的大小比较
角的和、差
角平分线
补角和余角
余角、补角的性质
知识点
角的大小比较
1
1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
2. 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，另一边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5－1.
使用叠合法比较角的大小时要注意两点：
(1)重合，即顶点重合，一条边重合；
(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.
特别解读
角的大小可以从数、形两个角度进行比较：
“数”的角度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.
“形”的角度：角的开口越大角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法操作.
[月考·河北] 如图4.5－2，∠ AOC=90°，比较∠ AOB，∠ AOC，∠ AOD，∠ AOE 的大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角.
例 1
解题秘方：利用角的大小的两种比较方法比较角的大小.
方法点拨
角的两种比较大小的方法：
叠合法是比较直观的方法，可直接从“形”的位置判断角的大小关系；度量法具体准确，若两个角大小较接近时，则用度量法，从“数”的大小来比较角的大小.
解：∠ AOB< ∠ AOC< ∠ AOD< ∠ AOE.
又因为∠ AOC=90°，
所以∠ AOB 是锐角，∠ AOC 是直角，
∠ AOD 是钝角，∠ AOE 是平角.
知识点
角的和、差
2
设有两个角∠ 1 和∠ 2(∠ 1> ∠ 2)，如图4.5－3 ① .
把∠ 2 移到∠ 1 上，使它们的顶点重合，一条边重合.
(1) 两角的和： 当∠ 2 在∠ 1 的外部时， 它们的
另一边( 非重合的边) 所成的角就是它们的和， 记作：
∠ BAC= ∠ 1+ ∠ 2，如图4.5－3 ② .
(2) 两角的差： 当∠ 2 在∠ 1 的内部时， 它们的
另一边( 非重合的边) 所成的角就是它们的差， 记作：
∠ GEH= ∠ 1 －∠ 2，如图4.5－3 ③ .
特别提醒
两个角的和差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60 要进位，相减时借1 作60.
如图4.5－4，回答下列问题.
(1)∠ AOC 是哪两个角的和？
(2)∠ AOB 是哪两个角的差？
(3)如果∠ AOB= ∠ COD，
那么∠ AOC 与∠ DOB 相等吗？
例2
解题秘方：根据图中角的位置得到角的和差关系.
方法点拨
1. 在图形中角与角之间的位置关系直接反映了它们的数量
关系.
2. 表示角的和差关系时可以用等式的基本性质，即相等的
角同时加(或减)同一个角，所得的和(或差)仍然相等.
解：(1)∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC.
(2)∠ AOB= ∠ AOD－ ∠ BOD= ∠ AOC－ ∠ BOC.
(3)因为∠ AOB= ∠ COD，
所以∠ AOB+ ∠ BOC= ∠ COD+ ∠ BOC，
即∠ AOC= ∠ DOB.
知识点
角平分线
3
1. 角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
特别解读
角平分线的“三要素”：
(1) 是从角的顶点引出的射线；
(2)在角的内部；
(3)将已知角平分.角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.
表示方法：
如图4.5－8，若OC 平分∠ AOB，则∠ AOC= ∠ BOC=
∠ AOB 或2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；反之，
若∠ AOC= ∠ BOC= ∠ AOB 或2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB，则OC 平分∠ AOB.
2. 角的n 等分线
类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射
线，将角分成相等的n 个角，这样的射线叫做角的n 等分
线，例如角的三等分线、四等分线等.
[期中·石家庄] 已知∠ AOB=90°，
(1)如图4.5－9 ①，OE，OD 分别平分∠ AOB 和∠ BOC，若∠ EOD=64°，则∠ BOC=______°；
(2)如图4.5－9 ②，OE，OD 分别平分∠ AOC 和∠ BOC，若∠ BOC=40°，则∠ EOD 的度数是______；
(3)若OE，OD 分别平分∠ AOC 和∠ BOC，∠ BOC=α(0°＜ α ＜ 180°)，则∠ EOD 的度数是______．
例 3
解题秘方：根据角平分线的定义及角的和差关系求解，
最后一问求解时要分情况讨论．
解法提醒
1. 利用角平分线的定义进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式.
2. 在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角.
解：(1)因为∠ AOB=90°，OE 平分∠ AOB，
所以∠ EOB= ∠ AOB=45°.
因为∠ EOD=64°，
所以∠ BOD= ∠ EOD－ ∠ EOB=19°.
又因为OD 平分∠ BOC，
所以∠ BOC=2 ∠ BOD=38°．
(2)因为∠ AOB=90°，∠ BOC=40°，
所以∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC=130°.
又因为OE，OD 分别平分∠ AOC 和∠ BOC，
所以∠ EOC= ∠ AOC=65°，∠ DOC= ∠ BOC=20°.
所以∠ EOD= ∠ EOC－ ∠ DOC=45°.
(3)分三种情况：当0°＜ α ＜ 90°时，∠ EOD=45 °；
当α=90°时，∠ EOD=45°或135°；当90°＜ α ＜ 180°时，
∠ EOD=135°．综上所述，∠ EOD=45°或135°
答案：(1)38 (2)45°(3)45°或135°
如图4.5－10，O 为直线AB 上一点，∠ AOC=50°，
OD 平分∠ AOC，∠ EOD=90°.
(1)求∠ BOD 的度数；
(2)小明发现OE 平分∠ BOC，
请你通过计算说明理由.
例4
解题秘方：(1)利用∠ BOD= ∠ BOC+ ∠ DOC 求解
即可；(2)分别求出∠ COE 和∠ BOE 的度数即可.
方法总结
角平分线的判定方法：当OD在∠AOB的内部且满足下列情况之一时，就可以判断出OD是∠ AOB 的平分线：
(1)∠ AOD= ∠ BOD；
(2)∠AOD= ∠AOB；
(3)∠BOD= ∠AOB；
(4)∠AOB=2∠AOD；
(5)∠AOB=2∠BOD.
解：(1)因为∠ AOC=50°，OD 平分∠ AOC，
所以∠ DOC = ∠ AOC=25°，∠ BOC=180°－ ∠ AOC=180°－ 50°=130°.所以∠ BOD = ∠ BOC + ∠ DOC=130°+ 25°= 155°.
(2)因为∠ DOE=90°，∠ DOC=25°，
所以∠ COE = ∠ DOE－ ∠ DOC=90°－ 25°= 65°.
又因为∠ BOE = ∠ BOD－ ∠ DOE=155°－ 90°= 65°，
所以∠ COE = ∠ BOE，即OE 平分∠ BOC.
角的比较与补（余）角
角的比较
互余与互补
角的比较
角的运算
数量关系
度量法
角的和差
叠合法
角的平分线
请完成教材课后习题
作业提升

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