人教A版(2019)选择性必修第三册《8.2 一元线性回归模型及其应用》同步练习(含答案)

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人教A版(2019)选择性必修第三册《8.2 一元线性回归模型及其应用》同步练习(含答案)

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人教A版(2019)选择性必修第三册《8.2 一元线性回归模型及其应用》同步练习
一 、单选题(本大题共8小题,共40分)
1.(5分)已知变量 的取值如下表所示:
如果 与 线性相关,且线性回归方程为 ,则 的值为
A. B. C. D.
2.(5分)已知关于的线性回归方程为,若变量增加个单位,则
A. 增加个单位 B. 增加个单位
C. 减少个单位 D. 减少个单位
3.(5分)已知关于变量,的线性回归方程为,且,的一些相关数据如表所示,则表格中的值为
A. B. C. D.
4.(5分)如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表:
气温
杯数
若热茶杯数与气温近似地满足线性关系,则其关系式最接近的是
A. B.
C. D.
5.(5分)人们眼中的天才之所以优秀卓越,并非是他们的天赋异禀,而是付出了持续不断的努力。万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡,从困境走向成功的必要条件。于是某个学生提高自己的数学做题准确率和速度,决定通过坚持每天刷题,刷题时间与做题正确率的统计数据如下表:
刷题时间 个单位 分钟为个单位
准确率
根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报刷题时间为个单位的准确率为

A. B. C. D.
6.(5分)如表是某产品月份销量单位:百件的一组数据,分析后可知,销量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是,则预测月份的销量是
月份
销量
A. B. C. D.
7.(5分)实验测得四组数对的值为,,,,则与之间的回归直线方程是
参考公式:,
A. B.
C. D.
8.(5分)某中学为了调查高三女生的健康状况,从高三年级随机选取名女学生,得到其身高和体重数据如表:
编号
身高
体重
经计算得知,身高预报体重的回归方程为,相关系数的平方.
有下列四种判断:
①身高每增加个单位,体重就大约增加个单位
②越接近于,表示回归的效果越好
③女学生的体重差异有是由身高引起的
④女学生的身高解释了的体重变化
正确的是
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
二 、填空题(本大题共5小题,共25分)
9.(5分)下列说法正确的是______.
①利用样本点的散点图可以直观的判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.
②相关系数 且 越大相关性越强
③用相关指数刻画回归方程的拟合效果,越小,拟合效果越好.
④残差平方和越小的回归模型,拟合效果越好.
10.(5分)从某高校在校大学生中随机选取名女大学生,由她们身高和体重的数据得到的线性回归方程为,数据列表是:
身高
体重
则其中的数据________.
11.(5分)某企业计划通过广告宣传来提高销售额,经统计,产品的广告费单位:百万元与销售额单位:百万元之间有如下对应数据:
由表中的数据得线性回归方程为投入的广告费时,销售额的预报值为 ______百万元.
12.(5分)两个线性相关变量,满足如表关系:
则与的线性回归直线一定过其样本点的中心,其坐标为______.
13.(5分)某地区年至年农村居民家庭人均纯收入单位:千元的数据如下表:
年份
年份代号
人均纯收入千元
关于的线性回归方程,则的值为__________.
三 、多选题(本大题共5小题,共25分)
14.(5分)多选题下列说法正确的是
A. 在回归直线方程中,当解释变量每增加个单位时,预报变量平均减少个单位
B. 两个具有线性相关关系的变量,当相关指数的值越接近于,则这两个变量的相关性就越强
C. 两个变量的线性相关系数,则的绝对值越接近,两个变量间的线性相关性越强
D. 在回归直线方程中,相对于样本点的残差为
15.(5分)下列说法正确的是
A. 与众数、中位数相比,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
B. 标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小
C. 人体的脂肪含量百分比与年龄满足回归方程,当时,,这表明某人岁时,其体内的脂肪含量一定是
D. 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据不但可以保留数据的全部信息,且可以随时记录
16.(5分)茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中,因地制宜,优化产业结构,使得该村人均年纯收入逐年提高村村民,,,年这年的人均年纯收入单位:万元与年份代号之间的一组数据如表所示:
年份
年份代号
人均年纯收入
若与线性相关,且求得其线性回归方程为,则下列说法错误的是
A. 人均纯收入单位:万元与年份代号负相关
B.
C. 从年起,每经过年,村民人均年纯收入约增加万元
D. 年村人均年纯收入约为万元
17.(5分)下列说法中错误的是
A. 相关关系是一种确定性关系,一般可分为正相关和负相关
B. 设有一个线性回归方程,变量增加个单位时,平均减少个单位
C. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变
D. 设具有相关关系的两个变量,的相关系数为,则越接近于,和之间的线性相关程度越强
18.(5分)下列有关回归分析的结论中,正确的有
A. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心
B. 若相关系数的绝对值越接近于,则相关性越强
C. 若相关指数的值越接近于,表示回归模型的拟合效果越好
D. 在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合的精度越高
四 、解答题(本大题共5小题,共60分)
19.(12分)年月日召开的经济形势专家和企业家座谈会全面分析了当前经济形势,并指出“注重开拓下沉市场特别是县乡市场,满足量大面广的基层需求,提升民生品质”等发展方向某生产企业积极响应号召,决定将一批刚研发的新产品投入到县乡市场,为了解产品的销售量单位:件与售价单位:元件之间的关系,现对该产品进行试销,得到售价和销售量…,的对应数据如表所示:
售价元件
销售量件
若与之间具有线性相关关系,求关于的回归直线方程;
若该产品每件成本为元,试依据中的回归方程,确定产品售价为多少元件时,企业可获得最大利润?结果取整数
参考公式:,
20.(12分)下表数据是退水温度对黄酮延长性效应的试验结果,是以延长度计算的,且对于给定的,为正态变量,其方差与无关.
画出散点图;
指出,是否线性相关;
若线性相关,求关于的线性回归方程;
估计退水温度是时,黄酮延长性的情况精确到
21.(12分)某化工厂为预测产品的回收率,需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现收集了组对照数据.
Ⅰ请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系;
Ⅱ请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并预测当时回收率的值.
参考数据:
其他
,相关关系 完全相关 不相关 高度相关 低度相关 中度相关
,.
22.(12分)端午佳节旌旗胜,龙舟竞渡展雄风.端午龙舟竞渡活动是我国的民间传统习俗,龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气,每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天,汕尾市都将在美丽的品清湖畔举行龙舟馅标赛,他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪,奋勇争先,一往无前的龙舟精神,该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴,某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了月日至月日的白天平均气温与该奶茶店的这种饮料销量杯,得到如下数据:
日期 月日 月日 月日 月日 月日
平均气温
销量杯
Ⅰ先从这五组数据中抽出组,求抽出的组数据恰好是相邻天数据的概率;
Ⅱ请根据所给五组数据,求出了关于的线性回归方程;若气象台预报月日白天的平均气温为,根据线性回归方程预测该奶茶店这种饮料的销量取整数.
附:线性回归方程中,,其中,为样本平均值.
23.(12分)某公司统计了年期间公司年收入的增加值万元以及相应的年增长率,所得数据如下所示:
年份
代码
增加值
增长率
通过散点图可知,可用线性回归模型拟合年与的关系;
①求年这年期间公司年利润的增加值的平均数;
②求关于的线性回归方程;
从哪年开始连续三年公司利润增加值的方差最大?不需要说明理由.
附:参考公式:回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查线性回归方程,考查样本中心点满足回归方程,考查待定系数法求字母系数,是一个基础题.
求出样本中心点,根据样本中心点满足回归方程,得到结果.
解:,,
因为线性回归直线过样本中心,
则,解得.
故选A.
2.【答案】D;
【解析】解:根据题设,,
所以若变量增加个单位,则减少个单位,
故选:.
根据题意,求出变量增加个单位,则减少个单位,得出答案.
考查线性回归方程的应用,基础题.
3.【答案】A;
【解析】解:,,
样本点的中心为,
代入线性回归方程为,得,
解得:.
故选:.
求出样本点的中心的坐标,代入线性回归方程即可求得值.
该题考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.
4.【答案】C;
【解析】解:五日的气温的平均值为,
杯数的平均值为,
根据线性回归方程的定义可知,
当时,,代入验证可知C正确,
故选:.
根据线线回归直线方程过,求出代入验证即可.
考查了线性回归直线的概念和求法,掌握回归直线方程的求法.
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查回归直线方程,属于基础题.
首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为代入,预报出结果.

解:,,
因为回归方程中的为,
所以,解得
所以刷题时间为个单位的准确率为,
故选
6.【答案】A;
【解析】解:,,
则样本点的中心为,代入,


取,可得
故选:
由表格中的数据求得样本点的中心坐标,代入线性回归方程求得,取求得值即可.
此题主要考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.
7.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了线性回归方程的求法及应用,属于基础题.
由题意求出,,,,代入公式求值,从而得到回归直线方程.

解:表中数据,,




则回归方程为:
故选
8.【答案】D;
【解析】解:根据身高预报体重的回归方程为,相关系数的平方;
对于①,身高每增加个单位,体重就大约增加个单位,正确;
对于②,越接近于,表示回归的拟合效果越好,正确;
对于③,由知,女学生的体重差异有是由身高引起的,正确;
对于④,由的意义知,女学生的身高解释了的体重变化,正确;
综上,正确的命题序号是①②③④.
故选:.
根据身高预报体重的回归方程和即相关系数的平方,
对题目中的命题判断正误即可.
此题主要考查了线性回归方程与相关系数的平方的定义和应用问题,是基础题.
9.【答案】①④;
【解析】
根据散点图、“残差”的意义、线性相关系数和相关指数,对选项中的命题作出分析、判断即可.
该题考查了相关关系与“残差”分析、相关指数的意义和应用问题,是基础题.

解:对于①,当散点图成带状分布时,判断两个变量相关性强,否则相关性弱;
利用样本点的散点图可以直观的判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示,①正确;
对于②,用相关指数来刻画回归效果,越大,说明模型的拟合效果越好,判断②错误;
对于③,用相关指数刻画回归的效果时,的值越大说明模型的拟合效果就越好,判断③错误;
对于④,用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,④正确.
综上,以上正确的命题序号是①④.
故答案为:①④.
10.【答案】;
【解析】
此题主要考查线性回归方程恒过样本中心,求出,然后利用回归直线经过即可求解.
解: 由已知数据得,
又回归直线经过,
所以,
解得
故答案为
11.【答案】66.4;
【解析】解:,,


当时,
故答案为:
根据已知条件,求出,的平均值,再结合线性回归方程过样本中心,即可求解线性回归方程,将代入该方程,即可求解.
此题主要考查了线性回归方程的性质,以及平均值的求解,属于基础题.
12.【答案】(5,5);
【解析】解:线性回归直线的样本点中心为点,
因为,,
所以该线性回归直线的样本点中心为点.
故答案为:.
利用已知条件,通过回归直线方程经过样本中心,求解即可.
该题考查回归直线方程的应用,是基本知识的考查,基础题.
13.【答案】;
【解析】解:由所给数据计算得

又回归方程过样本中心点,

即,
解得
故答案为:
根据线性回归方程过样本的中心点,求出、,即可求出的值.
此题主要考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题,是基础题目.
14.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查了回归直线方程的应用,解答该题的关键是熟练掌握回归直线方程的判断,
根据已知及回归直线方程的判断,可知正确的是哪几个.

解:在回归直线方程中,
当解释变量每增加个单位时,预报变量平均减少个单位 ,故错误,
B.两个具有线性相关关系的变量,当相关指数的值越接近于,
则这两个变量的相关性就越弱,故错误 ,
C.两个变量的线性相关系数,则的绝对值越接近,两个变量间的线性相关性越强故正确,
D.在回归直线方程中,相对于样本点的残差为,故正确.
故正确的是,
15.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了众数、中位数、平均数 、回归直线方程 ,茎叶图,由众数、中位数、平均数 、回归直线方程 ,茎叶图分别根据命题的条件进行判断即可.
解:与众数、中位数相比,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,正确
B.标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小,正确,
C.当时,,这表明某人岁时,其体内的脂肪含量可能是,并非一定是,故错误,
D.在样本数据较少时,用茎叶图表示数据不但可以保留数据的全部信息,而且可以随时记录,正确,
故选:
16.【答案】AD;
【解析】解:由回归直线的斜率为,得人均年纯收人单位:万元与年份代号正相关;错误;
,,于是得,解得,正确;
由每增加,约增,可知每经过年,村民人均年纯收人约增加万元,正确;
年的年份代号为,故,故可估计年村人均年纯收人约为万元,错误.
故选:
由回归直线的斜率为判断;求出,可得,再由的平均数列式可得的值判断;由回归直线斜率的几何意义判断;求出年的年份代号,代入回归直线方程求得判断
此题主要考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.
17.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查命题的真假的判断与应用,考查回归直线方程以及相关关系相关系数的应用,是基本知识的考查.
显然不正确;通过回归方程的性质判断的正误;方差反映一组数据的波动大小,利用方差性质判断的正误在线性回归分析中,相关系数为,越接近于,相关程度越强,判断的正误

解:显然不正确,相关关系是一种非确定性关系;
在回归方程中,变量增加个单位时,平均减小个单位,故正确;
方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,故正确;
根据线性回归分析中相关系数的定义:在线性回归分析中,相关系数为,越接近于,相关程度越强,故不正确;
故答案为:
18.【答案】ABD;
【解析】解:对于,回归方程必定经过样本中心,故选项正确;
对于,由相关系数的意义可知,相关系数的绝对值越接近于,则相关性越强,故选项正确;
对于,若相关指数的值越接近于,表示回归模型的拟合效果越好,故选项错误;
对于,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合的精度越高,故选项正确.
故选:
利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可.
此题主要考查了回归分析的理解,主要考查了回归方程的性质,相关系数的意义等,属于基础题.
19.【答案】解:(1),,
===-4,
=-=80-(-4)×6.5=106.
∴y关于x的回归直线方程为;
(2)设产品售价为x元/件时,企业获得利润为f(x),
则f(x)==-4+126x-530,
其图象是开口向下的抛物线,当x==15.75≈16时,
企业获得最大利润为f(16)=462(元).
故产品售价为16元/件时,企业可获得最大利润.;
【解析】
由已知求得与的值,可得关于的线性回归方程;
写出获利关于售价的函数,再由二次函数求最值.
此题主要考查线性回归方程,训练了利用二次函数求最值,考查运算求解能力,是中档题.
20.【答案】解:散点图如下

由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见与线性相关.





因此所求的线性回归方程为;
将代入线性回归方程得:,
答:退水温度是时黄酮延长性大约是
;
【解析】此题主要考查的是利用散点图判断两个变量的相关关系,线性回归方程,相关系数的有关知识.
根据所给数据,可得散点图.
由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,,是线性相关;
利用公式,计算出,,即可得出对的线性回归方程;
将代入回归方程,即可估计水温度是时,黄酮延长性的情况.


21.【答案】解:(Ⅰ)∵,
∴y与x之间存在高度线性相关关系;
(Ⅱ)∵,,,,
∴所求的线性回归方程为.
当x=10时,.;
【解析】
Ⅰ通过公式计算出相关系数,故与之间存在高度线性相关关系;
Ⅱ通过公式计算出线性回归方程为,然后令,得即为所求.
该题考查了线性回归方程,属中档题.
22.【答案】解:(Ⅰ)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A,
所有基本事件(m,n)(其中m,n为6月份的日期数)有:(2,3),(2,4),(2,5),
(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共有10种.
事件A包括的基本事件有(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)共4种.
∴P(A)=;
(Ⅱ)由数据,求得,

由公式,求得==-0.05,=25-(-0.05)×30=26.5.
∴y关于x的线性回归方程为=-0.05x+26.5.
取x=35,得.
∴预测该奶茶店这种饮料的销量为25杯.;
【解析】
Ⅰ根据题意列举出从组数据中选取组数据共有种情况,每种情况都是可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有种.根据等可能事件的概率求解;
Ⅱ根据所给的数据,先做出,的平均数,即做出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程.取求得值,即可预测该奶茶店这种饮料的销量.
该题考查等可能事件的概率,考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,是中档题.
23.【答案】解:①依题意,,
故这年期间公司年利润的增加值的平均数为;
②依题意,


故,
故所求的回归直线方程为
年,
;
【解析】此题主要考查利用最小二乘法求回归直线方程,考查平均数的计算,考查计算求解能力,属于中档题目.
①根据题意利用平均数计算公式求出年这年期间公司年利润的增加值的平均数即可;
②利用最小二乘法求出回归直线方程即可;
根据表格中的数据得出结论即可.

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